大学物理竞赛辅导-机械振动与波动2015

1、1大学物理竞赛辅导大学物理竞赛辅导2机械振动机械振动一、简谐振动的定义一、简谐振动的定义 1、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）随时间按余弦（或正弦）函数的规律变化，称角位移）随时间按余弦（或正弦）函数的规律变化，称这个物体在作这个物体在作简谐振动简谐振动或或简谐运动简谐运动。 2、两个特例：、两个特例：“弹簧振子弹簧振子”和和“单摆单摆” 。弹弹簧簧振振子子单单摆摆3动力学特征动力学特征：动力学方程动力学方程：运动方程运动方程：kxf mgl sinMmgl 222ddxxt 222ddt cos()xAt )cos( tA弹簧

2、振子弹簧振子单摆单摆mk/ lg/ iikk11串串 iikk并并注注1：弹簧振子水平放置，弹簧振子水平放置，竖直放置或放在固定的光滑竖直放置或放在固定的光滑斜面上都可以做简谐振动。斜面上都可以做简谐振动。注注2：l4例例1. 如图，用六根拉伸的长度均为如图，用六根拉伸的长度均为10cm的弹簧将的弹簧将一质量一质量m为为10g的物体悬挂起来。每个弹簧上的拉的物体悬挂起来。每个弹簧上的拉力均为力均为5N，如果将物体垂直于图面向外稍微拉动，如果将物体垂直于图面向外稍微拉动一下，然后释放，则该物体一下，然后释放，则该物体m振动的频率为振动的频率为_Hzm解：解： xl设物体相对图面的垂直位移为设物体

3、相对图面的垂直位移为x，弹簧相对面的倾角为弹簧相对面的倾角为，物体受弹簧合力物体受弹簧合力( (指向图面指向图面) )为为F则：则：x=lsin， F=6fsin6f其中其中l为弹簧长度，为弹簧长度，f为一根弹簧拉力为一根弹簧拉力2222dd, 60ddxmFmlftt 由由得得f 阻碍阻碍的增大的增大，f 0 弱阻尼弱阻尼 0无阻尼无阻尼 = 0 , 2220 共共 2220 hA共共16例例6.固有频率为固有频率为0的弹簧振子，在阻尼很小的情的弹簧振子，在阻尼很小的情况下，受到频率为况下，受到频率为20的余弦策动力作用，作受迫的余弦策动力作用，作受迫振动并达到稳定状态，振幅为振动并达到稳定

4、状态，振幅为A。若在振子经平衡。若在振子经平衡位置时撤去策动力，则自由振动的振幅位置时撤去策动力，则自由振动的振幅A与与A的关的关系是系是_.稳定振动时振子频率即策动力频率，圆频率为稳定振动时振子频率即策动力频率，圆频率为 2 (2)，解：解：A=2A经平衡位置时速度最大为经平衡位置时速度最大为: V=。撤去策动力后，速度仍为撤去策动力后，速度仍为V，做自由振动，其圆频做自由振动，其圆频率率 0，仍有关系，仍有关系V=AA=A, A=/A=2A(1996.一一.2)17五五 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成)cos(21tAxxx1 两个同方向同频率简谐运动合成后仍

5、为简谐运动两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动cos2212221AAAAA* *2 2 两个同方向不同频率简谐运动合成两个同方向不同频率简谐运动合成 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍. .12拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）* *3 3、 相互垂直振向简谐振动的合成相互垂直振向简谐振动的合成 合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率有简单合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率有简单整数比整数比 关系时，是稳定的封闭曲线，称为关系时，是

6、稳定的封闭曲线，称为“李萨如图形李萨如图形 ”。18 )(sin)( cos21 2 21 2 21222212 AAxyAyAx0 2 23 47 4 43 45 相互垂直的同频率谐振动的合成相互垂直的同频率谐振动的合成 19例例7. 两个线振动合成一个圆运动的条件是两个线振动合成一个圆运动的条件是(1984.二二.2)答案：答案：同频率同频率；同振幅同振幅；两振动互相垂直两振动互相垂直；位相差为位相差为k=0，1，2， 212k 20一一 机械波的基本概念机械波的基本概念1 机械波产生条件：机械波产生条件：1）波源；）波源；2）弹性介质）弹性介质. 机械振动在机械振动在弹性弹性介质中的传播

7、形成波，波是运动介质中的传播形成波，波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播状态的传播，介质的质点并不随波传播.2 描述波的几个物理量描述波的几个物理量2 波长波长 ：一个完整波形的长度：一个完整波形的长度.2 周期周期 ：波前进一个波长的距离所需要的时间：波前进一个波长的距离所需要的时间.T2 频率频率 ：单位时间内波动所传播的完整波的数目：单位时间内波动所传播的完整波的数目.2 波速波速 ：某一相位在单位时间内所传播的距离：某一相位在单位时间内所传播的距离.uT1TuTuu机械波机械波212 波函数的物理意义波函数的物理意义二二 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数)(2cos)(xTt

8、Ax,ty角波数角波数)cos(),(kxtAtxy2k)(cos)(uxtAx,ty122三三 波动的能量波动的能量 12 平均平均能量密度：能量密度：2221Aw3 平均平均能流密度（波强度）：能流密度（波强度）：uAuwI2221kpWWW kp22WW VuxtA )(sin222 每个质元都与周围媒质交换能量。每个质元都与周围媒质交换能量。振动系统：振动系统：.constpkpk EEEE， 系统与外界无能量交换。系统与外界无能量交换。对无吸收媒质：波传播时振幅的变化对无吸收媒质：波传播时振幅的变化 平面波：平面波：A1= A2 ； 球面波：球面波： A1 r1 = A2 r223例

9、例8.某时刻的弦波如图示，此时图中用实线示出的某时刻的弦波如图示，此时图中用实线示出的弦段中，振动动能最大的部位在弦段中，振动动能最大的部位在_处，振动处，振动势能最大的部位在势能最大的部位在_处。处。ABC解：因解：因B处的拉伸最甚，故处的拉伸最甚，故B处的振动势能最大处的振动势能最大（第二空第二空），本题是行波（不是驻波），而行波），本题是行波（不是驻波），而行波的振动动能恒等于振动势能，故振动动能的最大的振动动能恒等于振动势能，故振动动能的最大部位也在部位也在B处（处（第一空第一空）241.驻波方程驻波方程:121222 cos()cos()22yAxt 相位中无相位中无 x振动因子振动

10、因子振幅振幅 | |A2.驻波的特点驻波的特点: 两波腹或两波节之间的距离恒为两波腹或两波节之间的距离恒为 /2,相邻两波节之间的所相邻两波节之间的所有点具有相同的相位有点具有相同的相位.波节两侧各波节两侧各 /2之间的所有点具有相反之间的所有点具有相反的相位的相位.oxyuu4243四、驻波四、驻波253、半波损失、半波损失（1）波密）波密波疏，波疏，反射点反射点无相位突变无相位突变；（2）波）波疏疏波波密密，反射点反射点相位突变相位突变 . “半波损失半波损失”4、实际驻波的产生、实际驻波的产生固定（封闭）端固定（封闭）端波节波节自由（敞开）端自由（敞开）端波腹波腹形成驻波时形成驻波时弦线

11、振动弦线振动空气柱振动空气柱振动两个特例两个特例)3 . 2 , 1(2 nnL Lunu2 弦的弦的固有频率固有频率（本征频率本征频率）26例例9.声波是声波是_(填填“横波横波”或或“纵波纵波”).若声波若声波波源是置于空气中的一个球面物，它发出的球面波源是置于空气中的一个球面物，它发出的球面简谐波在与球心相距简谐波在与球心相距 r0处的振动振幅为处的振动振幅为A0，不计空，不计空气对声波能量吸收等引起的损耗，则在气对声波能量吸收等引起的损耗，则在 rr0 处声处声波振动振幅为波振动振幅为A=_。声波是声波是纵波纵波解：解：2AI 波的强度波的强度(平均平均能流密度能流密度)r0处的平均能

12、流密度为处的平均能流密度为200AkI r处的平均能流密度为处的平均能流密度为2AkI 不计能量的损耗，有不计能量的损耗，有IrIr202044 00ArrA (2001.一一.2)27例例10.如图所示，在坐标原点如图所示，在坐标原点o处有一波源，它所激处有一波源，它所激发的振动表达式为发的振动表达式为 yo=cos2 t 。该振动以平面波。该振动以平面波形式沿形式沿x轴正方向传播，在距波源轴正方向传播，在距波源d处有一平面将处有一平面将波全反射回来（反射时无半波损失），则在坐标波全反射回来（反射时无半波损失），则在坐标x处反射波的表达式为处反射波的表达式为_.(1984.二二.1)2(2(

13、4) xdvtcosAy )2(2(3) xdvtcosAy )(2(2) xdvtcosAy )(2(1) xdvtcosAy xxdoPB28解：解：xxdoPB在波源坐标原点在波源坐标原点o处处的振动方程为的振动方程为0cos2yAvt 入射波使入射波使B点振动的振动方程为点振动的振动方程为0dcos2()uyAv t 上式亦为反射波使上式亦为反射波使B点振动的振动方程点振动的振动方程。反射波使反射波使P点振动的振动方程为点振动的振动方程为：0ddxcos2()uuyAv t 答案：答案：(3)29例例11.在一根线密度为在一根线密度为=1g/m的弦上形成驻波，弦的弦上形成驻波，弦的张力

14、为的张力为T=10N，若入射波与反射波分别为，若入射波与反射波分别为波的频率为波的频率为=50Hz,则在则在t=1/3s时的波形曲线为时的波形曲线为( )(1987.一一.1)ucos,ucos21ytAxytAx30例例11.在一根线密度为在一根线密度为=1g/m的弦上形成驻波，弦的弦上形成驻波，弦的张力为的张力为T=10N，若入射波与反射波分别为，若入射波与反射波分别为ucos,ucos21ytAxytAx波的频率为波的频率为=50Hz,则在则在t=1/3s时的波形曲线为时的波形曲线为( )(1987.一一.1)解：解： 驻波驻波 ycostcosAxxx2221 u100Tms u100

15、250m 1100,t233tstycosAycoscosAx 31002此时此时正与图形正与图形()相符。相符。31例例12. 驻波可看作两列行波叠加而成，下图中圆点驻波可看作两列行波叠加而成，下图中圆点（）代表一维驻波的波节位置，叉（）代表其）代表一维驻波的波节位置，叉（）代表其波腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图波腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图依时序图（依时序图（a）、（）、（b）、（）、（c）所示。试在各图中）所示。试在各图中画出另一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表画出另一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表示）示）(1995.一一.8)32解：解：两两列行波叠加形成驻

16、波时，它们在各波腹处列行波叠加形成驻波时，它们在各波腹处引起的分振动必同相，而在波节处的必反相，据引起的分振动必同相，而在波节处的必反相，据此可绘出另一列行波相应时刻的波形图。此可绘出另一列行波相应时刻的波形图。33yAxoABCup 例例 如图一向右传播的简谐波在如图一向右传播的简谐波在 t 时刻的波形时刻的波形BC 为为波密波密媒质的反射面，则反射波在媒质的反射面，则反射波在 t 时刻的波形图为：时刻的波形图为：答：答：（B）P 点两振动反相点两振动反相yAxoAyAoAxuu（C）（D）yAxoAu（A）pppyAxoAu（B）p34例例13.标准声源能发出频率为标准声源能发出频率为 H

17、z的声波，的声波，一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的拍音，若在音叉的臂上粘一小块橡皮泥，则拍的拍音，若在音叉的臂上粘一小块橡皮泥，则拍频增加，音叉的频增加，音叉的固固有频率有频率 _ .将上述音将上述音叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高度，叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高度，当管中空气柱高度当管中空气柱高度L从零连续增加时，发现在从零连续增加时，发现在L=0.34m和和1.03m时产生相继的两次共鸣，由以上时产生相继的两次共鸣，由以上数据算得声波在空气中的传播速度为数据算得声波在空气中的传播速度为_.0 .2500 v v解：解：

18、拍频为拍频为1.5Hz时有两种可能时有两种可能Hz.vvHz.vv515100 ，音叉粘上橡皮泥后质量增加，频率音叉粘上橡皮泥后质量增加，频率 应应减小减小，(1993.一一.6)35此时拍频增加，由此可判断出此时拍频增加，由此可判断出Hz.vv510 248.5Hz.Hz.vv 510共鸣时气柱内形成驻波，共鸣时气柱内形成驻波，共鸣时的气柱高度应满足关系共鸣时的气柱高度应满足关系2) 12(nLn故第一、二此共鸣时气柱的高度差故第一、二此共鸣时气柱的高度差212 LLm.)LL(381212 vu .sms.34352483811 361、 波源不动，观察者相对介质以速度波源不动，观察者相对

19、介质以速度 运动运动ov观察观察者接者接收的收的频率频率 uuov观察者观察者向向波源运动波源运动观察者观察者远离远离波源波源uuov五、多普勒效应五、多普勒效应 波源或观测者或它们二者相对于介质运动时，观测波源或观测者或它们二者相对于介质运动时，观测者接收到的频率和波源的频率并不相等的现象。者接收到的频率和波源的频率并不相等的现象。37bAs sTsvuTuuTTbsvTuTs1vsvuusvuu波源波源向向观察者运动观察者运动观察观察者接者接收的收的频率频率 波源波源远离远离观察者观察者svuu2、 观察者不动，波源相对介质以速度观察者不动，波源相对介质以速度 运动运动sv383、波源与观

20、察者同时相对介质运动、波源与观察者同时相对介质运动),(osvvsovvuu 若波源与观察若波源与观察者不沿二者连线运者不沿二者连线运动动ovsvovsvsovvuu ov观察者观察者向向波源运动波源运动 + ，远离远离 .波源波源向向观察者运动观察者运动 ，远离远离 + .sv39 当当 时，所有波时，所有波前将聚集在一个圆锥面上，前将聚集在一个圆锥面上，波的能量高度集中形成波的能量高度集中形成冲击冲击波波或或激波激波，如核爆炸、超音，如核爆炸、超音速飞行等速飞行等.usv5）卫星跟踪系统等卫星跟踪系统等.1）交通上测量车速；交通上测量车速；2）医学上用于测量血流速度；医学上用于测量血流速度

21、；3）天文学家利用电磁波红移说明大爆炸理论；天文学家利用电磁波红移说明大爆炸理论；4）用于贵重物品、机密室的防盗系统；用于贵重物品、机密室的防盗系统；多普勒效应的应用多普勒效应的应用tsv1P2Put40 3. 3.两个实验者两个实验者A A和和B B各自携带频率同为各自携带频率同为1000Hz1000Hz的声源，的声源，声波在空气中的传播速度为声波在空气中的传播速度为340m/s340m/s，设，设A A静止，静止，B B以以20m/s20m/s的速率的速率朝着朝着A A运动，则运动，则A A除了能收到频率为除了能收到频率为1000Hz1000Hz的声波外，还能接收到的声波外，还能接收到的频

22、率为的频率为_Hz_Hz的声波；的声波；B B除了能收到频率为除了能收到频率为1000Hz1000Hz的声波外，的声波外，还能接收到的频率为还能接收到的频率为_Hz_Hz的声波。的声波。 解：解： 以以u u表示声波在空气中的传播速度，以表示声波在空气中的传播速度，以v v表示表示B B相对相对于空气的速度。以于空气的速度。以A A为接收器，以为接收器，以B B为声源时，有为声源时，有)Hz(10631000203403400vuuA（第一空）19届届 填空填空3以以B为接收器，以为接收器，以A为声源时，有为声源时，有)Hz(10591000340203400uvuB(第二空）41例例14.声波在空气中的传播速度为声波在空气中的传播速度为u1 ，在铜板中的，在铜板中的传播速度为传播速度为u2 ，设频率为，设频率为 的声波从图中静止的的声波从图中静止的波源波源S发出，经空气传播到以速度发出，经空气传播到以速度 V u1 向前运动向前运动的平行铜板，在铜板的正前方有一静止的接收者的平行铜板，在铜板的正前方有一静止的接收者B,则则S接收到的由铜板反射回的声波频率接收到的由铜板反射回的声波频率1=_，B接收到的由铜板反射回的声波频率接收到的由铜板反射回的声波频率 2 =_。( 与与V平行）平行）SB0 (1994.一一.6)解：解：110201v,vuvu 波源波源S静止，以