第三章图像变换

1、第三章 图像变换第三章图像变换第三章图像变换什么是图像变换？什么是图像变换？v图像变换：图像变换是将图像从空间域变换到其他域的数学变换。v这种变换方法针对于数学函数而言。 空间域：研究对象是空间坐标函数 I=f（x，y） 频率域：研究对象是频率函数 I=f（w）第三章图像变换第三章图像变换图像变换的目的图像变换的目的v目的： 简化图像处理问题 有利于图像特征提取 有助于对图像信息概念的理解 0频率空间 低频率空间 高频率空间 图 频率与空间的对应第三章图像变换第三章图像变换常用的几种图像变换常用的几种图像变换v常用的变换方式为二维正交可逆变换。正交变换特点是变换域中图像能量主要集中分布在低频率

2、成分上，边缘、线信息反映在高频成分上。v常用变换算法： 傅立叶变换 沃尔什-哈达玛变换 哈尔变换 离散余弦变换 小波变换 第三章图像变换第三章图像变换附：正交变换附：正交变换v连续函数集合的正交性第三章图像变换第三章图像变换正交变换正交变换v正交函数的离散情况第三章图像变换第三章图像变换正交变换正交变换v一维正交变换第三章图像变换第三章图像变换主要内容主要内容v预备知识v傅立叶变换v其他可分离图像变换第三章图像变换第三章图像变换3.1 预备知识预备知识3.1.1 单位脉冲函数单位脉冲函数v图像可以看成由多个像素组成，每个像素可以看成为一个点源。v点源可用狄拉克函数表示，即单位脉冲函数 满足0,

3、0( , )0 xyx y其他( , )dxdy( , )dxdy1x yx yyx(x，y)第三章图像变换第三章图像变换单位脉冲函数性质单位脉冲函数性质 偶函数； 位移性； 可分性； 采样性(,)( , )( , )( ,) (,)( , )* ( , )(,)( , )* (,)( , )( ) ( )( , ) (,)( ,)0( , ) ( , )xyx yf x yfxyd df x yx yf xyf x yxyx yxyf x yxydxdyfff x yx y dxdy 则 当时， （0,0）=第三章图像变换第三章图像变换3.1.2 线性位移不变系统线性位移不变系统v系统：v线

4、性系统：对于某特定系统，有 x1(t) y1(t)x2(t) y2(t)该系统是线性的当且仅当：x1(t) + x2(t) y1(t) + y2(t)线性条件从而有：ax1(t) ay1(t) 齐次性条件系统x(t)输入y(t)输出第三章图像变换第三章图像变换线性位移不变系统线性位移不变系统v 二维线性系统综合线性系统的线性条件和齐次性条件，二维线性系统表示为Ta1 f1 (x， y)+ a2 f2 (x， y) = a1T f1 (x， y) + a2T f2 (x， y) v 二维线性平移不变系统 平移不变性：若点脉冲函数(x， y) 系统脉冲响应h(x， y) ，则当输入信号沿时间轴平移

5、，有： (x ,y-) h(x ,y-)v 线性位移不变系统的输出等于系统的输入和系统脉冲响应的卷积 g(x， y)= f(x， y)* h (x， y)第三章图像变换第三章图像变换3.2 傅立叶变换傅立叶变换v傅立叶变换:l 周期函数可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式l 非周期函数可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示l 傅里叶变化域频域第三章图像变换第三章图像变换一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换v一维连续傅立叶变换设函数 f (x)为实变量的连续函数，则其傅立叶变换定义为其逆变换为dxexfuFuxj2)()(dueuFxfuxj2)()(第三章图像变换第三章图像变换一维

6、连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换v欧拉公式 傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量，源于欧拉公式中的指数项 exp-j2 ux = cos2 ux - jsin2 ux如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，易推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中频率变量u的每个值决定了其相应cos, sin函数对的频率。第三章图像变换第三章图像变换一维连续傅立叶变换一维连续傅立叶变换v函数f(x)的傅立叶变换后一般是一个复量，它可以用下式表示：复数形式 振幅 相位 能量-22222( )( )( )( )=( )cos( )( )=-( )sin( )|( )|( )( )( )( )arcta

7、n( )( ) |( )|( )( )F uR ujI uR uf xx dxI uf xx dxF uR uIuI uuR uP uF uR uIu其中第三章图像变换第三章图像变换二维连续傅立叶变换二维连续傅立叶变换v二维连续傅立叶变换：如果二维函数f(x, y) 连续可积，F(u,v)可积,则将有下面的傅立叶变换对存在： dudvevuFyxfdxdyeyxfvuFvyuxjvyuxj)(2)(2),(),(),(),(二维傅立叶变换的傅立叶谱和相位谱为：),(),(|),(|),(),(),(arctan),(),(),(|),(|),(|),(22222),(vuIvuRvuFvuPv

8、uRvuIvuvuIvuRvuFevuFvuFvuj第三章图像变换第三章图像变换3.2.2 离散傅立叶变换v离散傅立叶变换：l由于实际问题的时间或空间函数的区间是有限的，或者是频谱有截止频率 l离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform简称DFT)在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛，它建立了离散时域和离散频域之间的联系第三章图像变换第三章图像变换一维离散傅立叶变换v一维离散傅立叶变换 01201201NjuxNxNjuxNxf xNxf xf xx xF uf x eNf xF u e 设离散函数为相应连续函数取 个间隔的取样值。离散函数的傅立叶变换对为x=0

9、,1,N-1u=0,1,N-1第三章图像变换第三章图像变换离散傅里叶变换满足正交条件1121201 if 1exp2/exp2/0 elsewhereNxuuju x Nju x NN 的原信号序列的傅氏变换 4N) 3(),2(),1 (),0()(ffffxf140104/2exp)(41 /2exp)(1)(xNxuxjxfNuxjxfNuF第三章图像变换第三章图像变换00002302222460222369022200003022020(0)(0)(1)(1)1(2)(2)4(3)(3)1 4jjjjjjjjjjjjjjjeeeeFfeeeeFfFfeeeeFfeeeeeeeeeeee

10、eeeeee322(0)(1)(2)(3)jjjffffee第三章图像变换第三章图像变换v对前述N4情况，设每一个矩阵元表示成000102034444101112134444202122234444303132334444111111111111WWWWjjWWWWWWWWWjjWWWW2juxuxNNWe第三章图像变换第三章图像变换二维离散傅立叶变换v二维傅立叶变换：11200112001,0,1,2,1;0,1,2,1,0,1,2,1;0,1,2,1.MNjux M vy NxyMNjux M vy NuvF u vf x y eMNuMvNf x yF u v exMyNMN容易将一维离

11、散傅立叶变换推广到二维情况式中：式中：在数字图象处理中，图象一般取方形，即第三章图像变换第三章图像变换傅立叶谱谱显示特性傅立叶谱谱显示特性v傅里叶谱显示特性 中心位移：将傅里叶谱原点移到窗口中心。由于实际变换结果左上、下和右上、下四个角对应低频成分，中央部分对应高频成分。为适应人的视觉习惯，需要通过换位方法，将中央和四周位置互换。 显示理解：中间低频，周围高频 对数显示：减缓衰减速度，便于理解，通常采用lg(1+|F(u,v)|)对数显示，( ,)(1)(,)22( ,)( ,)(1)xyxyNNfx yF uvF u vFfx y第三章图像变换第三章图像变换图像中心化图像中心化（a）原图像（

12、b)傅里叶变换 后图像（c）中心化 后图像（d）对数显示 图像第三章图像变换第三章图像变换典型图像的傅立叶变换典型图像的傅立叶变换第三章图像变换第三章图像变换实际图像的傅立叶变换实际图像的傅立叶变换图(a)的图像反差比较柔和，反映在傅里叶频谱上低频分量较多，频谱图中心值较大（中心为频域原点）。图(b)的图像中有较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带。 (a)(b)第三章图像变换第三章图像变换3.2.3 傅立叶变换性质傅立叶变换性质v二维离散傅立叶变换特性l变换可分离性l比例性质l对称性l旋转不变性l卷积l线性l空间和频率位移l周期与共轭对称l均值性l相关第三章图像变换第三章

13、图像变换傅立叶变换性质傅立叶变换性质周期与共轭对称第三章图像变换第三章图像变换傅立叶变换性质傅立叶变换性质l周期性 M,N为变换周期l共轭对称：傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数),(),(),(),(),(),(),(),(NyMxfNyxfyMxfyxfNvMuFNvuFvMuFvuF),(),(),(),(*vuFvuFvuFvuF第三章图像变换第三章图像变换傅立叶变换性质傅立叶变换性质v可分离性l二维离散傅立叶变换DFT可分离性的基本思想是： 二维DFT可分离为两次一维DFTl应用： 二维快速傅立叶算法FFT ，是通过计算两次一维FFT实现的第三章图像变换第三章图像变换傅立叶变

14、换性质傅立叶变换性质 先对列做变换：然后对行进行变换：f(x,y)（0，0）（N-1，M-1）xyF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(x,v)（0，0）（N-1，M-1）xvF(u,v)（0，0）（N-1，M-1）uv第三章图像变换第三章图像变换平移性平移性幅度谱相位谱幅度谱不变，相位谱改变傅立叶变换性质傅立叶变换性质第三章图像变换第三章图像变换傅立叶变换性质傅立叶变换性质v平移性当u0=M/2, v0=N/2002 (/)00(,)( , )juxM vyNf xxyyF u v eyxyxjNyvMxujee) 1()()/(200vuyxvuFNyMxfNvMuFyxf) 1

15、)(,()2/, 2/()2/, 2/() 1)(,(002 (/)00( , )(,)ju x M v y Nf x y eF uu vv第三章图像变换第三章图像变换傅立叶变换性质傅立叶变换性质第三章图像变换第三章图像变换傅立叶变换性质傅立叶变换性质第三章图像变换第三章图像变换傅立叶变换性质傅立叶变换性质v旋转特性：如果f(x,y)旋转了一个角度，那么f(x,y)旋转后的图象的傅立叶变换也旋转了相同的角度 。),(),(),(),(sin,cos,sin,cos0000rfFFrfvuryrx第三章图像变换第三章图像变换傅立叶变换性质傅立叶变换性质v分配律12121212 ( , )( ,

16、) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )( , )F f x yfx yF f x yF fx yF f x yfx yF f x yF fx y第三章图像变换第三章图像变换傅立叶变换性质傅立叶变换性质第三章图像变换第三章图像变换图像比例放大图像比例放大512x512 FFT512x512 FFTf（ax,by）比例放大）比例放大FFT频域压缩频域压缩第三章图像变换第三章图像变换512x512 FFT256x256 FFTaf(x,y)放大放大图像尺寸放大图像尺寸放大第三章图像变换第三章图像变换傅立叶变换性质傅立叶变换性质v尺度变换 对于系数a和b 时域扩展引起频域的压缩，反

17、之亦然( , )( , )1(,)( / , / )af x yaF u vf ax byF u a v bab第三章图像变换第三章图像变换傅立叶变换性质傅立叶变换性质v均值性:离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值01( , )( , )1(0,0)( , )( , )xyxyf x yf x yMNFf x y ef x yMN第三章图像变换第三章图像变换傅立叶变换性质傅立叶变换性质v离散卷积定理 空域中的卷积等价于频域中的相乘( , )* ( , )( , )( , )( , ) ( , )( , )*( , )f x yh x yF u v H u vf x y h x

18、yF u vH u v第三章图像变换第三章图像变换傅立叶变换性质傅立叶变换性质v离散相关定理 空域中的函数f(x,y)和g(x,y)相关等价于F(u.v)共轭与G(u,v)相乘 互相关 自相关*22( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )|( , )|( , )|( , )( , )f x yg x yF u v G u vf x y gx yF u vG u vf x yf x yF u vf x yF u vF u v第三章图像变换第三章图像变换傅里叶谱分布特性傅里叶谱分布特性v二维傅里叶变化分布特性第三章图像变换第三章图像变换傅

19、立叶变换傅立叶变换v 由于图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。v 傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。第三章图像变换第三章图像变换附：图像变换常用附：图像变换常用MATALAB函数函数v fft2 用于数字图像的二维傅立叶变换，如：用于数字图像的二维傅立叶变换，如： 由于由于MATLAB无法显示复数图像，因此变换后的结果还需无法显示复数图像，因此变换后的结果还需进行求模运算，即调用进行求模运算，即调用abs函数。之后常常还进行对数变函数。之后常常还进行对数变换，即调用换，即

20、调用log函数，以减缓傅里叶谱的快速衰减，更好函数，以减缓傅里叶谱的快速衰减，更好地显示高频信息。地显示高频信息。v fftshift 用于将变换后图像频谱中心从矩阵的原点移动到矩阵的中用于将变换后图像频谱中心从矩阵的原点移动到矩阵的中心心. 如：如：i=imread(e:w01.tif); j=fft2(i); j1=fftshift(j）；）； imshow(log(abs(j1);第三章图像变换第三章图像变换vifft2 用于数字图像的二维傅立叶反变换用于数字图像的二维傅立叶反变换. 如：如： i=imread(e:w01.tif); j=fft2(i); k=ifft2(j);附：图像

21、变换常用附：图像变换常用MATALAB函数函数第三章图像变换第三章图像变换3.3 其他可分离图像变换（选）其他可分离图像变换（选）沃尔什沃尔什-哈达玛图像变换哈达玛图像变换v沃尔什-哈达玛变换 不考虑函数值，只考虑过函数零点位置的分布特性，可以形成包含1和-1状态的正交函数集，进行更简单的变换。1110()()10()()1( ,)( 1)2( )i1( ,)( 1)inininiibx buNinibx bug u xNNNbxxg u xN 表 示 采 用阶 矩 阵表 示 二 进 制 的 第 位Wash变换核矩阵Hadamard变换核矩阵第三章图像变换第三章图像变换1( )( )101(

22、, )( 1)inib x buNig u xN 变换核矩阵变换核矩阵v沃尔什变换 N=4的变换核值， 不考虑常数因子1/N 值只有（1,-1）的对称矩阵 具备正交性和完备性01230123u x02 1 012 1 1( )( )( )( )0 01 1(1)01, (2)10(1,2)( 1)*( 1)( 1)*( 1)1bxbub xbuuxg 第三章图像变换第三章图像变换变换核矩阵变换核矩阵v哈达玛变换 N=4的变换核值 不考虑常数因子1/N 与Wash变换核矩阵行列次序不同 具有递推性01230123u x2NNNNNGGGGG第三章图像变换第三章图像变换2、4、8阶沃尔什变换核矩阵

23、阶沃尔什变换核矩阵对于N=2、4、8，沃尔什变换核矩阵分别为：1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111818H可以看出，沃尔什变换核是一个对称矩阵，其行和列是正交的。1111212H1111111111111111414H第三章图像变换第三章图像变换2、4、8阶哈达玛变换核矩阵阶哈达玛变换核矩阵1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111818H1111212H1111111111111111414H可以看出，哈达玛变换核矩

24、阵具有递推，其行和列是正交的。第三章图像变换第三章图像变换沃尔什沃尔什-哈达玛图像变换哈达玛图像变换v一维离散沃尔什-哈达玛图像变换v二维离散变换分为两步一维变换，由于核是对称和可分离的，可写为N-1x=0N-1x=0N-1 N-1x=0 y=0N-1 N-1x=0 y=0W(u)=f x g uxf(x)=W u g uxW(u)=g uxf x g yvf(xy)=g uxW u g yv（ ） （ ， ）（ ） （ ， ）（ ， ）（ ） （ ， ），（ ， ） （ ） （ ， ）二维沃尔什变换矩阵表示为：GfGNW21二维沃尔什反变换矩阵表示为：GWGf 第三章图像变换第三章图像变换例

25、：例：N=4二维沃尔什变换二维沃尔什变换1331133113311331f1111111111111111G图像矩阵：变换核矩阵：二维沃尔什变换：000000000000100212GfGNW第三章图像变换第三章图像变换例：有两个二维数字图像信号矩阵如下，求这两个信号的二维例：有两个二维数字图像信号矩阵如下，求这两个信号的二维WHT 根据题意，根据题意，M=N=4，其二维，其二维WHT变换核为变换核为第三章图像变换第三章图像变换其他可分离图像变换其他可分离图像变换v沃尔什-哈达玛变换性质 实的、对称的、正交变换 核可分离，二维变换可简化为两次一维变换 计算快速，只包含加减、无乘法 具有好的能量

26、集中特性 在需要处理大量数据的图像处理问题中应用广泛第三章图像变换第三章图像变换其他可分离图像变换其他可分离图像变换v离散余弦变换（DCT） 傅里叶变换的一个问题是参数都是复数，因此在数据的描述上相当于实数的两倍。 当f（x，y）为偶函数时，傅里叶变换的计算公式虚部为0，只剩下余弦项，这就是余弦变换。 余弦变换是傅里叶变换的特例，是其简化方法。第三章图像变换第三章图像变换其他可分离图像变换其他可分离图像变换第三章图像变换第三章图像变换31,.,1 , 0 ),10cos()95. 0(nnnxn考虑信号：xn的DFT频谱：xn的DCT谱：可以看出，DCT主要能量比DFT更集中在低频，这样，就可以舍弃较高频段，实现信号的压缩。DCT的能量压缩特性的能量压缩特性第三章图像变换第三章图像变换其他可分离图像变换其他可分离图像变换v余弦变换性质 序列的余弦函数是傅里叶函数的对称扩展形式 核可分离，可以用两次一维变换来计算 能量向低频集中（左上角） 具有良好的信息压缩能力余弦变换的低频集中特性第三章图像变换第三章图像变换附：图像变换常用附：图像变换常用MATALAB函数函数vdct2