第二章内力与内力图

1、2-1 横截面上内力与内力分量横截面上内力与内力分量2-2 轴向拉压杆的内力与内力图轴向拉压杆的内力与内力图2-3 扭转圆轴的内力与内力图扭转圆轴的内力与内力图2-4 平面弯曲梁的内力与内力图平面弯曲梁的内力与内力图2-5 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图q截面法求内力步骤v将杆件在欲求内力的截面处假想的截断，取其中任一部分；v画出其受力图。所有外力，并在断面上画出相应内力；v由静平衡条件确定内力大小。例：如左图，求n-n面的内力。 0 xFPNFF 右半部分： 0 xFPNFF左右两部分的力方向相反，但是同一内力，因此规定内力由变形确定正负号，是标量。左半部分mmP2P5P3P4

2、P1(a)P2mmP3P1(b)xMP2mmP3P1(c)zyFRCyxMxP2mmP3P1(d)zFQyCFQzMzMyNF利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图轴方向上的分量。、为主矢在、轴方向上的分量。、为主矩在、其中：zyxFFFzyxMMMQzQyNzyxNQyQzxyzFxFFyzMxMMyz使杆件沿 方向产生轴向拉压变形，称为轴力、使杆件沿 、 方向产生剪切变形，称为剪力使杆件绕 轴发生扭转变形，称为扭矩、使杆件分别绕 、 轴发生弯曲变形，称为弯矩yxMxP2mmP3P1zFQyCFQzMzMyNF载荷特点：受轴向力作用变形特点

3、：各横截面沿轴向做平动内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN轴力正负规定：拉正压负。 即拉伸变形为正，压缩变形为负。NFP其中：载荷特点：作用力与截面平行（垂直于轴线）变形特点：各横截面发生相互错动内力特点：内力沿截面方向（与轴向垂直），简称 剪力剪力FQ剪力正负规定：左上右下正；或顺正逆负。左上：指研究体的左截面（右半边物体）剪力向下载荷特点：受绕轴线方向力偶作用（力偶作用面平行于横截面）变形特点：横截面绕轴线转动内力：作用面与横截面重合的一个力偶，称为扭矩Mx或T扭矩正负规定：右手螺旋法则，拇指离开截面为正， 指向截面为负。xMM其中：xM载荷特点：在梁的对称截面内，作用有力或力偶。变形

4、特点：梁的横截面绕某轴转动一个角度。中性轴（面）内力：作用面垂直横截面的一个力偶，简称弯矩M内力沿截面方向（与轴向垂直），简称 剪力弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。（形象记忆：笑正哭负）QF变 形产生内力名称 表示符号 规 定应力拉、压轴 力 拉 压剪 切剪 力无扭 转扭 矩右手螺旋法则弯 曲剪力弯矩顺 逆笑 哭 QzFNFQFQyFxMyMzMq定义v以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为轴向拉伸或压缩q内力的计算v截面法l如左图q内力的表示v轴力图-形象表示轴力沿轴线变化的情况为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表

5、示轴力的大小，这样得到的图形称为轴力图q例 如图（a），F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。解：1)由杆件静平衡计算外力b)求BC段轴力。从2-2截面处截开，取右段，如图14-1-3所示3)图（d）为AB杆的轴力图1111002.5xNNFFFFFkN2323001.5xNNFFFFFkN (a)(b)(c)(d)ABC2)由外力分段，每段内力计算： a)截面法求AC段轴力。沿截面1-1处截开，取左段如图(b)(5 . 1)0(5 . 2baxakNaxkNFNkNFFx402外 力轴 力 图无外力不 变 集中力F突变。方向：拉正压负；大小：集中力大小F 均匀分布力在分布力的起

6、始和终止截面，轴力没有突变。以斜直线渐变。方向：拉正压负；大小：qL. LqA B C D E A B C D EF2=420NF3=280N F4=800NF1=500N-160920640500 x()NFNq扭转变形的定义v横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转v以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴v本课程主要研究圆截面轴q功率、转速和扭矩的关系 q扭矩图v仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，即为扭矩图。 9549ePMn其中：M为外力矩(N.m)P为功率(kW)n转速(r/min)例 如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=1

7、4kW，轴的转速n=300r/min.试画传动轴的扭矩图。nP解：1)1)计算外力偶计算外力偶3)3)画扭矩图 d)36954995491146 .300AAPMN mn350.446.BCDMMN mMN m；110350.BxxMMMN m 220700.BCxxMMMMN m 330446 .DxxMMMN m2)2)由外力偶分段，用截面法由外力偶分段，用截面法分别求每段轴的扭矩即为1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，如图a)、b)、c)，由0 xM 1xM2xM3xM(. )xMN mx350700446ABCDd)350 . ()700 . ()446 . ()xN m BCMN m

8、 CAN m AD段段段外 力扭矩图无外力偶不 变 集中力偶突变。方向：右手螺旋法则，四指指向外力偶方向，拇指离开为正；大小：集中力偶大小 均匀分布力偶在分布力的起始和终止截面，扭矩没有突变。以斜直线渐变。方向：右手螺旋法则，四指指向外力偶方向，拇指离开为正；大小：qmlqm lemem(.)xMN mx350700446ABCD10kN2mABC20.kN m30.kN m(. )xMkN mxDABC20101010.kN mDq弯曲梁的概念及其简化u杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称为平面弯

9、曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。简支梁一端为活动铰链支座， 另一端为固定铰链支座外伸梁一端或两端伸出支座支外的简支梁悬臂梁一端为固定端，另一端为自由端q常见梁的力学模型q梁的内力v剪力FQCv弯矩MCq梁内力的正负规定内力方向梁的变形例1 简支梁如左图，已知a、q、M=qa2；求梁的内力FAyFBy12 3aqF65AYaqF61BY2）1-1截面内力：(0 x1 a)3）2-2截面内力： (ax22a)解：1）求得A、B处反力FAY,FBY；1651AY1xaqxFMaqFF65AyQ122AYQ2xqaq611a)(xqFF222222AY2a)(xq21-xaq65a)(xq21-xF

10、M4）3-3截面内力：(2a x 3a ) ，aq61FFBYQ323BY331MMFxq aq a x6例例1 1（续）（续）33xax此处：1.当：0 x1a 时AC段 FQ1=5q.a/62.当：ax22a 时,即CD段FQ2=11q.a/6-q.x2 ，直线x2 =a；FQ2 = 5q.a/6 （= FQ1 ）x2 =2a；FQ2 = -q.a/6 （= FQ3 ）3.当： 0 x3a (起点在B点）FQ3=-q.a/6v当：0 x1a 时，M1=5q.a.x1/6为直线2651C11A1aqMax点：C0；M0 x点：A2672D22652C2q.a M, a2 xD q.a M,

11、a xC点：点：MaqM, 0 xBMaqM, axD2B33D2267D33点：点：v当：ax22a 时，为二次曲线；M2=5qax2-q(x2-a)2/2v当： 0 x3a时（原点在B点，方向向左），M3为直线M3=qa2+q.a.x3/6; q已知：G,a,b,l,画梁AB内力图解：1求A,B支座反力( a+b=l )lGbAyFlGaByF2求x截面内力a) 0 xalGbAyQFF1xxFMlGbAy1b) axa)（或CB,ab）段Qmax=Gb/ll最大弯矩在C截面处Mmax=Gab/l本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯矩方程

12、；即：FQ=FQ(x)M=M(x)v设梁上作用任意载荷，坐标原点选在A点（左端点形心），现分析剪力、弯矩与载荷集度的关系。d( )( )dQFxq xx22( )d( )( )dQdFxM xq xdxxd( )( )dQM xFxx00ycxFMQQQ2Q取 处一小段dx长度梁，受力分析如图，由静平衡方程得： F -(F +dF )+q(x)dx=0 M+dM-M-F dx-q(x)dx /2=0上式中略去高阶微量后，得：由剪力、弯矩的微分方程定积分，即得到剪力、弯矩方程。由剪力、弯矩的微分方程定积分，即得到剪力、弯矩方程。2Q2dF ( )d M( )dd( )xxxxq x( )()(

13、)Qq x dxCFx dxDCxDQ无外力时，q=0 F =常量 M=2( )( )( )=2Qq x dxqxCqxFx dxDq x dxdxCxDCxDQ外力为均匀分布载荷时，q为常量 F =M=（其中：C、D为积分常量。）xFS(x)OxOM(x)d( )( )dQFxq xx)(d)(d22xqxxMd( )( )dQM xFxxxFS(x)OxOM(x)OM(x)xd( )( )dQFxq xx)(d)(d22xqxxMd( )( )dQM xFxxd( )( )dQFxq xx)(d)(d22xqxxMd( )( )dQM xFxx外力剪力图弯矩图无外力 不变 FQ=0，M不变

14、；FQ0，M 以斜直线变化，从起始点到终点，大小为FQ与x轴围成的面积；变化方向：FQ为正，向正向渐变，否则向负向渐变 。集中力FP突变，方向与FP相同,大小为FP 无变化 集中力偶M不变突变。大小为M。突变方向:外力偶 (顺时针方向时)为正； (逆时针方向时)为负。 均布载荷 以斜直线渐变，方向与q一致，大小为ql 以抛物线渐变，FQ=0处，M为极值，按面积计算M值变化大小。q简支梁受力偶作用求支座反力得CMlMblMalAMFlBMFl 悬臂梁作用均布载荷q，画出梁的剪力图和弯矩图max21max2QFqlMql 212qlqlvM=3kN.m,q=3kN/m,a=2m解：求A、B处支反力FAY=3.5kN;FBY=14.5KND21289aqABCDABCDABCD2kN5kN3kN4.kN m 5.kN m3.kN m2.kN mABC2pF2pFpF apF aABCalF1F2ABCM(x)FN(x)FS(x)CxF1xalF1F2ABCFS(x)CBaF1F2FN(x)M(x)x0 FN图图F1|CalF1F2ABFS图图F1+F2+CalF1F2ABF1aF1aF1a+F2l FOR ScosFF NsinFF sinMFR 0sin0N FFFn0cos0S FFFt0sin0CMMFR FtnC F