概率论与数理统计：8-1假设检验

1、第八章、假设检验第八章、假设检验第一节：假设检验第一节：假设检验第二节：正态总体均值的假设检验第二节：正态总体均值的假设检验第三节：正态总体方差的假设检验第三节：正态总体方差的假设检验第六节：分布拟合检验第六节：分布拟合检验第八节：假设检验问题的第八节：假设检验问题的P值法值法第一节第一节 假设检验假设检验基本概念基本概念基本思想基本思想基本步骤基本步骤两类错误两类错误假设检验假设检验参数假设检验参数假设检验非参数假设检验非参数假设检验这类问题称作假设检验问题这类问题称作假设检验问题 .总体分布已总体分布已知，检验关知，检验关于未知参数于未知参数的某个假设的某个假设总体分布未知时的假设检验问题

2、总体分布未知时的假设检验问题 在本节中，我们将讨论不同于参数估计的另一在本节中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题类重要的统计推断问题. 这就是这就是根据样本的信息检验根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确关于总体的某个假设是否正确.一、一、基本概念基本概念 假设检验的统计思想，假设检验的统计思想，P178-180 某企业自称其某种产品的合格率为某企业自称其某种产品的合格率为99%，如何来，如何来判断这一说法的正确性？判断这一说法的正确性？ 自然地，可以从其产品中随机抽取一些，根据所得的自然地，可以从其产品中随机抽取一些，根据所得的次品数多少作出适当的判断次品数多少作出适

3、当的判断 如果抽样得到如果抽样得到10个产品的数据，其中有个产品的数据，其中有9个次品，则会个次品，则会否定或拒绝其说法否定或拒绝其说法 因为如果其假设正确，即因为如果其假设正确，即合格率为合格率为99% ，则，则10件产品件产品9个次品，这是很小概率的事件，百次一遇而现在竟然个次品，这是很小概率的事件，百次一遇而现在竟然发生了，所以拒绝其说法发生了，所以拒绝其说法 根据这个原理，可得到一般的推断方法：在某假设根据这个原理，可得到一般的推断方法：在某假设为为真的真的条件下，事件条件下，事件A是一个小概率事件，现进行一次试验，是一个小概率事件，现进行一次试验，如果事件如果事件A发生了，则自然有理

4、由否定此假设，也就是拒发生了，则自然有理由否定此假设，也就是拒绝此假设这便是假设检验的基本思想绝此假设这便是假设检验的基本思想例例已知某厂对外宣称：该厂排放的气体中有害气已知某厂对外宣称：该厂排放的气体中有害气 体的体的含量服从正态分布含量服从正态分布N(23,22),现测量现测量6次得数据如下：次得数据如下：23,21,19,24,18,18,若有害气体含量的方差不变（方差稳定）若有害气体含量的方差不变（方差稳定）,问该厂有害气体含量的均值是否如宣称的为问该厂有害气体含量的均值是否如宣称的为23?假设假设 H0: =23，H1: 23,解解:由题意由题意:该厂有害气体含量该厂有害气体含量XN

5、(,22),若若H0成立成立,则则若取若取=0.05,则则 P|Z|z/2=,即即: P|Z|1.96=0.05,在假设成立的条件下在假设成立的条件下,|Z|1.96为概率很小事件为概率很小事件,一般认为一般认为:小概率事件小概率事件在一次实验中是不会发生的在一次实验中是不会发生的,将样本观测值代入将样本观测值代入Z得得|Z|1.96,小概率事件在一次实验中发生了小概率事件在一次实验中发生了,否定原假设否定原假设,该厂有害气体含量的均值不是宣称的为该厂有害气体含量的均值不是宣称的为23故假设不合理故假设不合理,即即:拒绝域拒绝域 检验水平（或显著性水平）检验水平（或显著性水平） 临界值临界值

6、双侧检验双侧检验6/223/xnxZ,06.36/223xZ二、二、 假设检验的基本思想假设检验的基本思想(1)(1)小概率原理小概率原理( (实际推断原理实际推断原理) )认为概率很小的事件在一次试验中认为概率很小的事件在一次试验中实际上不会出现实际上不会出现, ,并且小概率事件在一次试验中出现了并且小概率事件在一次试验中出现了, ,就被认为是就被认为是不合理的不合理的. .(2)(2)基本思想基本思想: :先对总体的参数或分布函数的表达式先对总体的参数或分布函数的表达式做出某种假设做出某种假设, ,然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小的然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小的(

7、(条件条件) )小概率事小概率事件件. .如果试验或抽样的如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了结果使该小概率事件出现了, ,这与小概率原理这与小概率原理相违背相违背, ,表明原来的假设有问题表明原来的假设有问题, ,应予以否定应予以否定, ,即即拒绝这个假设拒绝这个假设. .若该若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现小概率事件在一次试验或抽样中并未出现, ,就没有理由否定这个假就没有理由否定这个假设设, ,表明试验或抽样结果支持这个假设表明试验或抽样结果支持这个假设, ,这时称假设与实验结果是这时称假设与实验结果是相相容的容的, ,或者说可以或者说可以接受原来的假设接受原来的假设. .三

8、、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤 ; ,. 110HH假设假设及备择及备择提出原假设提出原假设根据实际问题的要求根据实际问题的要求 ; . 2n以以及及样样本本容容量量给给定定显显著著性性水水平平 3. .确定检验统计量以及拒绝域形式确定检验统计量以及拒绝域形式; ; ;. 400求出拒绝域求出拒绝域为真拒绝为真拒绝按按 HHP . ,. 50H受还是拒绝受还是拒绝根据样本观察值确定接根据样本观察值确定接取样取样四、例题四、例题.05. 0 ?, s/cm2 s./cm25.41 ,25,. s/cm2, s/cm40),(2 取显著水平取显著水平提高提高的的推进器的燃烧率有显著推进

9、器的燃烧率有显著烧率是否较以往生产的烧率是否较以往生产的器的燃器的燃问用新方法生产的推进问用新方法生产的推进均方差仍为均方差仍为设在新方法下总体设在新方法下总体率的样本均值为率的样本均值为测得燃烧测得燃烧只只随机取随机取方法生产了一批推进器方法生产了一批推进器现用新现用新正态分布正态分布推进器的燃烧率服从推进器的燃烧率服从某工厂生产的固体燃料某工厂生产的固体燃料xnN例例1 , )( : 01烧率烧率即假设新方法提高了燃即假设新方法提高了燃 H这是右边检验问题这是右边检验问题, , .645. 1/05. 00 znxz 拒绝域为拒绝域为 ,645. 13.125/0 nxz 因为因为 ,值落

10、在拒绝域中值落在拒绝域中z . 0.05 0H下拒绝下拒绝故在显著性水平故在显著性水平 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高. .解解根据题意需要检验假设根据题意需要检验假设 , )( 40: 00燃烧率燃烧率即假设新方法没有提高即假设新方法没有提高 H假设检验会不会犯错误呢？假设检验会不会犯错误呢？由于作出结论的依据是下述由于作出结论的依据是下述小概率原理小概率原理小概率事件在一次试验中小概率事件在一次试验中基本上基本上不会发生不会发生 .不是一定不发生不是一定不发生五、两类错误五、两类错误 第一类错误（弃真错误）第一类错误（弃真错误）原假设原假设

11、H0为真，而检验为真，而检验结果为拒绝结果为拒绝H0；记其概率为；记其概率为 ，即，即 P拒绝拒绝H0|H0为真为真= 第二类错误（受伪错误）第二类错误（受伪错误）原假设原假设H0不符合实际，不符合实际，而检验结果为接受而检验结果为接受H0；记其概率为；记其概率为 ，即，即 P接受接受H0|H0为假为假= 希望：犯两类错误的概率越小越好，但样本容量一定希望：犯两类错误的概率越小越好，但样本容量一定 的前提下，不可能同时降低的前提下，不可能同时降低 和和 。原则：保护原假设，即限制原则：保护原假设，即限制 的前提下，使的前提下，使 尽可能的小。尽可能的小。检验水平检验水平 H0为真为真实际情况实

12、际情况决定决定拒绝拒绝H0接受接受H0H0不真不真第一类错误第一类错误正确正确正确正确第二类错误第二类错误 犯两类错误的概率犯两类错误的概率: 显著性水平显著性水平 为犯第一类错误的概率为犯第一类错误的概率. P拒绝拒绝H0|H0为真为真= P接受接受H0|H0为假为假= 附附 录录1、假设检验其他例题。、假设检验其他例题。2、假设检验原理的详细解释。、假设检验原理的详细解释。3 3、原假设的确定应遵循的原则。、原假设的确定应遵循的原则。.251, |),( ,25)2(;|, 1)1(. 0.05, )0:(0: ,)100,(),(251251111111021 iinxxdxxxWndx

13、xWnWdHHNXXX其中其中率为率为检验犯第一类错误的概检验犯第一类错误的概为拒绝域的为拒绝域的使得以使得以分别确定常数分别确定常数两种情况下两种情况下在下列在下列要检验要检验的一个样本的一个样本是来自正态总体是来自正态总体设设 解解 ,1)1(0成立成立若若时时Hn , )1 , 0(10 1NX则则例例11、假设检验其他例题、假设检验其他例题 dXPWXP 111 10101dXP 1010dd 1012d ,05. 0 ,975. 010 d ,96. 110 d; 6 .19 d ,25)2(0成立成立若若时时Hn , )1 , 0(1025 NX则则 dXPWXXP 1251, 2

14、2dXP 22dd 212d ,05. 0 ,975. 02 d ,96. 12 d.92. 3 d .,25)2(0.05;,)1(,|, ),:(: , ,)9,(),(011010021之间的关系之间的关系和和误的概率误的概率分析犯两类错分析犯两类错的情况下的情况下在固定样本容量在固定样本容量使显著性水平为使显著性水平为确定常数确定常数拒绝域拒绝域检验检验为未知参数为未知参数其中其中的一个样本的一个样本是来自正态总体是来自正态总体设设 nCCxxxWHHNXXXnn解解 ,)1(0成立成立若若 H , )1 , 0(3)( 0NXn 则则)(),(011CXPWXXPn 例例2 330C

15、nXnP 312Cn ,05. 0 ,975. 03 Cn ,96. 13 Cn;88. 5nC ,25)2(0成立成立若若时时Hn ),(11WXXPn 312Cn .3512 C ,0不成立不成立若若H),(11WXXPn )(0CXP )(00 CXCP )(35)(35)(3500 CXCP,)(35)(351010 CC ; ,较小较小较大较大较小时较小时当当 C ,01 不妨假设不妨假设.0上面的关系成立上面的关系成立是任取的，所以对所有是任取的，所以对所有由于由于 . ,较大较大较小较小较大时较大时当当 C2、假设检验原理的详细解释。、假设检验原理的详细解释。 我们当然希望犯两类错误的概率要尽可能地同时小，我们当然希望犯两类错误的概率要尽可能地同时小，最好都是零但是，进一步研究讨论可知，最好都是零但是，进一步研究讨论可知，当样本容量当样本容量n固定时，若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概固定时，若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往增大率往往增大若要使犯两类错误的概率都减小，则只有增若要使犯两类错误的概率都减小，则只有增加样本容量加样本容量 图图8-1 注意：注意：nknXP/000/)(0nknk/)(00nk/3.假设与对立假设假设与对立假