投资收益与风险讲义资本资产定价模型

1、投资收益与风险讲义资本资产定价模型主要内容主要内容 风险与收益的度量 风险与收益的关系：CAPM模型 资本市场线 证券市场线证券投资组合理论的重要性证券投资组合理论的重要性 收益-风险（均值-方差）分析是一切证券投资分析的核心 CAPM模型是证券投资分析的基础和核心 以CAPM理论为代表的证券投资组合理论获得202X年诺贝尔经济学奖第一节第一节 证券投资收益与风险的度证券投资收益与风险的度量量收益的度量指标收益的度量指标：收益率收益率第第t期期（年）的收益率：注意注意：1. 收益率一般代表“年化收益率”，当投资期限不是投资期限不是1年时应进行换算年时应进行换算2. 证券投资研究中经常运用对数收

2、益率，与上式近似相等对数收益率，与上式近似相等11()tttttPPDRP对数年化收益率对数年化收益率 对数收益率： 年化对数收益率：其中T表示投资期限的年数1ln()ln()ttttRPDP11ln()ttttTRPDP收益率的区分收益率的区分 Rate of return 必要收益率必要收益率（required）：投资者要求的最低收益率 期望收益率期望收益率（expected）：各种情形下收益率的加权平均 实际收益率实际收益率（actual） ：特定情形下的实际获得的收益率 关系： 有效资本市场下，期望收益率=必要收益率 实际收益率通常不等于期望收益率，差异越大风险越大期望收益率期望收益率

3、特殊情形1：某项证券投资仅包含一种风险资产，其收益率为随机变量R，在某种可能的状态下，其收益率R取值为 ，发生的概率为 ，且则该证券投资的期望收益率期望收益率为：iRip1( )NiiiE RRp R11Niip风险的度量风险的度量 证券投资中，风险指实际收益率对期望收益率的偏离程度风险指实际收益率对期望收益率的偏离程度。 通常有3种度量指标（收益率的）（收益率的）： 方差方差 标准差标准差标准离差率标准离差率 指标越大，风险越大风险的度量：方差风险的度量：方差 方差表示为： 具体地 其中221()Niiip RR22222( ) D RE RE RE RR221NiiiE Rp R22 E

4、RR2222222211()(2)2NNiiiiiiiiip RRp Rp Rp R RE RRR相等展开风险的度量：标准差与标准离差率风险的度量：标准差与标准离差率 方差是收益率的“平方”，与其具有不同的量纲。因此，可对其开方，得到标准差标准差： 标准差的大小依赖于收益率的大小，因此还可以对其标准化，得到标准离差率标准离差率：221()Niiip RR21()Niiip RRCVR标准差与标准离差率的比较标准差与标准离差率的比较 股票Y优于X 但股票Y，与政府债券和公司债券难以区分优劣政府债券政府债券公司债券公司债券股票股票X股票股票Y期望收益率期望收益率8%9%12.3%15.10%标准差

5、标准差01.73%10.74%12.82%标准离差率标准离差率019.22%87.32%84.88%证券投资组合的收益率与风险证券投资组合的收益率与风险 为了降低风险，通常将资金投资于多种风险资产。包含多种资产的投资成为投资组合（包含多种资产的投资成为投资组合（portfolio）。 特殊情形2：包含包含2种风险资产的投资组合种风险资产的投资组合 风险资产1和风险资产2，二者所占的投资比重为W1和W2， 假设二者的期望收益率和方差分别为： ， 和 ，1R212R221iW 证券投资组合的收益率与风险证券投资组合的收益率与风险 包含2种证券的投资组合的期望收益率为： 该投资组合的风险为： 其中

6、和 分别为证券1和证券2的期望收益率， 和 分别为方差， 和 为投资比重。211221( )piiiE RRWRW RW R22222112211221212()2(,)D W RW RWWWW COV R R1R2R21221W2W包含包含N种证券的投资组合种证券的投资组合 包含2种风险资产的投资组合种风险资产的投资组合的收益率方差： 对上次的风险公式进行推广，可得包含包含N种风险资种风险资产的投资组合产的投资组合P的方差为：22222112211221212()2(,)D W RW RWWWW COV R R222111(,)NNNpiiijijiijWWW COV R Rij其中系统风险

7、与非系统风险系统风险与非系统风险 其中第一项为各种资产收益率方差之和，反映了每种证券各自的风险大小各自的风险大小，即非系统风险非系统风险（特有风险）； 第二项为各种证券收益率间的协方差，反映了各种证券间的相关关系和共同风险相关关系和共同风险，即系统风险系统风险（市场风险）。222111(,)NNNpiiijijiijWWW COV R Rij其中构造投资组合可以消除非系统性风险构造投资组合可以消除非系统性风险 考虑特殊的情形考虑特殊的情形，每种证券的投资份额相等，即对于所有的i， ，且把方差和协方差看作一个平均方差和平均协方差，则上式化简为：222111(,)NNNpiiijijiijWWW

8、COV R Rij其中1iWN22211(1)(,)pijN NCOV R RNN211(1)(,)ijCOV R RNN非系统性风险可完全消除非系统性风险可完全消除 当投资组合中包含的证券种类足够多时当投资组合中包含的证券种类足够多时，即即单个证券的特有风险（非系统风险）被消除，仅剩下系统风险。2211(1)(,)pijCOV R RNNN 2(,)pijCOV R R第二节第二节 马克维茨（马克维茨（Markowitz）投资组合理论）投资组合理论 风险是证券投资收益率波动大小的反映 如何表示风险与收益间的关系？期望收益率与风险的关系期望收益率与风险的关系 包含包含N种证券的投资组合种证券的

9、投资组合的收益与风险分别表示为：1( )NpiiiE RRWR222111(,)NNNpiiijijiijWWW COV R Rij其中22111NNNiiijijijiijWWW 包含包含2种证券情形种证券情形 已知2种证券，给定各自的期望收益率和标准差，以及2者的相关系数。 则通过各种搭配通过各种搭配，即选择不同的投资比重，即可模拟出风险与收益率间的关系模拟出风险与收益率间的关系1122( )pE RRW RW R2222211222ijijijWWWW 一个简单的模拟一个简单的模拟 已知已知： 投资比重： W1分别取分别取.001，.002,1，W2=1-W1 则可计算出计算出110%R

10、 220%R 110%230%120.5 1122()ppE RRW RW R2222211222pijijijWWWW 收益与风险的关系模拟图收益与风险的关系模拟图包含包含N种证券的一般情形种证券的一般情形这些投资组合哪些“较优”？有效证券组合有效证券组合 与其他证券投资组合相比，有效证券组合有效证券组合具有2种特征： 在风险相同时，有效证券组合的期望收益率最高期望收益率最高； 在期望收益率相同时，有效证券组合的风险最小风险最小。有效边界有效边界有效边界：虚线以上的红线部分有效边界：虚线以上的红线部分第三节第三节 资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPM） CAPM（capital as

11、set pricing model）是建立在马科威茨模型基础上的，进一步得出了证券投资组合的收益与风险间的关系，并创造性地用贝塔系数衡量系统风险 以该理论为代表的投资组合理论获202X年诺贝尔经济学奖基本假设基本假设1、投资者都希望财富越多越好，且用投资收益率的均值及其标准差来选择投资组合；2、投资者可以无限制地以无风险收益率借入或者带出资金3、投资者对每一种证券投资收益率的均值和方差预期都相同4、所有资产可以无限细分，且无交易费用和税收5、投资者是价格接受者，各自的买卖活动部影响市场价格上述假设表明上述假设表明：第一，投资者是理性的，而且严格按照马科威茨模型的规则进行多样化的投资，并将从有效

12、边界的某处选择投资组合；第二，资本市场是完全有效的市场，没有任何磨擦阻碍投资包含无风险资产的情形包含无风险资产的情形 假设已经存在某一投资组合i，全部由风险资产构成。 现将某一无风险资产无风险资产f加入到投资组合i中，构成新的一个投资在组合P，则该包含无风险资产的投资组合的收益与风险分别为：pffiiRW RWR222222pffiififiWWW W2200iiW包含无风险证券的投资组合包含无风险证券的投资组合 包含无风险证券的投资组合P的风险风险，是不包含风险证券组合i的风险和无风险证券风险（0）的加权平均加权平均 对于包含无风险证券的投资组合P的收益率收益率，也存在类似表述的关系（加权平

13、均加权平均）(1)0piiiiiWWWpffiiRW RWR市场证券组合市场证券组合市场上所有投资者都应按M点点的投资组合进行投资，该组合称为市场证市场证券组合（券组合（“最佳中药包最佳中药包”）资本市场线（资本市场线（CML） 无风险投资点与有效边界的切线称为资本市场线（CML），所有投资组合都应位于所有投资组合都应位于CML上上mfpfpmRrRr资金二分法理论资金二分法理论 投资者应将资金分为2部分，一部分投资于无风险证券，另一部分投资于市场证券组合，2部分的投资比重取决于投资者的风险偏好，即资金二分法。（“最优中药包最优中药包+水水”）资本资产定价模型（资本资产定价模型（CAPM） 从

14、前面的分析已经得出，在有效的市场条件下，投资者均会按照“市场证券组合市场证券组合+无风险证券无风险证券”的模式进行资产配置，且总体风险与收益呈现线性关系。 但是对于任一特定的风险资产任一特定的风险资产，并不清楚其风险是多大，以及这一风险应该获得多大的收益补偿，即需要对风险进行定价。证券系统风险的度量指标：贝塔系数证券系统风险的度量指标：贝塔系数 假设现有已有某投资组合M，且为市场证券组合。 现在该市场证券组合M中加入某种新的风险证券加入某种新的风险证券j，构造构造一个新的投资组合一个新的投资组合M，其中风险证券占比为Wj，风险证券j与组合M的协方差为COV（Rj，Rm） 则新投资组合M的方差可

15、以表示为：22222(1)2(1)(,)jjjmjjjmmWWWW COV R R贝塔系数贝塔系数 资产j的风险指标： 若证券若证券j为无风险证券为无风险证券，则其收益率应为rf，与市场证券组合的协方差为0，即 若证券若证券j为市场证券组合为市场证券组合，则其收益率应为 ，与市场证券组合的协方差为 ，即22222(1)2(1)(,)jjjmjjjmmWWWW COV R R202(1)(,)mjjjmWW COV R R2(,)jmjmCOV R R0fmR2m1mCAPM模型模型 收益率与系统风险收益率与系统风险的关系CAPM模型模型证券j的系统性风险与期望收益率的关系可以表示为：其中表示

16、表示证券j的系统性风险大小()jfjmfRrRrjCAPM模型对于投资组合也适用模型对于投资组合也适用 如果证券1,N的贝塔系数分别为 ，则该组合p的贝塔系数为各证券的加权平均： 其中 为证券在组合中的投资比重 对于投资组合对于投资组合p，CAPM模型也成立模型也成立： 其中 和 分别为任意投资组合p的期望收益率和贝塔系数（风险）1,.,N1NpiiiWiW()pfpmfRrRrpRp证券市场线（证券市场线（SML） 证券市场线证券市场线是资本资产定价模型（CAPM）的图示形式，反映了投资组合期望报酬率与系统风险程度与系统风险程度系数之间的关系系数之间的关系。 是市场上所有风险资产的均衡期望收

17、益率与风险之间关系的体现SML与与CML资本市场线资本市场线表示的是有效投资组合收益与总风险间的关系，证券市场线证券市场线表示的是任意投资组合的收益与系统风险的关系。资本市场线资本市场线是证券市场线的特例。当某一组合有效时，证券市场线与资本市场线相同。对对CAPM模型的简单评价模型的简单评价CAPM模型把资产的预期收益与风险之间的理论关系用一个简单的线性关系表达出来了，且用贝塔系数衡量风险的大小。作为一种阐述风险资产均衡价格决定的理论，CAPM不仅大大简化了投资组合选择的运算过程，使马科维茨的投资组合选择理论朝现实世界的应用迈进了一大步，而且也使得证券理论从以往的定性分析转入定量分析，从规范性

18、转入实证性，进而对证券投资的理论研究和实际操作，甚至整个金融理论与实践的发展都产生了巨大影响，成为现代金融学的理论基础。该理论的主要提出者Sharpe，Miller以及Markowitz因此而获得202X诺贝尔经济学奖证券投资组合理论获诺贝尔经济学奖证券投资组合理论获诺贝尔经济学奖 202X年诺贝尔经济学奖获得者 Harry Markowitz Merton Miller William SharpeWilliam Sharpe20XX年年8月与月与William Sharpe等在德国等在德国对对CAPM模型的继承与发展模型的继承与发展 CAPM模型把资产的预期收益与风险之间的理论关系用一个简

19、单的线性关系表达出来了，且用贝塔系数衡量该资产相对于市场的系统风险的大小 Ross（1976）提出的套利定价理论（APT）认为，风风险资产的收益率不仅受市场风险大小的影响，还与其险资产的收益率不仅受市场风险大小的影响，还与其他许多因素相关他许多因素相关()pfpmfRrRr1122()().()jfjjfjjfjkjkfRrRrRrRr套利定价理论（套利定价理论（APT） Arbitrage Pricing Theory 什么是套利套利？ 以较低的价格买进某一资产，同时以较高的价格卖出某一性质相近的资产，以无风险条件获利。 在有效的资本市场中，资产价格会达到均衡，套在有效的资本市场中，资产价格

20、会达到均衡，套利机会应该是不存在的利机会应该是不存在的 因此，风险与收益间的关系应是线性的因此，风险与收益间的关系应是线性的为什么是线性关系为什么是线性关系U和和C组合风险相同但收益不同，可构造投资组合进行套利组合风险相同但收益不同，可构造投资组合进行套利套利策略套利策略证券A、B、U的风险（贝塔系数）与期望收益率的关系如图所示 可以进行如下的投资策略进行套利： 卖出投资组合（卖空证券A+B，各占50%） 买入投资组合U套利策略与收益套利策略与收益投资组合投资组合投资策略投资策略投资金额投资金额收益收益风险风险A+B组合组合 卖空（卖空（“借入借入”）-100-100*12%=-121U组合组

21、合买入买入100100*15%=15-1套利组合套利组合卖空卖空+买入买入030若以上套利机会存在，则投资者会大量卖出若以上套利机会存在，则投资者会大量卖出A+B组合，致使其价格上升，收组合，致使其价格上升，收益率下降；同时买入益率下降；同时买入U组合，致使其价格下降，收益率上升，直至二者风险组合，致使其价格下降，收益率上升，直至二者风险和收益率均相等，达到均衡，套利机会消失。因此是线性关系！和收益率均相等，达到均衡，套利机会消失。因此是线性关系！ 在有效的资本市场中，资产价格会达到均衡，套在有效的资本市场中，资产价格会达到均衡，套利机会应该是不存在的利机会应该是不存在的1122()().()