高等数学5.1定积分的概念ppt课件

1、高高 等等 数数 学学主讲人主讲人 宋从芝宋从芝河北工业职业技术学院河北工业职业技术学院第第5 5章章 定积分及其运用定积分及其运用 前一章讨论了知一个函数的导数，如何求原来前一章讨论了知一个函数的导数，如何求原来的函的函数，这样一个积分学的根本问题数，这样一个积分学的根本问题 不定积分。不定积分。 这一章将讨论积分学的另一个根本问题这一章将讨论积分学的另一个根本问题定定积分积分.它它在自然科学和技术问题中有着广泛的运用。本章在自然科学和技术问题中有着广泛的运用。本章将从实践将从实践问题出发，引出定积分的概念，然后讨论定积分问题出发，引出定积分的概念，然后讨论定积分的性质、的性质、计算方法和它

2、在几何、物理等方面的运用，最后计算方法和它在几何、物理等方面的运用，最后引见广义引见广义积分的有关知识。积分的有关知识。两个实例两个实例定积分的定义定积分的定义定积分的几何意义定积分的几何意义 5.1 5.1 定积分的概念定积分的概念 直线直线 x = a，x = b 与与 x 轴围成的平面图形轴围成的平面图形 M1MNN1。 由闭区间由闭区间a, b上的延续曲线上的延续曲线 y = f (x) 0，曲边梯形：在直角坐标系下，曲边梯形：在直角坐标系下，yxOM1N1MNx = ax = by = f (x)一一. .两个实例两个实例 基于这种想法，基于这种想法， 可以用一组平行于可以用一组平行

3、于 y 轴的轴的直线把曲边梯形分割成假设干个小曲边梯形，只直线把曲边梯形分割成假设干个小曲边梯形，只需分割得较细，每个小曲边梯形很窄，那么其高需分割得较细，每个小曲边梯形很窄，那么其高 f (x) 的变化就很小的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底，底上某点函数值为高的矩形上作一个与它同底，底上某点函数值为高的矩形，形， 曲线曲线 y = f (x) 是延续的，所以，当点是延续的，所以，当点 x 在在区间区间 a, b 上某处变化很小时，上某处变化很小时， 那么相应的高那么相应的高 f (x) 也就变化不大。也就变化不大。显然，分割越细，显然，分割越细

4、， 近似程度就越高，近似程度就越高，当无限细分时，当无限细分时， 那么一切小矩形面积之和的极那么一切小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的准确值。限就是曲边梯形面积的准确值。用小矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积，用小矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积，进而用一切小矩形面积之和近似替代整个曲边进而用一切小矩形面积之和近似替代整个曲边梯形面积梯形面积. .(1)(1)分割分割在区间在区间a, b内恣意取内恣意取 n 1 个分点：个分点：a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn = b， 把区间把区间a, b分成分成 n 个小区间：个小区间：x0, x1，x1, x2， ，xi-1

5、, xi ， ，xn-1, xn。小区间的长度分别记为小区间的长度分别记为 xi = xi xi -1 过各分点作垂直于过各分点作垂直于 x轴的轴的直线，把整个曲边梯形分直线，把整个曲边梯形分成成 n 个小曲边梯形。个小曲边梯形。按下面四步计算曲边梯形面积。按下面四步计算曲边梯形面积。a = x0a = x0 x1xi-1xn= bxiOyBAx (i = 1, 2, , n)(2)(2)近似近似在每个小区间在每个小区间 xi-1, xi(i = 1, 2, , n)上取一点上取一点 xi (xi-1 xi xi),以以 f(xi) f(xi)为高，为高， xi xi 为底作小矩为底作小矩形，

6、形，用小矩形面积用小矩形面积 f (xi) xi 近似替代相应的小曲边梯形近似替代相应的小曲边梯形面积面积 Ai ，即即 Ai f (xi) xi x1x1x2x2xixixnxnxOy = f (x)yBAa = x0a = x0 x1xi-1xn= b xi(i = 1, 2, , n) 。当当 xi0时，即最大的小区间长度时，即最大的小区间长度 xi趋近于趋近于0 时，时，和式的极限就是曲边梯形面积的准确值，和式的极限就是曲边梯形面积的准确值，(4)(4)取极限取极限分割越细，分割越细，即即01lim()iniixiAfxx x = = = (3)(3)求和求和把把 n n 个小矩形面积

7、加起来，个小矩形面积加起来，niiif () x ,x x= = 1得得和和式式它就是曲边梯形面积的近似值，它就是曲边梯形面积的近似值，即即A1niiA= = 1()niiifxx x= = 1()niiifxx x= = 就越接近曲边梯形的面积就越接近曲边梯形的面积A。 知速度知速度 v = v(t) 是时间是时间 t 的延续函数，的延续函数，设一物体作直线运动，设一物体作直线运动， 求在时间区间求在时间区间a, b上物体所经过的上物体所经过的路程路程 s 。(1)(1)分割分割在时间区间在时间区间a, b内恣意取内恣意取 n - 1 个分点：个分点：a = t0 t1 t2 ti-1 ti

8、 tn-1 tn = b， 把把a, b分成分成 n个小区间：个小区间：t0, t1，t1, t2， ，ti-1, ti ， ，tn-1, tn。这些小区间的长度分别为：这些小区间的长度分别为： ti = ti ti 1 (i = 1, 2, , n) .相应的路程相应的路程 s 被分为被分为 n 段小路程：段小路程： si (i = 1, 2, , n) 。 近似替代物体在小区间近似替代物体在小区间 ti-1 , ti ti-1 , ti 上所经过的路程上所经过的路程 si si ， 近似替代物体在小区间上的近似替代物体在小区间上的速度，速度，(2)(2)近似近似在每个小区间上恣意取一点在每

9、个小区间上恣意取一点 xi (ti-1 xi ti),用用 xi 点的速度点的速度 v (xi)用乘积用乘积 v (xi) v (xi) ti ti 即即 si v(xi) ti(i =1, 2, , n)(3)(3)求和求和1niiss= = (4)(4)取极限取极限01lim()iniitisvtx x = = = 1()niivtx x= = 其长度记其长度记为为定义定义任取分点任取分点a = x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn = b将区间将区间a, b分成分成 n个小区间个小区间 xi-1, xi， xi = xi xi - 1 (i = 1, 2, , n)在每个小区

10、间在每个小区间 xi-1, xi上上, 任取一点任取一点 xi (xi-1 xi xi )，得相应的函数值得相应的函数值 f (xi )，作乘积作乘积f (xi ) xi (i = 1, 2, , n) 二二. .定积分的定义定积分的定义设函数设函数 f (x) 在区间在区间 a, b 上有定义，上有定义，假设不论对区间假设不论对区间a, ba, b采取何种分采取何种分法法得和式得和式1()niiifxx x= = ,d)( baxxf01( )dlim()inbiiaxif xxfxx x = = = 及及 xi xi如何选如何选取，取，当当 xi0时，即最大小区间长度时，即最大小区间长度

11、xi趋近于趋近于0 时，时，和式的极限存在，和式的极限存在，那么此极限值叫做函数那么此极限值叫做函数f (x)f (x)在在a, a, bb上的定积分，上的定积分，记作记作即即f (x) ：被积函数；：被积函数；x：积分变量；：积分变量；a 与与 b：积分下限与积分上限；：积分下限与积分上限；符号符号 baxxfd)(读作函数读作函数 f (x) 从从 a 到到 b 的定积分。的定积分。f (x)dx：被积表达式或称被积分式；：被积表达式或称被积分式；其中：其中：a, b a, b ：积分区间；：积分区间；(1)(1)定积分是一个确定的常数。定积分是一个确定的常数。 badxxf)( = =b

12、adttf)( = =baduuf)(关于定积分定义的几点阐明：关于定积分定义的几点阐明：(3)定义中，假定定义中，假定a b ，规定，规定补补 充充 定义定义积分值仅与被积函数与积分区间有关，而与积分积分值仅与被积函数与积分区间有关，而与积分变量的字母无关。变量的字母无关。(2)(2)定义中区间的分法和定义中区间的分法和xixi的取法都是恣意的。的取法都是恣意的。(5)(5)函数可积的充分条件函数可积的充分条件: :(4)(4)当函数当函数f(x) f(x) 在区间在区间 a,b a,b上的定积分存在时上的定积分存在时, ,称称 f(x) f(x) 在区间在区间 a,b a,b上可积。上可积

13、。定理定理 假设函数假设函数y =f(x) y =f(x) 在闭区间在闭区间 a,b a,b上延续，那上延续，那么么函数函数y =f(x) y =f(x) 在闭区间在闭区间 a,b a,b上可积，上可积，即即一定存在。一定存在。01( )dlim()inbiiaxif xxfxx x = = = 关于定积分定义的几点阐明：关于定积分定义的几点阐明：根据定积分的定义，两个实例可表示为定积分：根据定积分的定义，两个实例可表示为定积分：(1) 曲边梯形面积曲边梯形面积 A 是曲边函数是曲边函数 f (x) 在区间在区间a, b上的定积分，上的定积分，即即( )dbaAf xx= = (2) 变速直线

14、运动的路程变速直线运动的路程 s 是速度函数是速度函数 v (x) 在时间区间在时间区间 a, b 上的定积分，上的定积分，即即( )dbaSv tt= = 那么以那么以y = f (x) 为曲边的曲边梯形面积为为曲边的曲边梯形面积为三三. .定积分的几何意义定积分的几何意义当当f (x) 在在 a,b上延续，且上延续，且 f(x) 0 时，时， A( )dbaf xx= = yxOaby = f (x)那么以那么以y = f (x) 为曲边的曲边梯形面积为为曲边的曲边梯形面积为当当f (x)在在 a,b上延续，且上延续，且 f(x) 0 时，时， ( )dbaf xx 由于由于01lim()

15、iniixifxx x = = = 0 A( )dbaf xx= = - - y = f (x)OxyabxOyA1A2A3y = f (x)acbd假设假设f (x) 在在 a,b有正有负时有正有负时那么由延续曲线那么由延续曲线 y = f (x) ，直线，直线 x = a，x = b 与与 x 轴轴围成的阴影部分的面积为围成的阴影部分的面积为A( )dcaf xx= = ( )ddcf xx- - ( )dbdf xx 例例1 1 利用定积分表示四个图形的面积：利用定积分表示四个图形的面积：AO(a) y = x2 a x y-1 O2(b) y = x2 x y221x dx- -= =

16、 20ax dx= = A例例1 1 利用定积分表示四个图形的面积：利用定积分表示四个图形的面积：badx= = 021(1)1xdx- -= =- - - 220(1)1xdx- O(c) x y a b y = 12-1 O(d) x y y = (x-1)2-1AA练习练习 利用定积分表示阴影部分的面积：利用定积分表示阴影部分的面积：22cos xdx - -= = ( ( ) )bafx dx= = O(a) x y y =cosx2 2 - - b(b)O y = f(x) y = g(x) x y a203cos xdx = = ( ( ) )( ( ) )bafxg xdx = =- - A2cos xdx - - A( ( ) )bag x dx- - 练习练习 利用定积分表示阴影部分的面积：利用定积分表示阴影部分的面积：1= =1212x dx- -=-=- 11O(c) x y y = x2