高数(A)第六章自测解答

1、高等数学（下）高等数学（下） 第六章第六章主讲主讲 杜潮河（教授）杜潮河（教授）自测卷解答自测卷解答高等数学（高等数学（A下下）第六章自测试卷解答）第六章自测试卷解答一、单项选择题一、单项选择题1、C；2、C；3、D；4、C；5、A；6、B；7、D；8、B9、C；10、A；11、A；12、D；13、C；14、D；二、填空题二、填空题 1、一阶线性一阶线性 ；2、xxxececy213、xBxey 4、求特解求特解 5、确定任意常数的确定任意常数的 6、通通 解解7、最高导数的阶数最高导数的阶数 8、)2sin2cosxBxAeyx（2xey 10、12 xy11、)sincos(xDxCxy9

2、、 1、(ex y ex)dx (ex y ey)dy 0 解解 方程变形为方程变形为ey(ex 1)dy ex(1 ey)dx 分离变量得分离变量得dxeedyeexxyy11两边积分得两边积分得dxeedyeexxyy11即即 ln(1-e y) ln(ex 1) lnC 故通解为故通解为(ex 1)(ey 1) C 可分离变量型可分离变量型三、计算题三、计算题 ）（）（xxyyedeede111111-xyydxdyxln2、 解解 原方程变为原方程变为 xyxydxdyln则原方程化为则原方程化为,xyu 令令,lnuudxduxudxxduuu1) 1(ln1两边积分得两边积分得 l

3、n(ln u 1) ln x ln C 即即u eCx 1 将将xyuy xeCx 1 齐次方程型齐次方程型uxy dxduxudxdy于是于是分离变量得分离变量得代入上式得原方程的通解代入上式得原方程的通解dxxduuu1) 1(ln1dxxudu1) 1(ln) 1(ln1 解解 分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即 或或 3、cos ydx (1 e x)sinydy=04|0 xydxeedyyyxx1cossindxeedyyyxx1cossin ln|cos y| ln(ex 1) ln |C| cos y C(ex 1) ) 1(4cos0eC 42C4|0 xy 由由

4、得得 所以特解所以特解 ) 1(42cosxeyyexcos221或改改）（xxedeydy111coscos1删：删：3、(y2 3x2)dy 2xydx 0 y|x 0 1 解解 这是齐次方程这是齐次方程 令令,xyu 即即y xu (x2u2 3x2)(udx xdu) 2x2udx 0 dxxduuuu1)11113(两边积分得两边积分得 3ln |u| ln|u 1| ln|u 1| ln|x| ln|C| 即即u2 1 Cxu3 将将 代入上式得原方程的通解代入上式得原方程的通解xyu y2 x2 Cy3 由由y|x 0 1得得C 1 故所求特解为故所求特解为y2 x2 y3 齐次

5、方程型，求特解齐次方程型，求特解 则原方程化为则原方程化为dy=udx xduy ycos x e sin x 4、)(cossincosCdxeeeyxdxxdx)(sinsinsinCdxeeexxx解解 一阶线性非齐次型一阶线性非齐次型)(sinCxex 5、211xy 解解 12arctan11CxdxxydxCxy)(arctan1212)1ln(21arctanCxCxxx原方程的通解为原方程的通解为2121lnarctanCxCxxxy可降阶的可降阶的 y（n）=f（x）型）型xvdxxdudxdvxu211. 1arctanxCdxxxxx121arctan6、y1 y 2 解

6、解 令令p y 则原方程化为则原方程化为 p 1 p2 即即 dxdpp211两边积分得两边积分得 arctan p x C1 即即 y p tan(x C1) 211| )cos(|ln)tan(CCxdxCxy原方程的通解为原方程的通解为21| )cos(|lnCCxy可降阶的可降阶的 型型),(yyfy 删：删：? 1cos1222xxyxxy)1cos(1221222Cdxexxeydxxxdxxx) 1(1cos11222Cdxxxxx(x2 1)y 2xy cos x 0 6、解解 原方程变形为原方程变形为 改改)(sin112Cxx12)1ln(111122222xeeexxdx

7、dxxx）（7、yay 2 0 y|x 0 0 y |x 01 解解 令令p y 则原方程化为则原方程化为02apdxdpadxdpp21即即 两边积分得两边积分得11Caxp11Caxy即即 由由y |x 01得得C1 1 11axy两边积分得两边积分得2) 1ln(1Caxay 由由y|x 0 0得得C2 0 故所求特解为故所求特解为 ) 1ln(1axay可降阶的可降阶的 型，求特解型，求特解),(yyfy ? xxxydxdysin 7、 y|x 1 解解 )sin(11Cdxexxeydxxdxx)sin(1Cxdxxxx由由y|x 1 得得C 1 故所求特解为故所求特解为 )cos

8、1(1xxy )cos(1Cxx改改02520422xdtdxdtxd8、 解解 微分方程的特征方程为微分方程的特征方程为2521rr故微分方程的通解为故微分方程的通解为即即 ttteCeCx252251tetCCx2521)(二阶常系数齐次线性型二阶常系数齐次线性型 4r2 20r 25 0其根为其根为即即(2x 5)2 0 9、y3y 4y 05402121CCCC解之得解之得C1 1 C21 因此所求特解为因此所求特解为二阶常系数齐次线性型，求特解二阶常系数齐次线性型，求特解 解解 微分方程的特征方程为微分方程的特征方程为y|x 0 0 y |x 05 r2 3r 4 0 其根为其根为r

9、11 r2 4 即即(r 4)(r 1) 0 故微分方程的通解为故微分方程的通解为y C1e x C2e4x 由由y|x 0 0 y |x 05 得得y e x e4x xxececy421410、y3y 2y 3xe x 比较系数得比较系数得 23AB3 )323(*2xxeyx 因此因此 原方程的通解为原方程的通解为)323(2221xxeeCeCyxxx二阶常系数非齐次线性二阶常系数非齐次线性 型型)()(xpexfnx 解：解： 微分方程的特征方程为微分方程的特征方程为 r2 3r 2 0其根为其根为r11 r22 故对应的齐次方程的通解为故对应的齐次方程的通解为Y C1e x C2e

10、 2x 又因为又因为f(x) 3xe x 1是特征方程的单根是特征方程的单根 y* x(Ax B)e x 故原方程的特解设为故原方程的特解设为2Ax (2A B) 3x 代入原方程并整理得代入原方程并整理得从而从而 1 试求试求yx的经过点的经过点M(0 1)且在此点与直线且在此点与直线121xy相切的积分曲线相切的积分曲线 ,2112Cxy解解 21361CxCxy.21|0 xy 由题意得由题意得y|x 0 1 由由21|0 xy211C再由再由y|x 0 1得得C2 1 121613xxy四、应用题四、应用题得得因此所求曲线为因此所求曲线为2、设有连结点、设有连结点O(0 0)和和A(1

11、 1)的一段向上凸的曲线弧的一段向上凸的曲线弧AO 对于对于 AO 上任一点上任一点P(x y) 曲线弧曲线弧PO 与直线段与直线段OP的面积为的面积为x2 求曲线弧求曲线弧 所围图形所围图形AO 的方程的方程 解解 设曲线弧设曲线弧AO 由题意得由题意得20)(21)(xxxydxxyx两边求导得两边求导得xxyxxyxy2)(21)(21)(4xyy即即,xyu 令令则有则有4udxduxudxxduu41即即),(yxp0 xyA的方程为的方程为y y(x) u4ln x C 两边积分得两边积分得xyu 将将代入上式得方程的通解代入上式得方程的通解 y4xln x Cx 由于由于A(1

12、1)在曲线上在曲线上 即即y(1) 1 因而因而C 1 从则所求方程为从则所求方程为y4xln x x 一、可分离变量方程的解法一、可分离变量方程的解法形如形如y = f (x) g (y)解法：解法：( (1) ) 分离变量分离变量将方程整理为将方程整理为xxfyygd)(d)(1 的形式，的形式，使方程各边都只含有一个变量使方程各边都只含有一个变量.( (2) ) 两边积分两边积分,d)(1yyg 左边左边.d )(xxf 右边右边故方程通解为故方程通解为.d )(d)(1Cxxfyyg )(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法,xyu 作

13、变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义,0)(时时当当 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入将将xyu ,)(xyCex 得通解得通解.)(xdxuufduuufduexc)(1三三. .一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程0)( yxPy方程的通解公式为方程的通解公式为.ed)( xxPCy四四. .一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程).()(xQyxPy 非齐次线性方程

14、的通解非齐次线性方程的通解.de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 二阶常系数线性齐次方程为二阶常系数线性齐次方程为 五、五、二阶常系数线性齐次方程二阶常系数线性齐次方程特征方程为特征方程为 一、一、二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法) 1 ()(xfqyyPy 一般形式：一般形式：型型)()(xPexfmx 为实数为实数 , ,)(xPm设设特解特解为为为为m 次多项式次多项式 . ., )(*xQexym