大学物理吴百诗第二章

1、第第2章章 质点动力学质点动力学 “ “潮汐潮汐”是海水的一种周期性的升降或涨落运动，是海水的一种周期性的升降或涨落运动，是月亮和太阳是月亮和太阳对地球的引力以及地球自转所致。海水周期性涨落水体形成了具有海对地球的引力以及地球自转所致。海水周期性涨落水体形成了具有海流潮汐形成的动能流潮汐形成的动能-潮汐能潮汐能。本章内容本章内容2.1 牛顿运动定律及其应用牛顿运动定律及其应用2.2 惯性系与非惯性系惯性系与非惯性系2.3 功与能功与能2.4 动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律2.5 质心运动定理质心运动定理2.6 对心碰撞对心碰撞2.7 质点的角动量定理与角动量守恒定律质点的角动量定

2、理与角动量守恒定律2.1 牛顿运动定律及其应用牛顿运动定律及其应用主要内容：主要内容：1. 牛顿运动定律牛顿运动定律2. 力学中常见的几种力力学中常见的几种力3. 牛顿第二定律的微分形式牛顿第二定律的微分形式4. 质点动力学的两类问题质点动力学的两类问题2.1.1 牛顿运动定律牛顿运动定律 惯性惯性 物体的固有属性（物体的固有属性（惯性定律惯性定律） 力力 使物体改变运动状态的原因使物体改变运动状态的原因0iF质点处于静止或匀速直线运动状态时：质点处于静止或匀速直线运动状态时： 静力学基本方程静力学基本方程l 牛顿运动定律中的物体指的是牛顿运动定律中的物体指的是质点质点或作或作平动的物体平动的

3、物体。l 牛顿第一定律提出了牛顿第一定律提出了两个两个重要概念。重要概念。 tpFddtpFddtmddvtmddvamvmFtpddiiaF 对应性对应性 矢量性矢量性 （矢量矢量叠加定理）叠加定理） 瞬时性瞬时性 第二定律是一个瞬时关系式第二定律是一个瞬时关系式第三定律揭示了第三定律揭示了力的特性力的特性l 成对性成对性 物体之间的作用是相互的；物体之间的作用是相互的；l 一致性一致性 作用力与反作用力性质一致；作用力与反作用力性质一致；l 同时性同时性 相互作用之间是相互依存，同生同灭。相互作用之间是相互依存，同生同灭。2112FF12F21F21F1. 力学中的常见力力学中的常见力万有

4、引力的大小万有引力的大小万有引力常量万有引力常量221rmmGF 2-211kgmN1067. 6GrermmGF221122.1.2 力学中常见的几种力力学中常见的几种力1m2mrre12F2EGRmmGF mgmFG2ERGmg gmFGEmR2sm8 . 9gmGFNFNFABBFTAFTaamd2F2F2TF1TFABABaaabbb1F2TF1TF1FkxFikxF0FxFxmmxOxmxFkxFkxFFFSNSSmaxFF 0vgmNFFsFSNkkFFkSk gmNFFkFvSmaxFrF10203040NSSmaxFFNkkFFmaxSFF F0102030405060vkFd

5、vvkFd2. 常见力的分类常见力的分类2.1.3 牛顿第二定律的微分形式及其应用牛顿第二定律的微分形式及其应用1. 牛顿第二定律的微分形式牛顿第二定律的微分形式 amFtmddv22ddtrmttmaF nnmaF tmddv2vmxxmaF tmxddv22ddddtymtmmaFyyyv22ddtxm22ddddtzmtmmaFzzzv2. 质点动力学的两类问题质点动力学的两类问题 微分法微分法 积分法积分法 )dddd(22trmtmamFvFF(1) 劈劈m1相对地面的加速度和木块相对地面的加速度和木块m2相对劈的加速度；相对劈的加速度；(2) 欲使木块与劈之间无相对滑动，应该沿水平

6、方向给劈多欲使木块与劈之间无相对滑动，应该沿水平方向给劈多 大的作用力？大的作用力？将一质量为将一质量为m1的三角形劈，放在光滑的水平桌面上，另的三角形劈，放在光滑的水平桌面上，另一质量为一质量为m2的立方体木块，沿三角形劈的光滑斜面自由下滑，的立方体木块，沿三角形劈的光滑斜面自由下滑，如图所示。如图所示。 例例解解求求2m1m(1) m1 m2 yxO设劈相对地面的加速度大小为设劈相对地面的加速度大小为a11a1m1NFgm1NF2a2m1NFgm2木块相对劈的加速度大小为木块相对劈的加速度大小为a2方向如图方向如图对木块对木块m2有有且且1N1NFF对劈对劈m1有有111NsinamF0c

7、os11NNgmFF(1)(2)cos(sin1221NaamF)sin(cos2221NamgmF(3)(4)(5)解以上方程组，可得解以上方程组，可得22121sincossinmmgma221212sinsin)(mmgmmayxOa1m1NFgm1NF2m1NFgm2aF(2) 设沿水平方向给劈施加力设沿水平方向给劈施加力F，且木块与劈以相同的加速，且木块与劈以相同的加速 度度a沿水平方向运动，方向如图所示。沿水平方向运动，方向如图所示。对木块对木块m2有有对劈对劈m1有有)(sin21NamF0cos21NgmF)(sin11NamFF0cos11NNgmFF(1)(2)(3)(4)

8、(5)且且1N1NFF解以上方程组，可得在劈上所加的水平力为解以上方程组，可得在劈上所加的水平力为tan)(21gmmF劈和木块共同运动的加速度为劈和木块共同运动的加速度为tanga 水平力水平力F 和加速度和加速度a 的方向均为水平向左。的方向均为水平向左。& 应用牛顿运动定律求解质点动力学问题的一般步骤应用牛顿运动定律求解质点动力学问题的一般步骤(1) 选取研究对象，隔离物体；选取研究对象，隔离物体；(2) 分析受力，画出受力图；分析受力，画出受力图；(3) 选取坐标系；选取坐标系；(4) 列牛顿运动微分方程求解列牛顿运动微分方程求解（通常取分量式）（通常取分量式）； (5) 讨论

9、结果的物理意义，判断其是否合理和正确。讨论结果的物理意义，判断其是否合理和正确。试问竖直上抛的物体最小应具有多大的初速度试问竖直上抛的物体最小应具有多大的初速度v0才不再回到才不再回到地球上来？不计空气阻力及其它作用力。地球上来？不计空气阻力及其它作用力。设上抛物体质量为设上抛物体质量为m, ,地球质量为地球质量为mE, ,半径为半径为R2ExmmGF 又又E2mgRG 例例解解受力如图，建立如图所示坐标。受力如图，建立如图所示坐标。地球对物体的万有引力为地球对物体的万有引力为ORFxm22xmgRF 根据质点运动微分方程，有根据质点运动微分方程，有tmxmgRdd22v则则变量代换，得变量代

10、换，得t ddvtxx ddddvxddvv所以所以分离变量分离变量, ,得得22ddxxgRvv初始条件为初始条件为Rx 0由此解得由此解得)11(22202xRgRvvxgRgR22022vvtmxmgRdd22vxmddvv积分，有积分，有0vv xRxxgR22dd0vvvv即即所以所以（第二宇宙速度）（第二宇宙速度）gR20v1skm2 .11如图所示，质量为如图所示，质量为m的小球与劲度系数为的小球与劲度系数为k的轻弹簧构成弹的轻弹簧构成弹簧振子系统。开始时，弹簧处于原长，小球静止，现以恒簧振子系统。开始时，弹簧处于原长，小球静止，现以恒力力F向右拉小球，设小球与水平面间的摩擦系数

11、为向右拉小球，设小球与水平面间的摩擦系数为 。受力如图所示受力如图所示, ,小球向右运动的最大距离。小球向右运动的最大距离。例例解解求求列运动微分方程为列运动微分方程为FmeFrFNFgmtmFkxFddNv0NmgF(1)(2)FmkOxy以以O点为原点建立坐标系点为原点建立坐标系(2)(2)式代入式代入(1)(1)式，变量代换，有式，变量代换，有初始条件初始条件 0t0 ,0 x0 0v,maxxx 0 v,tmmgkxFddvtxxmddddvxmddvv分离变量分离变量, ,得得vvd)d(mxmgkxF积分积分 000d)d(maxvvmxmgkxFx小球向右运动到最大距离时小球向右

12、运动到最大距离时即即021max2maxmaxmgxkxFx由此可得由此可得 kmgFx)(2max (1)ddcostmmgv(2)sin2NRmmgFvttddddddvvdcosdRgvv例例解解求求受力如图所示受力如图所示建立自然坐标建立自然坐标列方程列方程变量代换变量代换ddvvRddv分离变量分离变量RANFgmnetesin212Rgvsin2RgvRRgmmgFsin2sinNsin3mg利用初始条件，积分利用初始条件，积分 00dcosdRgvvv即即由此可得由此可得 neteRANFgm nTTTd)d(maFFFxmddxlmdxa2nxxlmFdd2TxFFxxlmF0

13、2TddTT0例例解解求求OOlmnaneNdFTTdFFTFgmd列方程列方程xxd(1)222T0TxlmFF(2)22T0lmF)(2222TxllmFllmlFlx83)2(,22TllmlFlx3215)4(,42T2.2 惯性系与非惯性系主要内容：主要内容：1. 惯性参考系惯性参考系2. 牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律的适用范围3. 力学相对性原理力学相对性原理0v对地参考系对地参考系0T FgmgmTF0TamFgm0a0T FgmgmTF0a对车厢参考系对车厢参考系0T Fgm对地参考系对地参考系对车厢参考系对车厢参考系l 太阳参考系太阳参考系是一个实验精度相当高的惯性系。

14、是一个实验精度相当高的惯性系。l 地心参考系地心参考系也是一个实验精度很高的惯性系。也是一个实验精度很高的惯性系。l 地面参考系地面参考系是一个近似程度很高的惯性系。是一个近似程度很高的惯性系。牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律的适用范围不可能利用在惯性系内部进不可能利用在惯性系内部进 行行的任何力学实验来确定该系作的任何力学实验来确定该系作匀速直线运动的速度；匀速直线运动的速度；在一切惯性系中，力学定律具在一切惯性系中，力学定律具有完全相同的表达形式；有完全相同的表达形式；物理量可以是相对的，但不同惯性系中物理量可以是相对的，但不同惯性系中力学定律的表达式则是绝对的。力学定律的表达式则是绝对

15、的。2.3 功与能功与能主要内容：主要内容：1. 功功2. 动能定理动能定理3. 保守力的功保守力的功 势能势能4. 功能原理与机械能守恒定律功能原理与机械能守恒定律 FrsFA)cos(cosrFrFAr，夹角，夹角mmabF取元位移取元位移rdrFAddcosdrFsFAdcosdbaAAdbrabOFarrd，在，在 范围内，作用力范围内，作用力 可认为是恒力。可认为是恒力。FrdbarrrFd在任一元位移在任一元位移 上，力上，力 所作的元功所作的元功FbasFdcosrd barrrFAd 21)d( xxxxFAbarFAd)ddd(zFyFxFzybaxFbanrFFFd)(21

16、banbabarFrFrFddd21nAAA21tAPdd trFdd v F FxdxO)(xF1x2xFl0cos0sinTTmgFFFtanmgF rFAddcosdrFcosdsFdcosFldcostan lmg00dsinmglA)cos1 (0 mgl例例解解F求求xyOdrdFgmTF设作用于质量设作用于质量m = 2kg的物体上的力为的物体上的力为F = 6t，在该力作用，在该力作用下物体由静止出发，沿力的作用方向作直线运动。下物体由静止出发，沿力的作用方向作直线运动。在前在前2s时间内，这个力所作的功。时间内，这个力所作的功。例例解解求求taddvmFmt 6分离变量，并考

17、虑初始条件，积分分离变量，并考虑初始条件，积分ttmt00d6dvv23tmv23ddtmtxvttmxd3d2在前在前2s力所作的功为力所作的功为xxFA0dJ36202d36ttmt一条长为一条长为l、质量为、质量为m的均质柔绳的均质柔绳AB，A端挂在天花板的钩上，端挂在天花板的钩上，自然下垂。现将自然下垂。现将B端沿铅垂方向提高到与端沿铅垂方向提高到与A端同一高度处。端同一高度处。取绳自然下垂时取绳自然下垂时B端位置为坐标原点，端位置为坐标原点，铅垂向上为铅垂向上为Oy轴正方向。轴正方向。设设B 端提升过程中的某一时刻坐标为端提升过程中的某一时刻坐标为yglmy21yFAydd该过程中重

18、力所作的功。该过程中重力所作的功。例例解解求求AByOy取重力元位移取重力元位移dy绳提起部分所受重力为绳提起部分所受重力为，则重力在元位移上的元功为，则重力在元位移上的元功为ygylmd21该过程中重力所作的总功为该过程中重力所作的总功为AAdygylml)d21(0mgl41rFdcosrFAddsFtd221ddvmAstmdddvabFrdavbvm力力 在元位移在元位移 上所作的元功上所作的元功FrdtFFt为为 切向分力切向分力FttmaF smaAddtvdddtsmvvdmbaabmA221dv222121ababmmAvv 222121ababmmAvv 2k21vmE 质量

19、为质量为m的小球，系在长为的小球，系在长为l的细绳下端，绳的上端固定在的细绳下端，绳的上端固定在天花板上，构成一单摆，如图。开始时，把绳子拉到与铅天花板上，构成一单摆，如图。开始时，把绳子拉到与铅垂线成垂线成 0角处，然后放手使小球沿圆弧下落。角处，然后放手使小球沿圆弧下落。受力如图，受力如图，21drFA例例解解求求 绳与铅垂线成绳与铅垂线成角时小球的速率。角时小球的速率。rd取元位移取元位移由质点的动能定理得由质点的动能定理得0v2lm1gmTFrd2121TddrgmrF21Td)(rgmF2022121vvmm其中，张力的功其中，张力的功0d21TrF重力的功重力的功smrgmdgco

20、sd2121ssmding210按照运动学中对角位移正负的规定，这里按照运动学中对角位移正负的规定，这里d 为负，则为负，则ddls且初始条件为且初始条件为ding0lsm2021)cos(cosvmmgl故得故得 )cos(cos20glvssmAding21有有 221vm00v2022121vvmmA202021)2(21vvmm2083vmmgFkRsFA20kdcosRsmg20dRmg2Rg16320v例例解解求求2083vmRnnsFA2 0kdcosRnsmg2 0dRmgn2202102vmRmgnAn34n : :21FF、in2in1FF、11111in1111ddbab

21、arFrFA2112112121abmmvv221122112in21in12211ddddbabababarFrFrFrF22222in2222ddbabarFrFA2222222121abmmvv)2121()2121(222211222211aabbmmmmvvvv1dr1Fin1F2F2m1a2a2ba1vb2va2v1bb1v1m2drin2F)()(2k1k2k1kaabbEEEEAA内外abEEkkabEEAAkk内外)2121()2121(222211222211aabbmmmmvvvv221122112in21in12211ddddbabababarFrFrFrF&

22、应用动能定理求解力学问题的一般步骤应用动能定理求解力学问题的一般步骤(1) 确定研究对象；确定研究对象； 质点或质点系。质点或质点系。(2) 分析研究对象受力情况和各力的作功情况；分析研究对象受力情况和各力的作功情况； 质点系必须区分外力和内力。质点系必须区分外力和内力。(3) 选定研究过程；选定研究过程； 要确定初、末状态，及其对应的动能。要确定初、末状态，及其对应的动能。(4) 列方程；列方程； 根据动能定理列出方程，并列出必要的辅助性方程。根据动能定理列出方程，并列出必要的辅助性方程。(5) 解方程，求出结果。并对结果进行必要的讨论。解方程，求出结果。并对结果进行必要的讨论。 长为长为l

23、的均质绳索，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，的均质绳索，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，如图所示。已知绳索与水平面间的静摩擦系数为如图所示。已知绳索与水平面间的静摩擦系数为 S，滑动摩，滑动摩擦系数为擦系数为 k。以绳索的水平部分为研究对象，设绳索每单位以绳索的水平部分为研究对象，设绳索每单位长度的质量为长度的质量为 ，设设Oy轴向下，绳索下垂部分轴向下，绳索下垂部分的端点坐标为的端点坐标为y。(1) 满足什么条件时，绳索将开始滑动？满足什么条件时，绳索将开始滑动？(2) 若下垂长度为若下垂长度为b时，绳索自静止开始滑动，当绳索末端时，绳索自静止开始滑动，当绳索末端刚刚滑离桌面时，其速

24、度等于多少？刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？例例解解求求当当 时，水平部分受到的下垂部时，水平部分受到的下垂部分的拉力为分的拉力为0by gblF)(0SmaxS此时达到最大静摩擦力此时达到最大静摩擦力gbF0l则有则有0)(0S0gblgbOyy 即即 lbSS01(2) 以整个绳索为研究对象，绳索在运动过程中各部分之间以整个绳索为研究对象，绳索在运动过程中各部分之间 相互作用的内力的功之和为零。相互作用的内力的功之和为零。 当当 ，拉力大于最大静摩擦力，绳索将开始滑动。，拉力大于最大静摩擦力，绳索将开始滑动。0by 重力的功为重力的功为摩擦力的功为摩擦力的功为lbyygAdyylgAlb)

25、d(k)(2122blg2k)(21blg根据动能定理，有根据动能定理，有021)(21)(2122k22vlblgblg2k22)()(bllgbllgv解得解得若水平面光滑，则若水平面光滑，则 )(22bllgvrFAddGcosdrmgymgdAAabdbamgymgy rdyxOydagmaxbxaybycdb)2cos(drmgsindrmgbayyymgdLrgmAd0rFAddcosd2srrGmmrrGmmd2sbarrabrrGmmA2sd)(ssbarGmmrGmmrrdrFrdrdbbraarmsm)cos(d2srrGmmLrFAd0ikxFxkxdbaxxabxkxA

26、d222121bakxkxbmaxaOxcbxxkrFAddcosdrFLrFAd0 sF dkAAabdbasFdkkFabmcrFAddkcosdkrFabsFkrd0d LrFbamgymgyAG)(abmgymgy )()(wasbsrGmmrGmmA)2121(22abkxkx 22T2121bakxkxA)(pppabEEA21222121vvmmA结论结论:pppAEEab（势能零点）保baarFEdpp1p2p)(EEEA保mgyE prmGmEsp2p21kxE p1p2p)(EEEA保(1)dddpErFAczzEyyExxEEddddpppp)dd(d)(pppkzj y

27、i xkzEjyEixE(2)d)(ppprkzEjyEixE)(pppkzEjyEixEFcpExEFxpyEFypzEFzp O)重(pEyOx)弹(pEEkEaxbxpEABO)(p引ErxExFpc)(xFO0ddpxE0F0ddpxE0ddpxE0F0ddpxE0F0F0ddpxE0F1x2x3x4xx不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡axbxcxdx1x0EA2xB3xC4xDpExO2E3E1Eexfx有一双原子分子由有一双原子分子由A、B两原子组成，设两原子组成，设A原子位于坐标原点，原子位于坐标原点，B原子与原子与A原子的间距为原子的间距为x，这两原子之间的作用力为分子力，

28、这两原子之间的作用力为分子力（分子力是保守力，可用势能来描述分子力是保守力，可用势能来描述），且这两原子相互作用的），且这两原子相互作用的势能函数可以表示为势能函数可以表示为24 . 3p)(xbxaxE式中式中a和和b为正常数，为正常数，x以以m为单位，势能为单位，势能Ep(x)以以J为单位。为单位。(1) 势能势能 Ep(x) = 0 时，时，x = ? (2) 原子间的相互作用力和平衡位置。原子间的相互作用力和平衡位置。例例解解求求(1) 由由 解得解得 024 . 3xbxa4 . 11bax当当x 时，上述方程也能成立时，上述方程也能成立则则 x 也是一个解。也是一个解。(2) 保守

29、力等于相关势能梯度的负值，即保守力等于相关势能梯度的负值，即 xxEFxd)(dp)(dd24 . 3xbxax平衡位置，平衡位置，Fx = 0024 . 334 . 4xbxa34 . 424 . 3xbxa由由解得解得 x（舍去）（舍去） 4 . 117 . 1bax24 . 3p)(xbxaxE（平衡位置）（平衡位置）abEEAAkk内外非内保内内AAAabEEAAAkk非内保内外pEA保内)(ppabEE)()(pkpkaabbEEEEAA非内外abEEAA非保内外abEEAAA非保内外0非保内外AAA恒量pkEEE(1) 选取研究对象。选取研究对象。& 应用功能原理或机械能守

30、恒定律解题步骤应用功能原理或机械能守恒定律解题步骤(2) 分析受力和守恒条件。分析受力和守恒条件。 (3) 明确过程的始、末状态。明确过程的始、末状态。 需要选定势能的零势能位置。需要选定势能的零势能位置。 判断是否满足机械能守恒条件，如不满足，则应用功能判断是否满足机械能守恒条件，如不满足，则应用功能原理求解。原理求解。(4) 列方程。列方程。(5) 解方程，求出结果。解方程，求出结果。(6) 讨论解的物理意义。讨论解的物理意义。xmgA)cos(摩擦力)21()211222mghmkxmghv（mhhmgmgxkx)(2cos2122vmmgxmgxkxsin2cos22如图，放在倾角为如

31、图，放在倾角为 的斜面上的质量为的斜面上的质量为m的木块，由静止自的木块，由静止自由下滑，与劲度系数为由下滑，与劲度系数为k的轻弹簧发生碰撞，木块将弹簧最的轻弹簧发生碰撞，木块将弹簧最大压缩了大压缩了x m。设木块与斜面之间的摩擦系数为。设木块与斜面之间的摩擦系数为 。例例解解求求gmFkFNFxm2h1h开始碰撞时木块速率开始碰撞时木块速率v为多大为多大? ? 质量为质量为m的滑块置于粗糙水平桌面上，并系于橡皮绳的一端，的滑块置于粗糙水平桌面上，并系于橡皮绳的一端，橡皮绳的另一端系于墙上。橡皮绳原长为橡皮绳的另一端系于墙上。橡皮绳原长为a，处于拉伸状态的，处于拉伸状态的橡皮绳相当于劲度系数为

32、橡皮绳相当于劲度系数为k的弹簧。滑块与桌面的摩擦系数为的弹簧。滑块与桌面的摩擦系数为 。现将滑块向右拉伸至橡皮绳长为。现将滑块向右拉伸至橡皮绳长为b后再由静止释放。后再由静止释放。取坐标系如图取坐标系如图mgFk,:ab )(axkF滑块撞击墙时的速度多大？滑块撞击墙时的速度多大？ 例例解解求求设滑块撞墙时的速度为设滑块撞墙时的速度为v受力分析受力分析:Oa mgFkmgbxFAabdcos对全过程应用动能定理对全过程应用动能定理方法方法1 1： abmgbxaxk)d(221vm由此解得由此解得 gbabmk2)(2vOxabx对滑块运动的全过程应用功能原理，取橡皮绳自然长对滑块运动的全过程

33、应用功能原理，取橡皮绳自然长度的度的a点为势能零点。点为势能零点。mgbA外由此解得由此解得gbabmk2)(2v在功能原理中，以势能增量的负值来代替弹性力的功，在功能原理中，以势能增量的负值来代替弹性力的功，可以避免繁杂的积分运算，使求解过程大为简化。可以避免繁杂的积分运算，使求解过程大为简化。方法方法2 2： 22)(2121abkmv则有则有 Oxabx(1) 卫星的动能和机械能。卫星的动能和机械能。(2) 如要使卫星脱离地球引力范围，这颗卫星在地面最小的如要使卫星脱离地球引力范围，这颗卫星在地面最小的 发射速度。发射速度。一质量为一质量为m的人造地球卫星，沿半径为的人造地球卫星，沿半径

34、为r的圆轨道绕地球运行。的圆轨道绕地球运行。(1) 以卫星和地球组成的系统为研究对象以卫星和地球组成的系统为研究对象rmrmmG22Ev例例解解求求设地球质量为设地球质量为mE , ,卫星的动能为卫星的动能为 2k21vmE ( (无穷远处为万有引力势能零点无穷远处为万有引力势能零点) )rGmm2E则有则有则卫星的势能为则卫星的势能为rGmmEEp卫星的机械能为卫星的机械能为rGmmrGmmEEE2rGmm2E(2) 以卫星和地球为系统，系统机械能守恒以卫星和地球为系统，系统机械能守恒RmGmEE1p脱离地球引力时，相当于卫星距地球无穷远处，脱离地球引力时，相当于卫星距地球无穷远处，此时引力

35、势能为零，取此时卫星速度为零。此时引力势能为零，取此时卫星速度为零。卫星在地面发射时的势能为卫星在地面发射时的势能为设为脱离地球引力卫星在地面附近发射的最小速度为设为脱离地球引力卫星在地面附近发射的最小速度为v0则有则有0)(21E20RGmmmv由此解出由此解出 RGmE02v2ERmGg Rg20v116sm2 .11sm 8 . 91037. 62cosd2rFRaarFEdpRmGm2ERmGmEbEp02ERmGmRGmEv例例解解求求ROymRrFrrmmGRd22E2E21vmRmGmab2.4 动量定理与动量守恒定律动量定理与动量守恒定律主要内容：主要内容：1. 动量与冲量动量

36、与冲量2. 质点的动量定理质点的动量定理4. 动量守恒定律动量守恒定律3. 质点系的动量定理质点系的动量定理 tpFddptFdd tFIdd21ddtttFIIIiitFd 是随时间而变的，但是随时间而变的，但dt时间内，可认为时间内，可认为 恒定不变。恒定不变。FItFdFzzyyxxmpmpmpvvvvmtmFd)d( vvmp mpE22k)d(dvmtF2121)d(dvvvmtFtttmFd)d( v12vvmmzzttzzyyttyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI121212212121dddvvvvvv 1221dtttFFtt)(12ttF d21tttFI12t

37、tI1212ttmmvvF)(tF1t2ttFtOgh20v)(0)(0vmtmgFmgtghmF2N1069. 16例例解解求求F)(0)d(00vmtmgFt y0vmhOmFgmmktjti tF23)2(21020dtFI202d3)2(210tktjti t2020220d3)d2(2d10k ttj tti ttsN)8420(kji例例解解求求0221ppIttt2tpsN)8420(2kjipt212tttIpsN9 .21sN 8420222 从从 秒到秒到2秒这段时间内质点所受到的合力的冲量。秒这段时间内质点所受到的合力的冲量。如图所示，一质量为如图所示，一质量为m = 1

38、kg的质点，沿半径为的质点，沿半径为R = 2m的圆的圆周运动。取周运动。取O点为自然坐标的原点，质点在自然坐标中的运点为自然坐标的原点，质点在自然坐标中的运动方程为动方程为 ( (SI) )。221ts 由质点的运动方程可知由质点的运动方程可知00s2m1s00ts22tm22stsdtdvs21t例例解解求求质点位于质点位于O点点质点位于质点位于P点点质点位于质点位于Q点点质点的运动速率为质点的运动速率为时，质点的速率和动量分别为时，质点的速率和动量分别为 ( (方向如图所示方向如图所示) ) 1 -1sm2v11vmp s21t1 -smkg2OPCQ1vm t1到到t2时间内质点所受合

39、力的冲量为时间内质点所受合力的冲量为 12vvmmIs22t时，质点的速率和动量分别为时，质点的速率和动量分别为 (方向如图所示方向如图所示 )1 -2sm2v22vmp 1 -smkg2由图示动量合成三角形可知由图示动量合成三角形可知)( vmI 冲量的方向可用冲量的方向可用 角来表示角来表示22tan12vvmm44542221)()(vvmm1 -smkg69. 71vm2vm)( vmOPCQ1vm2vm将一根质量为将一根质量为m、长度为、长度为L的均质柔绳竖直地悬挂起来，使的均质柔绳竖直地悬挂起来，使其下端恰好与地面接触，如图所示。若将此绳上端由静止其下端恰好与地面接触，如图所示。若

40、将此绳上端由静止状态释放，让其自由下落到地面上。状态释放，让其自由下落到地面上。当绳子下落当绳子下落l长度时，地面对绳的作用力。长度时，地面对绳的作用力。例例解解求求以地面为坐标原点，沿竖直方向为以地面为坐标原点，沿竖直方向为y轴。轴。yLlAyOyLAOB在在dt 时间内，时间内，dy = v dt 的一小段绳子的一小段绳子继续落地。以继续落地。以dy 绳子为研究对象，则绳子为研究对象，则其质量为其质量为 当绳子下落当绳子下落l长度时，未落地部分的长度时，未落地部分的绳子的速率为绳子的速率为gl2v( (方向向下方向向下) )ymddyLmdtLmdvdy这一小段绳子受力为：地面的平均冲力这

41、一小段绳子受力为：地面的平均冲力 和重力和重力 NFgmdlgLmF2N忽略重力，则对忽略重力，则对dy应用动量定理，有应用动量定理，有 ptFddN)d(02tLmv)d(0mv2NvLmF 代入代入v 的表达式的表达式dy对地面的作用力为对地面的作用力为lgLmFF2NN已落到了地面上已落到了地面上l长度的绳子对地面的正压力为长度的绳子对地面的正压力为lgLmF G地面受到总作用力为地面受到总作用力为GNFFFlgLmlgLm2lgLm3 1F111121in1121)d(vvmmtFFtt2,F1F1m2min1Fin2F2Fin1Fin2,Ft1 时刻时刻, ,两质点的速度分别为两质点

42、的速度分别为11v21v,t2 时刻时刻, ,两质点的速度分别为两质点的速度分别为12v22v,212222in2221)d(vvmmtFFtt2121)d()d(in2in121tttttFFtFF)()(211111222121vvvvmmmmin2in1FF21dtttF12pp21)d(21tttFF)()(211111222121vvvvmmmm 21dttiitF)()(12iiiiiimmvv )()(d )(1221xiixiittixmmtFvviiptFdd0iF0ddipt常矢量iiimpv0ixFiximv0iyFiyimv0izFizimv 0d mmvvmvv mm

43、dv )d(mmvvmmmp)d(dv md例例解解ptFdd N 3500vtmFddN105 . 13v mdxmdvFmyx 0v水力采煤、墙面清洗等过程用的高压水枪，以水力采煤、墙面清洗等过程用的高压水枪，以v0 = 30m/s的的速率向墙垂直喷出截面积速率向墙垂直喷出截面积S = 310-4m2的水柱，如图所示。的水柱，如图所示。与墙冲击后，水滴向四周均匀飞溅形成一个半顶角与墙冲击后，水滴向四周均匀飞溅形成一个半顶角 = p p/3的的圆锥面，飞溅速率圆锥面，飞溅速率v = 4m/s。以以 t时间内喷向墙面的水柱中的水为研究对象。时间内喷向墙面的水柱中的水为研究对象。)(cosd0v

44、vmmtFtx)cos(0vvmtFx水柱对墙面的冲击力。水柱对墙面的冲击力。例例解解求求设其质量为设其质量为m，在图示的直角坐标系中，墙面，在图示的直角坐标系中，墙面对其沿对其沿x轴方向的作用力为轴方向的作用力为Fxv沿沿x轴方向应用动量定理的分量式，有轴方向应用动量定理的分量式，有)cos(0vvtmFx)cos(00vvvS墙对水柱的净作用力沿轴方向，即垂直于墙面。墙对水柱的净作用力沿轴方向，即垂直于墙面。根据牛顿第三定律，水柱给墙面的平均冲击力为根据牛顿第三定律，水柱给墙面的平均冲击力为 xFF)cos()cos(000vvvvvttStmFx)cos(00vvvS将已知参数代入上式，

45、得将已知参数代入上式，得N288F方向沿方向沿x轴负向。轴负向。 1v)(01122vvmmx1122vvmmx例例解解求求1m1s2syOx1v2v2mx2vR2vttxtmtm011022ddvvtxts022dvtts011dv(1)1122smsmttxtmtm011022ddvv1m1s2syOx1v2v2mx2vR)(122vvvx12vvxttR02dvtxt012)d(vv(2) 21RssRmmms2121火箭是一种自带燃料和助燃剂的太火箭是一种自带燃料和助燃剂的太空飞行器，它依靠燃料燃烧喷出的空飞行器，它依靠燃料燃烧喷出的气体所产生的反冲推力向前推进。气体所产生的反冲推力向

46、前推进。设不计地球引力和空气阻力。设不计地球引力和空气阻力。vvvmummmp)d()d)(d(d例例解解则在时间则在时间dt内，系统动量的增量为内，系统动量的增量为 mv)d(mvvdmmduvvvvvmummmmm)(d)(d(dd)(d略去二阶无穷小，则有略去二阶无穷小，则有 mump)d(ddvv求求火箭所能达到的最大速度。火箭所能达到的最大速度。设各量如图。图中设各量如图。图中dm 0，且，且 三个速度均为相三个速度均为相对于地面参考系的速度。对于地面参考系的速度。u、vvvd设喷气出口的相对速度为设喷气出口的相对速度为 ，即，即 vv ur则系统动量的增量可表示为则系统动量的增量可

47、表示为不计地球引力和空气阻力，火箭系不计地球引力和空气阻力，火箭系统的动量守恒，即统的动量守恒，即mmpdddrvv0dddrmmpvv mv)d(mvvdmmdux取竖直向上作为取竖直向上作为x轴的正方向，则轴的正方向，则0)d(drmmvvmmddrvv设火箭发射时的质量为设火箭发射时的质量为mi，初速度为，初速度为vi，燃料耗尽时的质量，燃料耗尽时的质量为为mf，末速度为，末速度为vf。firiflnmmvvv通常喷气出口速度通常喷气出口速度vr为常量，积分得为常量，积分得rv(1) 选取研究对象。选取研究对象。& 应用动量定理和动量守恒定律解题步骤应用动量定理和动量守恒定律解题

48、步骤(2) 分析受力。分析受力。(3) 确定过程。确定过程。(4) 列方程求解。列方程求解。 要选取适当的坐标系，一般要列出动量定理或动量守恒定要选取适当的坐标系，一般要列出动量定理或动量守恒定律方程的分量式。律方程的分量式。需要考虑一定的时间间隔或一个过程。需要考虑一定的时间间隔或一个过程。 判断是否满足合外力为零，或是否沿某一方向合外力投判断是否满足合外力为零，或是否沿某一方向合外力投影的代数和为零，或是否合外力远小于内力？若满足这类条影的代数和为零，或是否合外力远小于内力？若满足这类条件，就应用动量守恒定律求解，否则就应用动量定理求解。件，就应用动量守恒定律求解，否则就应用动量定理求解。

49、2.5 质心运动定理质心运动定理主要内容：主要内容：1. 质心质心2. 质心运动定理质心运动定理 各质点的质量、位矢各质点的质量、位矢和速度分别为和速度分别为 u 质心的定义质心的定义设质点系如图，设质点系如图，Oxyz),(111vrm),( ,222vrm),(iiirmv,nnmmmpvvv2211trmtrmtrmnndddddd2211)(dd2211nnrmrmrmtnmmmm211m2mim CrCvtrddCCvOxyzC1m2mimCvmtrmmmndd)(C21)(dd2211nnrmrmrmtnnnmmmrmrmrmr212211C)(mrmiiitrmmmndd)(C2

50、1p iiiiiiiiizmmzymmyxmmx)(1)(1)(1CCC u 质心位置的计算质心位置的计算iiirmmr1COxyzC1m2mim OxyzCmdrCr)(x,y,z)(CCC,z,yxmrmrd1Cmzmzmymymxmxd1d1d1CCC Cvmp taddCCviiirmmr1CtrddCCvtmddCvtpFddCam一质点系由两个质点组成，它们的一质点系由两个质点组成，它们的质量分别为质量分别为m1和和m2。此两质点的位。此两质点的位置坐标为（置坐标为（x1，y1）和（）和（x2，y2），），如图所示。如图所示。根据质心的位置坐标式可知根据质心的位置坐标式可知2122

51、11Cmmxmxmx212211C ;mmymymyl 可以证明，该质点系的质心可以证明，该质点系的质心C位于两质点的连线上，且质位于两质点的连线上，且质 心到各质点的距离与质点的质量成反比。心到各质点的距离与质点的质量成反比。例例解解求求 该质点系的质心。该质点系的质心。1y1xCCyCx2y2xyOx1m2m由质心的位置可得由质心的位置可得211C2mmxxxxC211C2 ;mmyyyyC比较此两式还可知比较此两式还可知1C1CC2C2xxyyxxyy选如图所示的坐标系选如图所示的坐标系lmdd由质心的位置坐标式，有由质心的位置坐标式，有mlyydC而而sinRy ddRl 一段均匀铁丝

52、弯成半圆形，其质量为一段均匀铁丝弯成半圆形，其质量为m，半径为，半径为R。例例解解半圆对半圆对y轴对称，则质心应在轴对称，则质心应在y轴上轴上任取一微元长为任取一微元长为dl，质量为，质量为dmlRmdmRRy0CdsinR2则则mR22RyxOyCl dd则有则有此半圆形铁丝的质心。此半圆形铁丝的质心。 求求 1xv一长一长l = 4m，质量，质量m1 = 150kg 的船，静止在湖面上。现有一的船，静止在湖面上。现有一质量质量m2 = 50kg 的人，从船头走到船尾，如图所示。的人，从船头走到船尾，如图所示。人和船相对于湖岸各移动的距离。人和船相对于湖岸各移动的距离。（设水对船的阻力忽略不

53、计）（设水对船的阻力忽略不计）例例解解求求以人和船组成的质点系为研究对象以人和船组成的质点系为研究对象vlbsyxOms2x2x1x质点系所受外力沿质点系所受外力沿x轴的分量为零轴的分量为零则则0ddCCtaxxvxCv0Cx常量常量而而txxxddC0CCvv常量常量建立坐标系，坐标如图所示。建立坐标系，坐标如图所示。质心位置坐标在人走质心位置坐标在人走动过程中保持不变动过程中保持不变CCx在人走之前，人船系统质心的坐标为在人走之前，人船系统质心的坐标为 212112Cmmxmxmx当人走到船尾时，系统质心的坐标为当人走到船尾时，系统质心的坐标为212112Cmmxmxmx21b21b12)

54、()(mmsxmslxm因为因为CCxx 船相对于湖岸移动的距离为船相对于湖岸移动的距离为122bmmlms人相对于湖岸移动的距离为人相对于湖岸移动的距离为bmslsm3211mmlmm150150450 1xvvlbsyxOms2x2x1xCCx2.6 对心碰撞对心碰撞主要内容：主要内容：1. 完全弹性碰撞完全弹性碰撞2. 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞3. 非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞u 完全弹性碰撞完全弹性碰撞、非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞、恢复系数恢复系数v完全弹性碰撞完全弹性碰撞：碰撞前后碰撞前后，动量守恒，总动，动量守恒，总动能不变。能不变。v非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞：碰撞前后碰撞前后，动量守恒，总动，动量守恒