2020届中原名校高三下学期质量考评(一)数学(文)试题(解析版)

1、2020 届中原名校高三下学期质量考评（一）数学（文）试题一、单选题1 1 .复数z 2i（ i i 为虚数单位）的虚部为（）1 i333.3.A A .B B.C C.iD D. i2222【答案】B B【解析】先化简复数 z z，再根据虚数概念求解 【详解】因为z 2i旦卫2i -3i，所以虚部为31 i2222故选 B B【点睛】本题考查复数运算以及虚数概念，考查基本分析求解能力，属基础题A A.1,2B B.1,8C C.2,4D D.4,8【答案】B B【解析】解出集合A、B，利用并集的定义可求出集合AU B. .【详解】Q A x 1 log2x 32,8,Bx x23x 4 01

2、,4，因此，AUB 1,8故选：B.B.【点睛】本题考查并集的计算，同时也考查了对数不等式和一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题 3 3.若样本1X X1, ,1X X2, ,1 x3,L ,1X Xn的平均数是 1010,方差为 2 2,则对于样本2 2x1,2 2x2,2 2x3丄，2 2xn，下列结论正确的是（）【答案】D D【解析】由两组数据间的关系，可判断二者平均数的关系，方差的关系，进而可得到答案 第 1 12 2 .设集合A x 1 log2x 3,Bxx23x 40,则AU B等于（A A .平均数为 2020,方差为 4 4C C.平均数为 2121,方差为 8 8

3、B B .平均数为 1111,方差为 4 4D D .平均数为 2020,方差为 8 8【详解】第 2 2 页共 2121 页页共 2121 页【详解】第 2 2 页共 2121 页【解由指数函数的性质得a 1,由对数函数的性质得0,1，根据正切函数的性质得c0,即可求解，得到答案.【详由指数函数的性质，可得a 20.51，由对数函数的性质可得b log0.50.60,1,4根据正切函数的性质，可得c tan 0,所以c b a,5故选 B.B.【点本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题,其中解答中熟记指数函数与对数函5 5.已知向量a (m,1), b(3,m2），则m 3

4、是a/b的（）A A .充分不必要条件B B 必要不充分条件C C.既不充分也不必要条件D D 充要条件【答案】A Arrr ro【解析】向量a （ m,1），b (3, m 2)，a/b，则3(m 2)，即m22m 3 0,【详解】 样本 1 1 X Xi,1,1 X X2,1,1 X X3，L L ,1,1 X Xn的平均数是 1010,方差为 2 2,所以样本22知2 2X2,2 2X3丄，2 2xn的平均数为2 1020, ,方差为222 8. .故选：D.D.【点睛】均数为axb, ,方差为a2s2. .【答案】样本X1,X2,X3,L ,Xn的平均数是X，方差为s2，贝 U U a

5、x!ax! b,axb,ax2b,axb,ax3b,Lb,L ,ax,axnb b 的平4 4 .设a20.5,b logo.50.6,4tan,5则（重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.m 3或者-1-1，判断出即可.第4 4页共 2121 页解：向量a ( m,)，b(3, m 2)，a/b，则3 m(m 2),即m22m 3 0，m 3或者-1-1,所以m 3是m 3或者m1的充分不必要条件，故选：A A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题. .6 6.函数f(x) Asin( x )(0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差

6、数列，要得到函数g(x) Acos x的图象，只需将 f(x)f(x)的图象()A A .向左平移个单位B B .向右平移一个单位41212C C .向左平移一个单位D D .向右平移3个单位44【答案】 A A22nc 上冗【解析】依题意有f x的周期为T,3,fx Asin 3x 而34g xAs in 3x Asin 3xnnAsin 3 xnnn，故应左移24 4124127 7.根据最小二乘法由一组样本点x,yi(其中i 1,2,L ,300),求得的回归方程是?依？，则下列说法正确的是()()A.至少有一个样本点落在回归直线？bx a上B.若所有样本点都在回归直线？召上，则变量同的

7、相关系数为1 1c c.对所有的解释变量x(i 1,2丄，3),bx,召的值一定与y有误差D D .若回归直线y bx召的斜率|?0，则变量 x x 与 y y 正相关【答案】D D【解析】对每一个选项逐一分析判断得解 【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故A A 错误；第5 5页共 2121 页所有样本点都在回归直线? bX召上，则变量间的相关系数为1，故B错误;若所有的样本点都在回归直线? bx ?上，则bX ?的值与y相等，故C错误；相关系数 r r 与b符号相同，若回归直线? bX令的斜率|?0，则r o,样本点分布 应从左到右是上升的，则变量x x 与

8、 y y 正相关，故 D D 正确.故选 D D.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力 28 8 .已知点M是抛物线x 4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C:(x 1)2(y 4)21上一动点，则|MA| | MF |的最小值为()A A . 3 3B B. 4 4C C. 5 5D D . 6 6【答案】B B【解析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当M ,A,P三点共线时，| MA MF|的值最小，根据圆的性质可知最小值为|CP r；根据抛物线方程和圆的方程可求得|CP,Q抛物线的准线方程：y 1,C 1,4当M,AP三点共线时，

9、MAMPMP| | |MFMFMF的值最小，且最小值为|CP r |CP 1CP 4 1 5本题正确选项：BMA MF .5 14min从而得到所求的最值第6 6页共 2121 页【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能第7 7页共 2121 页够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解 9 9 .某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为【答案】C C【解析】作出三棱锥的实物图P ACD，然后补成直四棱锥形，可得知三棱锥P ACD的外接球和直四棱锥P ABCD的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD的外接圆直径AC，利

10、用公式2R .PB2AC2可计算出外接球的直径2R，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积【详解】三棱锥P ACD的实物图如下图所示:可知四边形ABCD为矩形，且 ABAB 3 3,BC 4. .矩形ABCD的外接圆直径AC= AB2+ +BC2= = 5 5，且PB 2. .所以，三棱锥P ACD外接球的直径为2R . PB2AC229,2 2因此，该三棱锥的外接球的表面积为4 R22R 29. .故选：C.C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题 1，则该三

11、棱锥外接球的C C.29D D.30P ABCD，且底面为矩将其补成直四棱锥P ABCD,PB底面ABCD,表面积为（ ）A A. 2727B B.28第8 8页共 2121 页1010 在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a b 8,c 2 7,2222B2a b a b c 2abc 1 2sin，贝U ABC的面积为()2A A 6、3B B.8 3C C 3 3D D 4 3【答案】C C【解析】 先根据余弦定理以及二倍角余弦公式，将2a b a2b2c22abc 1 2sin2B，变形整理为22a cosC bcosC ccosB，再根据正弦定理，变形整理为11cosC

12、，然后根据余弦定理， 确定ab 12，根据三角形面积公式S absinC求22解即可 【详解】玄2b2c22abccosB，即2a ba- ccosB，故2ab则ab 12，贝V ABC的面积S -absinC 2故选：C C【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题1111 若x,a,b为任意实数，且(a 2)2(b 3)21，则(x a)2(Inx b)2的最小值为()A A 32 2B B. 1818C C 321D D 19 62【答案】D D【解析】由题意可得a,b在2,3为圆心，1 1 为半径的圆上，(x a)2(ln x b)2表示点a,b与点x,lnx的距

13、离的平方，设过切点m,lnm的切线与过2,3的法线2si2si n n AcosCAcosC sisi nAnA，确定依题意,2.2 22a b a b c2a b cosCccosB，故2a cosCbcosC ccosB，即2sin AcosCsin BcosC sinCcosB余弦定理，c2a2b22abcosC asin A，因为si nA 0,故cosC；由22b 3ab，即28 64 3ab，即3ab 36，6弓3 3.第9 9页共 2121 页垂直，由两直线垂直的条件：斜率之积为1,解方程求得切点，圆心和切点的距离d,第1010页共 2121 页可得距离的最小值为d r，可得所求

14、值 【详解】解：(a 2)2(b 3)21,可得a,b在2,3为圆心，1 1 为半径的圆上，2 2(x a) (In x b)表示点a,b与点x,ln x的距离的平方，又x,ln x在曲线y In x上，设曲线y In x上一点为m,lnm设过点m,ln m的切线与点m,ln m与2,3的连线垂直,1,即有ln m m22m由fm=ln m m23，2m在m 0递增，且 f f 1 13 3 ,可得切点为1,0,圆心与切点的距离为d , (1 2)2(0 3)23、2，可得(x a)(2(ln xb)2的最小值为3、2 1219 6、2,故选：D.D.【点睛】本题考查两点的距离的运用，圆的方程

15、和运用，考查导数的几何意义，以及转化思想和运算能力，属于中档题 1212. 若函数f(x)1m x22lnx在2,e上有两个不同的零点，则实数m的取值范e围为 ()A A .2e,e2B B.1 W,e22 eC C .1,4丄e4D D.(1,)【答案】C C2 -x 2ln x，判断g x的单调性和极值，根据g xm有两解得出m的范围. .【解析】令g x第1111页共 2121 页【详解】解：令f x 0可得m x22ln x,222 2x22令g x x 2ln x，则g x =2x. .x x1当x 1时，g x 0，当1 x e时，g x 0,e1g x在-,1上单调递减，在1,e

16、上单调递增，e当x 1时，g x取得极小值g 11,1 12又gye44，g(e)e 2，Q m g x有两解,11 m44. .e故选：C.C.【点睛】二、填空题1313 .甲、乙、丙二人参加会宁一中招聘老师面试，最终只有一人能够被会宁一中录用，得到面试结果后，甲说：丙被录用了 ”；乙说： 甲被录用了 ”；丙说： 我没被录用若这三人中仅有一人说法错误，则甲、乙、丙三人被录用的是_【答案】甲【解析】 分别假设甲说的是真话，甲说的是假话来分析，即可得出结论【详解】解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真

17、话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立故答案为：甲 【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础1414 .九章算术中有如下问题：今有勾五步，股一二步，问勾中容圆，径几何？1g g(e)，e本题考查了函极值的关系，考查函数单调性的判断，属于中档题 第1212页共 2121 页其大意： 已知直角三角形两直角边长分别为5 5 步和 1212 步，问其内切圆的直径为多少 步？ ”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是15 2【答案】竺二15【解析】利用分割面积法求出内切圆半径，进而求出内切圆的面积，再利用几何概型的

18、 概率公式计算即可 【详解】斜边长为 1313 步，内切圆的面积为:152故答案为：15【点睛】x y 101515 .已知不等式x y 10表示的平面区域为2x y 20式x 2y t 0恒成立，则实数t的最大值为【答案】 5 5【解析】根据已知不等式组画出可行域，可通过直线平移求得直线z x 2y的纵截距最大时，z z 最小，代入A点坐标求得Zmin，则t Zmin，即可得到结果 【详解】解：由已知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示：解：Q直角三角形两直角边长分别为5 5 步和 1212 步,设内切圆的半径为r，则-r 52121312则豆子落在其内切圆外的概率是:1 ,21-12 5

19、21215 215本题考查了几何概型的概率计算,是基础题D，若对任意的x, y D，不等第1313页共 2121 页*7:（M）可求得A 3,4,B 0,1,C 1,0. .当直线z x 2y经过点A 3,4，时，直线的纵截距最大，z z 最小故答案为：5 5 . .【点睛】21616 已知点A 0, 1是抛物线x2py的准线上一点，F F 为抛物线的焦点,线上的点，且PF m PA，若双曲线 C C 中心在原点，F F 是它的一个焦点，且过 P P 点,当 m m 取最小值时，双曲线 C C 的离心率为 _ . .【答案】,21【解析】由点A坐标可确定抛物线方程，由此得到F坐标和准线方程；过

20、P作准线的PN垂线，垂足为N,根据抛物线定义可得 一PA取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得结合焦距可求得所求的离心率 【详解】Q A 0,1是抛物线x22py准线上的一点m，可知当直线PA与抛物线相切时，mP点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，抛物线方程为x24yF 0,1，准线方程为y 1Zmin3 2 45,t5. .本题考查线性规划求解z ax by的最值的问题，属于基础题P P 为抛物第1414页共 2121 页过P作准线的垂线，垂足为N，则PN PF第1515页共 2121 页设直线PA的倾斜角为，则sin m当m取得最小值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切双曲线的实轴长

21、为PA PF2J21,焦距为AF 2故答案为：,21【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、的应用；关键是能够确定当m取得最小值时，直线PA与抛物线相切， 切线方程的求解方法求得P点坐标 三、解答题1717 .已知数列an的前n项和为Sn，点(an，Sn)在直线y 2x 2上,(1)(1)求an的通项公式；若bnn (an1)log2an，求数列bn的前n项和Tn。【答案】(1 1)an2n(2 2)Tn(n 1) 2n 12Q PF mPAPF PNPA PA设直线PA的方程为y kx 1，代入x224y得：x 4kx 4016k2160，解得：k k 1

22、1P 2,1或2,1双曲线的离心率e22 ,2 1双曲线定义进而根据抛物线第1616页共 2121 页【解析】由点在直线上代入得到an、Sn的关系，然后求出通项公式由(1 1)得bnn 2n，运用错位相减法求出前n项和Tn【详解】(1)(1)Q点an，Sn在直线y 2x 2上，n N*，Sn2an2. .当n1时，印2q2,则a12,当n2时，Sn2an25Sn 12an 12两式相减，得an2an2an 1,所以an2an 1所以an是以首项为2，公比为2等比数列，所以an2n. .bnnain 1 log2annan1log22nn 2n, ,Tn1 212 22323Ln12n 1n 2

23、n2Tn1 2；22 23324Ln1 2nn 2n1两式相减得Tn212223L2nn 2n1, ,所以Tnn 1 2n 12【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的运用，错位相减求和的运用， 解题的关键是理解各个概念以及掌握求和的基本步骤。1818 在三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC 2,ACB120,第1717页共 2121 页(1)证明:AC /平面BCQ；第 i3i3 页共 2i2i 页（2）若AiA AC,点A在平面ABC的射影在AC上， 且侧面AABBi的面积为23, 求三棱锥B AiCiD的体积. .1【答案】（1 1）见解析；（2 2）. .4【解析】试题分析： （1

24、1）连接BiC交BCi于点E，连接DE利用中点可得DE / /AC，所以A,C平面BCiD. .（2 2）取AC中点0,连接A。，过点0作OF AB于F，连 接AF，利用等腰三角形和射影的概念可知A0平面ABC，所以Ai。AB，所以AB平面AOF，所以AB AiF. .利用侧面A,ABBi的面积可计算得三棱锥的高，由 此可计算得三棱锥的体积. .试题解析：（i i）证明：连接BiC交BCi于点E，连接DE. .则E为BiC的中点，又D为ABi的中点，所以DE/AC，且DE平面BCiD，AC平面BCiD，则AC /平面BCiD. .（2）解：取AC的中点0,连接A0,过点0作OF AB于点F，连

25、接AF. .因为点A在平面ABC的射影0在AC上，且AAA,C，所以A,0平面ABC，二A0AB,AQ0F0, AB平面A0F,则AiF AB. .设A0 h，在ABC中，ACBC2,ACBi20,二AB 2、3,0Fi2，AiFh2,由SA|ABBih22 322，可得Ai0h42则VAIBCiDVBACiDi3A0；SBAICIDi1 22sin i20i3 2224i所以三棱锥AiBCiD的体积为丄. .4第1919页共 2121 页1919 . .世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的

26、中国平台，让各国在争议中求共识 ？在共识中谋合作？在合作中创共赢.2019.2019 年 1010 月 2020 日至 2222 日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 1 000000 名志愿者 某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100100 名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为 3434 岁，年龄在40,45）岁内的人数为 1515,并根据调查结果画出如图（1 1）求m,n的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（2 2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查 这 100100 位

27、志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过 0.0010.001 的前提下，认为 选择哪种报名方式与性别有关系”？男性女性总计参考公式及数据：K22n(ad be)(a b)(e d)(a e)(b d)， 其中nabed. .所示的频率分布直方图第2020页共 2121 页现场报名5050网络报名3131总计5050PK20.050.050.010.010.0050.0050.0010.001k03.8413.8416.6356.6357.8797.87910.82810.828【答案】（1 1）m 0.020,n 0.025,34（岁）（2 2

28、）列联表见解析，不能【解析】（1 1）求出40,45）的频率，由频率和为 1 1，得到m,n的一个关系式，再由中位 数为3434,又可得m,n另一个关系式，即可求出m,n，进而求出平均数；（2 2）根据数据关系补全列联表，求出K2的观测值，结合提供数据，即可得出结论 【详解】（1 1）因为志愿者年龄在40,45）内的人数为15，15所以志愿者年龄在40,45）内的频率为：0.15；100由频率分布直方图得：（0.020 2m 4n 0.010） 5 0.15 1，即m 2n 0.07，由中位数为34, ,可得0.020 5 2m 5 2n （34 30） 0.5，即5m 4n 0.2，由解得m

29、 0.020，n 0.025. .志愿者的平均年龄为（22.522.5 0.0200.020 27.527.5 0.0400.040 32.532.5 0.0500.05037.537.5 0.0500.050 42.542.5 0.0300.03047.547.5 0.0100.010） 5 534（岁）. .（2 2）根据题意得到列联表男性女性总计现场报名19313150网络报名31311950第2121页共 2121 页总计5050100所以K2的观测值第2222页共 2121 页22k k100 (19 19 31 31)219 3119 315.76V10.828,所以不能在犯505

30、050 50 505050 5050 5050错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系【点睛】本题考查补全频率直方图，以及中位数、平均数求法，考查独立性检验，意在考查计算求解能力，属于基础题 2 22020已知椭圆C :X2与1(a b 0)的长轴长为 4 4,直线y X被椭圆C截得的线a b段长为4 10. .5(1) 求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线1(1(2分别交椭圆C于M , N两点(点6M ,N不同于椭圆C的右顶点)，证明：直线MN过定点(一,0). .5X226【答案】(1) y21； (2 2)(6,0)45由弦长可得P(

31、2II, if)，代入笃 每1，再结合2a 4可解得a,b；55a b1(2 2)只要设出直线方程：h:x my 2,l2: xy 2，把x my 2代入椭圆方m程可解得 M M 点坐标，同理可解得 N N 点坐标，由两点求出直线 MNMN 的方程(注意分类讨论 MNMN 与x垂直和不垂直两种情形)，通过直线方程可观察出直线所过定点.详解：(1)1)根据题意，设直线yx与题意交于P,Q两点 不妨设 P P 点在第一象限，又PQ长为,5 P2.52苗4452 25： 5_52_5_1，可得a ba b,4ab又2a4,a2,b 1,故题意C的标准方程为2x2.y 14【解P,Q两点关于原点对称，

32、不妨设P在第一象限,第2323页共 2121 页1(2(2)显然直线IL的斜率存在且不为 0 0,设l1: x my 2, l2: xy 2,m第2424页共 2121 页所以直线MN过定点,05点睛：在圆锥曲线中证明直线过定点，主要采用设而不求法”，通常求出直线与圆锥曲线的交点坐标（本题是通过设出直线方程，由直线方程与椭圆方程联立求得交点M M , N N坐标），然后求出直线方程，观察直线方程可证此直线过定点.1e，求实数a的取值范围4【答案】（1 1）实数b的值为 e.e.14e2【解析】分析：（1 1）根据导数的几何意义求得曲线y f x在点e, f e处的切线方程，与yax 2e对照后

33、可得b e. （2 2）问题可转化为a1 1在lnx 4xe, e2上有解，令h x1 1,xe,e2，结合导数可得h xi.2 1 h e14e2，故lnx 4xmin2得实数a的取值范围为丄丄xmy2由x22得2m4y1同理可得28m2N4m2当m1时,1kMN424 y22m 8 4mm24 m244m5mm244 m215m整理得y4 m24m4m215m ，所以直线MNm 12m28m246m4 m215m4 m21的方程为6x -，所以直线1时，直线MN的方程为x直线也过点2121 .已知函数f x（1 1）求实数b的值;xIn xax b在点e,e处的切线方程为yax 2e. .

34、2一（2 2）若存在X。e, e,满足f X。第2525页共 2121 页2 4e详解：（1 1）函数f x的定义域为0,11,第2626页共 2121 页1 1所以实数a的取值范围为厂2 4ex.ax bInxT x2a. . f ea,又f e e aeb, ,-所求切线方程为ye ae baxe即yax e b又函数f x在点e, fe处的切线方程为y- b e. .所以实数b的值为e.e.(2(2)由题意得 f fXoxInxoax所以问h则当x所以函数所以Inx4x112,xe,e,Inx4x11ln2x 4xInx 2、x Inx4x2xln2x2 2 -4x In x4x2| n2xInx 2 =,21 11.x 门e,e时，有px；x0.xP x在区间e, e2上单调递减,Pe lne2.e o.所以h x所以h x在区间e, e2上单调递减. .所以h xhe21 1 11 lne24e22 4e2.Inx 1第2727页共 2121 页点睛：对于恒成立和能成立的问题，常用的解法是分离参数，转化为求函数最值的问题f x有解，则af Xmin；若a f x有解,处理解