九年级培优易错难题圆的综合辅导专题训练及答案

1、九年级培优易错难题圆的综合辅导专题训练及答案一、圆的综合1 .如图，四边形 OABC是平行四边形，以 。为圆心，OA为半径的圆交 AB于D,延长AO 交。于E,连接CD, CE,若CE是。的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是。的切线；（2）若BC=4, CD=6,求平行四边形 OABC的面积.二B【答案】（1）证明见解析（2） 24【解析】试题分析：（1）连接OD,求出Z EOC=Z DOC,根据SAS推出EOeDOC,推出/ODC=/ OEC=90,。根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出 CE=CD=4根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式二24 CO

2、D的面积即可求解.试题解析：（1）证明：连接OD,-.OD=OA, / ODA=/ A, .四边形OABC是平行四边形， .OC/ AB,/ EOC=/ A, / COD=/ ODA,/ EOC=Z DOC,在EOC和ADOC中，OE ODEOC DOCOC OC.,.EOCADOC （SAS , / ODC=/ OEC=90 ；即 OD, DC, .CD是。O的切线；（2）由（1）知CD是圆O的切线， .CDO为直角三角形， .Sa cdcf CD?OD2，又 oafbcfOd=4Sacdo= X 6X 4=,122，平行四边形OABC的面积S=2S cdo=24.2.如图 1,直角梯形 O

3、ABC中，BC/ OA, OA=6, BC=2, / BAO=45°.用工*(1) OC的长为(2) D是OA上一点，以 BD为直径作OM, OM交AB于点Q.当。M与y轴相切时,sin / BOQ=；(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点 B沿折线B-C- O向点O运动.当点P到达点A时，两点同时 停止运动.过点 P作直线PE/ OC,与折线O-B- A交于点E.设点P运动的时间为t(秒).求当以 B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.【答案】(1)4; (2) 3 ; ( 3)点 E 的坐标为(1,2)、

4、(也，10)、(4,2).533【解析】分析：(1)过点B作BHLOA于H,如图1 (1),易证四边形 OCBH是矩形，从而有 OC=BH,只需在4AHB中运用三角函数求出 BH即可.(2)过点B作BHLOA于H,过点G作GF, OA于F,过点B作BR± OG于R,连接 MN、DG,如图1 (2),则有 OH=2, BH=4, MN LOC.设圆的半径为 r,则 MN=MB=MD=r.在RBHD中运用勾股定理可求出 r=2,从而得到点 D与点H重合.易证 AFGA ADB,从而可求出AF、GF、OF、OGOB、ARBG,设 OR=x,利用BR2=OB2 -OR2=BG2-RG2可求出

5、x,进而可求出BR在RORB中运用三角函数就可解决问题.(3)由于4BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况(/BDE=90°,Z BED=90 °,Z DBE=90 °)讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立 关于t的方程就可解决问题.详解：(1)过点 B 作 BHLOA 于 H,如图 1 (1),则有 /BHA=90°=/ COA,OC/ BH. BC/ OA, .四边形 OCBH是矩形，. .OOBH, BC=OH. OA=6, BC=2, . AH=0AOH=OA BC=6 - 2=4. ZBHA=90 °, Z B

6、AO=45 °,tan / BAH= BH- =1, b BH=HA=4,OC=BH=4.HA故答案为4.(2)过点B作BHOA于H,过点G作GF, OA于F,过点B作BR± OG于R,连接 MN、DG,如图 1 (2).由(1)得：OH=2, BH=4. OC与。M 相切于 N,MN ±OC.设圆的半径为 r,则MN=MB=MD=r.BC± OC, OA± OC,BC/ MN/OA.1 . BM=DM, . CN=ON, ，MN= ( BGOD) , . OD=2r - 2 ,2.DH=OD OH =2r 4 .在 RtA BHD 中, ZB

7、HD=90°, . BD2=BH2+DH2,(2r) 2=42+ (2r-4) 2.解得：r=2,DH=0,即点 D 与点 H 重合，z. BD± 0A, BD=AD. BD是。M 的直径，Z BGD=90°,即 DGXAB, . BG=AG.GF± OA, BDXOA, ，GF/ BD,AAFGAADB,，空=笆uAG， - AF=1AD=2, GF=1BD=2, .OF=4,AD BD AB 222og= Jof2gf2 = V422T =2 后.-1-同理可得：OB=2 J5 , AB=4 72，1- BG=- AB=2 垃设 OR=x,则 RG=

8、2 J5 -x. . BR±OG,Z BRO=Z BRG=90°, . BROB2 OR2=BG2RG2,(2 2 - x2= (2)2- (2君-x) 2.6 V53=5 =-2.5 5解得：x=W5 ,，BF2=OB2-OR2= (2石)2-(封5 ) 2=36 , .BR=5 . 5555在 RtA ORB 中,BRsin/ BOR= OB3故答案为一 .5(3) 当/BDE=90°时，点D在直线PE上，如图2.此时 DP=OC=4, BD+OP=BD+CD=BC=2, BD=t, OF=t, 则有 2t=2.解得：t=1,则 OF=CD=DB=1. DE/

9、 OC,ABDEABCO, /. -DE-=-BD =1 , /. DE=2, . EF=2,OC BC 2点E的坐标为（1,2）.当/ BED=90°时，如图3./DBE=OBC, Z DEB=Z BCO=90 °, DBEA OBC,.BE DB BE t5- =,=产-> -BE=1.BC OB 22.55 PE/ OC,Z OEP=Z BOC ZOPE=Z BCO=90 °,AOPEABCO,OE OP OE t .=177， 尸=一， , OE=V5 t.OB BC 2 5 2 OE+BE=OB=2 ,5,.5t+jt=2 后.解得：t=5, .O

10、P=5,3355 5 10OE=，Pe=Voe2 op2 =-533 510点E的坐标为（一,）3 3当/ DBE=90°时，如图4.此时 PE=PA=6-t, OD=OC+BC- t=6 - t.贝U有 OD=PE, EA=JPE2 Pa2 =V2 （6t） =6衣一扃,.BE=BA- EA=4/-（6夜-技）=72 t - 272 PE/ OD, OD=PE, Z DOP=90 °, .四边形 ODEP是矩形，.DE=OP=t, DE/ OP,/ BED=Z BAO=45 :BE 2在 RtA DBE 中，cosZ BED= - = ,DE=BE,. .t = 72（V

11、21 -22）=2t -4.解得：t=4, OP=4, PE=6- 4=2, .,点 E 的坐标为（4, 2）.综上所述：当以 B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为, 5 10、（一，一）3 3（4,2）的中点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定 义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数 学思想，有一定的综合性.3.如图，已知 4ABC内接于。O, AB是。的直径，点 F在。上，且点 C 点，过点C作。的切线交AB的延长线于点 D,交AF的延长线于点 E.(1)求证：AE± DE；试题分析：(1

12、)首先连接OC,由OC=OA 卯=舁，易证得OC AE,又由DE切。O于 点C,易证得AE± DE;(2)由AB是。的直径，可得4ABC是直角三角形，易得 4AEC为直角三角形，根据IAE=3求得AC的长，然后连接 OF,可得OAF为等边三角形，知 AF=OA=AB,在4ACB 中，利用已知条件求得答案.OC=OA,Z BAC=Z OCAIVII IVIHL = H7Z BAC=Z EAQZ EAC之 OCA,.OC/ AE,DE切OO于点C,OCX DE,AEXDE;(2)解：.AB是。O的直径，.ABC是直角三角形， Z CBA=60 ,Z BAC=Z EAC=30 , 

13、6;AEC为直角三角形，AE=3,.AC=2?,连接OF,-. OF=OA, Z OAF=Z BAC+Z EAC=60 ,.OAF为等边三角形，II.af=oaIab,在 RtA ACB 中,AC=2y口, tan Z CBA= ?BC=2,.AB=4,.AF=2.考点：切线的性质.C作AC的垂线交AD4.如图，四边形 ABCD内接于。O,对角线AC为。的直径，过点 的延长线于点E,点F为CE的中点，连接 DB, DF.(1)求证：DF是。0的切线；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5V2, AD : DE=4 ： 1,求 DE 的长.【答案】见解析；(2)而【解析】分析：(1)直接利用直

14、角三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出Z FDO=Z FCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用 4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,进 而得出答案.详解：(1)连接OD. OD=CD, . . / ODO/OCD. AC为。O 的直径， / ADO/ EDC=90 °. 点 F 为 CE的中点，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切线.(2) AC 为。的直径，Z ADC=ZABC=90°. DB平分 / AD

15、C,/ ADB=Z CDB, . Ab = ?C，BC=AB=5>/2 在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE 1=，AC2=AD?AE. AD AC设 DE为 x,由 AD: DE=4: 1,，AD=4x, AE=5x,-100=4x?5x, . =75, -DE=75 .J F C点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出ac2=ad?ae是解题的关键.5.如图，CD为。O的直径，点B在。O上，连接BC BD,过点B的切线AE与CD的延长 线交于点 A, ZAEO /C, OE交

16、BC于点F.(1)求证：OE/ BD;2(2)当。的半径为5, sin DBA 一时，求EF的长.【答案】（1）证明见解析；（2） EF的长为一2【解析】 试题分析：（1）连接OB,利用已知条件和切线的性质证明；（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.CBO OBD 90 .试题解析：（1）连接OB,CD为。O的直径， CBD.AE是。的切线，.OB、OC是。的半径, E C, EABO ABD OBD 90 .OB=OC C CBO. CABD. OE/ BD.ABD CBO.ABD.一2.BD 2(2)由(1)可得 sin/ C= / DBA=,在 Rt OBE 中，sin

17、/ C = ,OC=55CD 5'BD 4 CBD EBO 90 CBDAEBO.BD CDBO EOEO2521. OE/ BD, CO=OD, .CF=FB.1. OF - BD 2.221 EF OE OF 一26.如图，PA、PB是。的切线，A, B为切点，/APB=60°,连接PO并延长与。交于C 点，连接AC BC.（I ）求/ ACB的大小；（II ）若OO半径为1,求四边形ACBP的面积.【解析】分析：（I ）连接AO,根据切线的性质和切线长定理，得到OA，AP, OP平分/APB,然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30。角的直角三角形的性质，得到/

18、 ACB的(n)根据30。角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角 形的面积即可.详解：(I )连接OA,如图，B.PA、PB是。的切线，OAXAP, OP平分/APB,/ APO=- / APB=30 ,2/ AOP=60 ；,.OA=OC,Z OAC=Z OCA,1 _/ ACO=- AOP=30 ,2同理可得/BCP=30,/ ACB=60 ；°(n )在 RtOPA 中， / APO=30 ,AP=百OA= ， OP=2OA=2, .OP=2OQ而 Sa opa= X 1 也213-Sa aoc= S pao=,24Saacf= 3,43.3，四边形

19、ACBP的面积=2Sa acp=.2点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质 是解题的关键.7.如图，AB,AB于点F,交 于点M,连接 求证：BC分另1J是。的直径和弦，点 D为BC上一点，弦DE交OO于点E,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于 H,且HC=HG连接BH,交。O MD, ME.(1) DE，AB;(2) / HMD=/MHE+/MEH.H【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）连接OC,根据等边对等角和切线的性质，证明/BFG=/ OCH=90即可；（2）连接BE,根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出 /

20、HMD=/BME,再根据三角形 的外角的性质证明 / HMD=ZDEB=Z EMB即可.详解：证明：（1）连接OC, * HC=HG,/ HCG=Z HGC; HC切。于C点, / OCB+Z HCG=90 ;,.OB=OC,/ OCB=Z OBC, / HGC=Z BGF, / OBC+/ BGF=90 ；/ BFG=90即 DE± AB;（2）连接BE,由（1）知 DEX AB, .AB是。的直径，二一二，/ BED=Z BME;四边形BMDE内接于OO,/ HMD=Z BED,/ HMD=/ BME； / BME>AHEM 的外角，/ BME=ZMHE+Z MEH,/ H

21、MD= Z MHE+Z MEH.点睛：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角 形的性质、内接四边形的性质.8.已知：AB是。0直径，C是。0外一点，连接BC交。0于点D, BD=CD连接AD、AC.(1)如图 1,求证：/BAD=/ CAD(2)如图2,过点C作CH AB于点F交。0于点E延长CF交。0于点G.过点作EHI± AG于点H,交AB于点K,求证AK=2OF；(3)如图3,在(2)的条件下，EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,t线段AL的长.【答案】(1)见解析(2)见解析 12、记 5【解析】试题分析：(1)由直径所对的圆周角等于9

22、0。,可得到结论；(2)连接BE.由同弧所对的圆周角相等，得到I BF=KF=-2得到/ADB=90°,再证明AB4 4ACD即/GAB=/BEG.再证KFEBFE,得到BK,由OF=OB-BF, AK=ABBK,即可得到结论.(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/ GAB=.先证CM垂直平分AG,得到AM=GM, Z AG(+ZGCM=90°,再证 / GAF=/GCM =.通过证明AG®4CMG,得到1BG=GM=-AG.再证明 /BGC=/MCG= .设 BF=KF=a,可信 GF=2a, AF=4a.2由 OK=1,得到 OF=a+1, AK=2

23、 (a+1) , AF= 3a+2,得到 3a+2=4a,解出 a 的值，得到 AF,八 一 , HK 1 AB, GF, FC的值.由tan a =tsd HAK=AK=6,可以求出 AH的长.再由AH 21tan GAF tan BAD -tan BAD tan BCF 一,利用公式 tan Z GAD= ，得到31 tan GAF tan BAD/GAD=45 ；则AL=72 AH,即可得到结论.试题解析：解：(1) .AB 为。的直径，ZADB=90°,，/ADC=90°. BD=CD, / BDA=Z CDA AD=AD,. AABD ACD,. / BAD=Z

24、CAD.(2)连接 BE. BG=BG , . . / GAB=/BEG.,.CU AB, ，/KFE=90： .EHXAG,Z AHE=Z KFE=90 ； /AKH=/EKF,Z HAK=ZKEF=Z BEF. . FE=FE, Z KFE=Z BFE=90 ； .-.KFEABF . BF=KF= L BK. OF=OB-BF, AK=AB-BK,AK=2OF.B D C-.AB=AC=CG,AAGBACMG,(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/ GAB=. AC=CG,点C在AG的垂直平分线上.OA=OG,点O在AG的垂直平分线上, .CM 垂直平分 AG, .-.AM=G

25、M, / AGO/GCM=90 ： .AFXCG,./AGC+/GAF =90/ GAF=/GCM = . AB 为。的直径，Z AGB= 90 ,°/AGB=/CMG=90 :1 BG=GMAG.2tanGF 1AF 2在 RtAGB 中，tan GAB tan / AMC=Z AGB= 90BG/ CM,设 BF=KF=a, tan BGF tanGB 1 . AG 2/ BGC=Z MCG= .BF 1 ,GF=2a, tan GAFGF 2AF=4a. OK=1, OF=a+1, AK=2OF=2 (a+1),AF=AK+KF=a+2 (a+1) =3a+2, ，3a+2=4

26、a,.a=2, AK=6, .-.AF=4a=8, AB=AC=CG=10, GF=2a=4, FC=CG-GF=6., HK 1、：(2 m) =6,解得:tan = =tanHAK= ,设 KH=m ,贝U AH=2m , AK=J./mZAH 2'm=6遍, . AH=2m=126 在 RBFC中,55tan BCFBF 1FC 3 ZBAD+ZABD=90 °, Z FBCZ BCF=90 °, . . / BCF=/BAD,tan BAD tan BCFtan GAF tanBAD.tan / GAD=1 tan GAF tan BAD1,/ GAD=45

27、 ；.HL=AH,AL= 2 AH= 12 1059.四边形 ABCD内接于。0,点E为AD上一点，连接 AC, CB, / B=/AEC. (1)如图1,求证：CE=CD(2)如图 2,若/B+/ CAE=120, / ACD=2/ BAG,求/BAD 的度数;(3)如图3,在(2)的条件下，延长 CE交。O于点G,若tan/BAC= 53 , EG=2求11AE的长.图3【答案】(1)见解析；(2) 600; (3) 7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到ZCED=ZCDE.(2)作 CH，DE 于 H,设/ECH=% 由(1) CE=CD 用 a 表示 / CAE / B

28、AC,而 /BAD=/BAC+/CAE. (3)连接 AG,作 GNXAC, AM，EG,先证明 / CAG=/BAC,设 NG=5石m,可得AN=11m,利用直角n AGM, n AEM,勾股定理可以算出 m的值并求出 AE长.试题解析：(1)解：证明：二.四边形ABCD内接于OO./ B+/D=180 ,° / B=/AEC, / AEG / D=180 ； / AEG / CED=180 ； / D=Z CED .CE=CD / ECD=2 a, / B= Z AEC, / B+Z CAE=120 ； / CAEnZ AEC=120 ；/ ACE=180 - ZAEC- / A

29、CE=60 °, / CAE=90 - / ACH=90 - ( 60 + a) =30 - a,/ ACD= / ACI+ / HCD=60 + 2 a, / ACD=2/BAC, / BAO30 +a,/ BAD=Z BAG / CAE=30 + a+30 - a=60 :(3)解：连接 AG,彳GN± AC, AM ± EG,期 / CED=/AEG, /CD田/AGE, /CED=/CDE/ AEG=ZAGE,.AE=AG,1.EM=MG=-EG=12，/ EAG=Z ECD=2 %/ CAG=Z CAD+Z DAG=30 - a+2a=Z BAC,5 3

30、. tan / BAO 丝J ,11 .tsi NG=5>/3m,可得 AN=11m, AG= J AG2_AM 2 =14m , / ACG=60 ；1- CN=5m, AM =8 /3 m , MG = JaG2 AM 2 =2m=1,1一 m=,2.CE=C=CG- EG=10m- 2=3,AE= VaM 2 EM 2 = =2+ (4而2 =7 .10.如图，AN是。M的直径，(1)若点 A (0, 6) , N (0,NB/x轴，AB交。M于点C.2) , /ABN=30,求点B的坐标;CD是。M的切【答案】（1） B （q依,2） . （2）证明见解析.【解析】试题分析：（1

31、）在RtA ABN中，求出AN、AB即可解决问题; （2）连接MC, NC.只要证明/MCD=9°0即可试题解析：（1）;A的坐标为（0, 6） , N （0, 2）,.AN=4, / ABN=30 ； / ANB=90 ；.AB=2AN=8,由勾股定理可知：NB=Jm 加工二4或， B （ 4曲,2） （2）连接 MC, NC. AN是。M的直径，/ ACN=90 ；/ NCB=90 ；在RtNCB中，D为NB的中点，八1.CD=-NB=ND,2/ CND=Z NCD, . MC=MN ,/ MCN=Z MNC, / MNC+Z CND=90 ； / MCN+Z NCD=90 ；

32、即 MCCD. 直线CD是。M的切线.y口Bo茁考点：切线的判定；坐标与图形性质.ii.解决问题：1如图，半径为4的e O外有一点P,且PO 7,点A在e O上，则PA的最大值和 最小值分别是 和.2如图，扇形AOB的半径为4, AOB 45°, P为弧AB上一点，分别在 OA边找 点E,在OB边上找一点F,使得VPEF周长的最小，请在图 中确定点E、F的位置并直 接写出VPEF周长的最小值； 拓展应用3如图，正方形ABCD的边长为4/2 ； E是CD上一点（不与D、C重合），CF BE于F, P在BE上，且PF CF , M、N分别是AB、AC上动点，求 VPMN周长 的最小值.图

33、图图0【答案】（1） 11,3;（2）图见解析，VPEF周长最小值为4J2； （3）4J104J2.【解析】【分析】1根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3;2作点P关于直线OA的对称点P1 ,作点P关于直线OB的对称点P2 ,连接P1、P2 ,与OA、OB分别交于点E、F,点E、F即为所求，此时 VPEF周长最小，然后根据等腰直角 三角形求解即可；3类似2题作对称点，VPMN周长最小 PP2,然后由三角形相似和勾股定理求解.【详解】解：1如图，Q圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过

34、圆心的直线OP上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离.PA 的最大值 PA2 PO OA2 7 4 11,PA 的最小值 PA1 PO OA1 7 4 3,故答案为11和3;2如图，以O为圆心，OA为半径，画弧 AB和弧BD,作点P关于直线OA的对称点P ,作点P关于直线OB的对称点P2,连接R、P2,与OA、OB分别交于点E、F,点E、F即为所求.连接 OPOP2、OP、PE、PF,由对称知识可知，AORAOP ,BOP2BOP , PE RE , PF P2FAOPiBOP2AOP BOP AOB 45o,o o oPOP2 454590 ,VPOP2

35、为等腰直角三角形，PP2 扬OR 4>/2,VPEF 周长 PE PF EF P1E P2F EF PP24y2 ,此时 VPEF 周长最小. 故答案为4 2；3作点P关于直线AB的对称P,连接AR、BP,作点P关于直线AC的对称F2, 连接Pi、P2,与AB、AC分别交于点 M、N.如图 由对称知识可知， PM PM , PN P2N , VPMN周长PM PN MN PM1 P2N MN PP2 , 此时，VPMN周长最小 PP2.由对称性可知， BAR BAP,EAP2EAP, AR AP AP2,BAPEAP2BAP EAP BAC 45oPAP245o 45o 90°

36、,VRAB为等腰直角三角形，VPMN周长最小值PP2 J2AP ,当AP最短时，周长最小.连接DF.QCF BE ,且 PF CF , ° PCPCF 45°, CF。2Q ACD 45°,PCF ACD , PCA FCD ,AC PCCDCF在 VAPC 与 VDFC 中，= PC, PCA FCDVAPC s VDFC ,AP AC -DFAPCD2DFQ BFC 90°,取 AB 中点 O.点F在以BC为直径的圆上运动，当 D F、。三点在同一直线上时， DF最短.DF DO FO JOC2 CD2 OC J（2点）2 （4扬2 2戊 2M 2r

37、2 ,AP最小值为AP 而F此时，VPMN周长最小值PP2 eAP 忑应DF 42 72 2710 272 4阮 4衣.9【点睛】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键.12.如图，AB是e O的直径，弦CD AB于点E,过点C的切线交AB的延长线于点（2）连接 BC,若 BCF 30, BF 2,求 CD 的长.【答案】（1）见解析；（2） 2，3【解析】【分析】（1）连接OD,由垂径定理证 OF为CD的垂直平分线，得 CF=DF / CDF=/ DCF,由 /CDO=/ OCD,再证 ZCDO +/ CDB=Z OCD+/ DCF=90,° 可

38、得 ODDF,结论成立.（2）由/OCF=90°, /BCF=30：得/OCB=60°,再证 A OC的等边三角形，得 ZCOB=6O°,可 得/CFO=3O,所以FO=2OC=2OB FB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，解直角三角形可 得CE再推出CD=2CE.【详解】（1）证明：连接OD2 .CF是。O的切线/ OCF=90 °3 / OCD+Z DCF=90 ° 直径AB，弦CD，CE=ED即OF为CD的垂直平分线.CF=DF / CDF玄 DCF .OC=OD,/ CDO=Z OCD / CDO +/ CDB之 OCD+Z

39、DCF=90 ODXDF .DF是。O的切线(2)解：连接ODZ OCF=90, °Z BCF=30 °/ OCB=60 ° -.OC=OBA OC囱等边三角形,/ COB=60 °/ CFO=30 °FO=2OC=2OBFB=OB= OC =2在直角三角形 OCE中，/ CEO=90 / COE=60sin COE .CF . 3.CD=2 CFCE 吏OC 22.3【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形.解题关键点：熟记切线的判定定理，灵活运用含有 30。角的直角三角形性质，巧解直角三角形.13.如图，RtABC中，/B=90

40、°,它的内切圆分别与边BCCA、AB相切于点D、E、F, (1)设 AB=c, BC=a, AC=b证：内切圆半径 r= 1 (a+b-c)2(2)若AD交圆于P PC交圆于H, FH/BC,求/ CPD;(3)若 r=3 而,PD= 18, PC=27万.求 ABC各边长.【答案】（1）证明见解析（2） 45。（3） 9M, 12/0,1500【解析】【分析】（1）根据切线长定理，有 AE=AF, BD=BF, CD=CE易证四边形 BDOF为正方形， BD=BF=g用r表示AF、AE、CD CE,禾用AE+CE=AC等量关系列式.（2） /CPD为弧DH所对的圆周角，连接 OD,

41、易得弧DH所对的圆心角/ DOH=9 0,所以 / CPD=45 ,°（3）由PD=18和r=3 J10,联想到垂径定理基本图形，故过圆心 。作PD的垂线OM,求得 弦心距OM=3,进而得到/ MOD的正切值.延长 DO得直径DG,易证PG/ OM ,得到同位 角/G=/ MOD,又利用圆周角定理可证 ZADB=Z G,即得到/ADB的正切值，进而求得 AB.再设CE=CD=x用x表示BC、AC,利用勾股定理列方程即求出x.【详解】解：（1）证明：设圆心为 O,连接OD、OE、OF, 。分别与BC、CA、AB相切于点 D、E、F ODXBC, OE±AC, OFXAB, A

42、E=AF, BD=BF, CD=CE / B=ZODB=Z OFB=90 ° 四边形BDOF是矩形 .OD=OF=r矩形BDOF是正方形.BD=BF=rAE=AF=AB-BF=c-r CE=CD=BC-BD=a-r .AE+CE=AC c-r+a-r=b(2)取FH中点O,连接OD1. FH/ BC/ AFH=Z B=90 °AB与圆相切于点F,，FH为圆的直径，即 O为圆心1. FH/ BC/ DOH=Z ODB=90 °/1 ,/ CPD= / DOH=452(3)设圆心为 O,连接DO并延长交。于点G,连接PG,过O作OMLPD于M / OMD=90

43、76; .PD=18 .DM= 1PD=9 2BF=BD=OD=r=3., 10 , -OM= 1yOD_DM 2 = J(3而)2 92 = 790 81 = 3tan / MOD= = 3OM,. DG为直径 / DPG=90 ° .OM/PG, /G+/ODM=90°/ G=Z MOD / ODB=Z ADB+Z ODM=90 °/ ADB=Z G/ ADB=Z MODtan / ADB=AB=tan / MOD=3 BD.AB=3BD=3r=9,10AE=AF=AB-BF=9/T0 - 3 >/10 = 6 710设 CE=CD=x 则 BC=3屈+

44、x, AC=6折 +x .AB2+BC2=AC2(9 y1 )2 +(3 Vi0 +x)2= (6 iA0 +x)2解得：x=9 ,10.BC=12710, AC=15710. .ABC各边长 AB=9历，AC=15V10, BC=12>/106 口C却【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定 理.切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股 定理作为等量关系列方程解决是常用做法.14.如图所示，ABC内接于圆O, CD AB于D；(1)如图1,当AB为直径，求证： OBC ACD;(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接 OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明, 不成立说明由；(3)如图3,在(2)的条件下，作 AE BC于E,交CD于点F,连接ED,且AD BD 2ED,若 DE 3, OB 5,求 CF的长度.，一 八，、-141)见解析；(2)成立；(3) 一 5(1)根据圆周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根据三角形内角和定理求出即 可；(2)根据圆周角定理求出 /BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；(3)分别延长 AE、CD交。于H、K,连接 HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延长