LMS自适应预测实验报告

1、LMS自适应线性预测实验报告一、实验要求首先由二阶AR模型产生自适应滤波器的输入信号 x(n),公式如下:u(n) aiu(n -1) a2u(n -2)=v(n)其中v(n)为方差为仃；的零均值高斯白噪声，模型参数ai与a2满足a； < 4a2。二阶AR模型图 如下：二阶AR模型框图得到自适应滤波器的输入信号 x(n)后，通过二阶线性预测滤波器进行自适应线性预测，其框图如下:x(n)自适应算法自适应线性滤波器采用LMS算法进行自适应线性预测，设第 n次预测的权值向量 W(n) =w1(n),w2(n)H ,第n次预测的y(n) =WH(n -1)X(n)H输入数据向重 X(n) =x(

2、n - 1),x(n - 2)x(n)的预测值y(n)经滤波过程产生，其公式如下:误差信号计算公式如下：e(n) =x(n) - y(n)权值更迭公式如下：W(n)=W(n -1) 2e(n)X(n)其中k为迭代因子。实验要求如下：(1)令ai =-0.195e2 =0.95户2 =0.0965户2 =1 ,迭代因子N、数据长度N自定，给出LMS自适应预测的仿真结果，结果用权值 W1(n),W2(n)变化曲线以及误差平方e2(n)变化曲线 表示，观察其收敛情况，分别进行单次预测及100次预测取平均值两次实验。(2)条件与(1)相同，改变迭代因子N的值，分别进行单次预测及 800次预测取平均 值

3、两次实验，观察其收敛情况。(3)条件与(1)相同，但改变特征根扩散度九max/7' ,九max/九min = (1 -a1 + a?)/(1 + a1 + a?),可通过改变a1，a2的值实现，分别进行单次预测及100次预测取平均值两次实验，观察其收敛情况。二、理论分析LMS算法的收敛是统计意义下的收敛问题，分别讨论其均值收敛及最小均方误差收敛。1 .均值收敛由权值更迭公式可进行如下推导：W(n)=W(n -1) 2%(n)X(n),*H= W(n-1) 2X(n)d (n) - X (n)W(n -1)=I -2JX(n)XH(n)W(n-1) 2JX(n)d (n)EW(n) =I

4、 -2EX(n)XH(n)EW(n-1) 2EX(n)d*(n)=I -2RxxEW(n-1) 2“设k时刻权值误差向量 W(k) =W(k) -Wopt,则W(k) =I -2RxxW(k -1) 2%d -Wopt= W(k -1) -Wopt -2RxxW(k -1) 2%= W(k -1) -2RxxW(k -1) Wopt 2“ <W(k-1)-2RxxW(k-1) 一2(RxW°pt %) 由维纳-霍夫方程RxxWpt ="知，2R(RxxW°pt -")=0,所以有W(k) =I -2RxxW(k -1)因为Rxx为Hermite矩阵

5、，所以R。可分解为Rxx =6A0H ,其中A = diag(?”九m ) , %为Rxx的特征值，i =1,2,.M ,设qi为特征值为对应的特征向量。所以有W(k) =I -2", ”W(k -1)又因为e为酉矩阵，I =eeH ,所以有W(k) - "I -2KuHW(k -1) 一'，,一令w (k) =e W(k),则 ''W (k) =I -2J W (k -1) 一'一'Wi(k) = (1 -2L i)Wi(k -1) 一. 一'Wi (k) =(1 -2Ji)kW0(k -1) ' 对于所有的 i =

6、1,2,.M ,如果 |1-2%|<1,当 kT s,Wi(k)T 0,W(k)T Wopt.所以LMS算法均值收敛的条件为0 < N <1/儿max ,其N值越大，收敛速度越快。2 .均方误差收敛由滤波公式及误差公式，得：e(n) = d(n) -WH (n - 1)X(n)= d(n) -WoHtX(n) -WH(n-1)X(n)-WoptX(n)一H =e0(n) -W (n -1)X(n)其中e0(n)为第n次预测权值最优时的预测误差。99H1-1H*Ee2(n) = Ee：(n) EW (n -1)X(n)X H (n)W(n - 1) - 2EW (n - 1)X

7、 (n)e0 (n)H=、opt EW (n -1)RxxEW(n -1)、-opt ex当nT吗&xT 0,Ee2(n)T瓦伏，LMS算法的均方误差收敛于最优预测权值的最小均方误三、实验结果及分析1 .单次预测与多次预测取平均结果对比取为 = 0.195,a2 =0.952：=0.0964。j =1尸=0.02,分别进行单次预测及100次预测对 其权值和均方误差取平均，对比实验结果。LM5篡法权值收敛图100200300400500600顼测次数N多次W1多次W2单次W1单次W2WoptlWopt28 d 2O 1-.42 O 2 4 6 口。 4 4 旬W长妈娶LMS算法权值收敛图

8、单次LMS平方误差收敛图W-K朗叫上计多次LMS平方误差收敛图曾测次豹H由图可见，单次LMS算法的权向量不是收敛于最优值的， 而是在最优值附近漂移，其平 方误差也不是收敛的，而是在最优预测平方误差附近漂移，这是LMS算法每次迭代不严格按 照真实梯度方向收敛所引起的。而多次LMS取平均后，这种随机性得到了抑制，可以看到其权值收敛于最优值。2 .不同收敛因子N值预测结果对比取 ai = 0.195,a2 =0.9522 = 0.0965,仃2 = 1 ,再分别取 口 = 0.005, 口 = 0.021=0.05 ,对比 实验结果。LMS算法极值收颔图0100200300400500600预测次数

9、NQ2 4 Q Q.4,2 o.H0 =0.005权值收敛图W-K型黑Ll恺算法权值收触图1002。0 3QQ 4005006Q0预测次数Nw w w W 1 2 欠欠欠欠mg ;二 J Boi 多多里里w W=0.05权值收敛图二三0.02权值收敛图三长埋罂预测次数N条度LM5篁法平方误差收敛图一血AIk- mJll1:11 声！，一一3v ：iii,ii». lu.Hn.hi . -ilL b IT V! V!n"i,i100200300400500600预测次数N0 =0.005平方误差收敛图卜=0.02平方误差收敛图fab*1 .» .L.一一L一一jL_

10、一L_i1 . .11:ih ： .V.：闻拗岫他1gli扁Ibi11lirriirBdtl1li111.1.1多次山占篁法平方误差收敛图1002003004005006。口预测次数N le 三 5545 3525 15。.40,.30.20.10,O0 0 0-001:X一一n1多次LM&莫法平方误差收敛图100 现 U WQ 400500 6QQ诵测次数N3O15N =0.05平方误差收敛图通过观察多次LMS权值收敛曲线及平方误差收敛曲线可以比较清晰地看见，收敛因子N越大，收敛速度越快；通过观察单次 LMS权值收敛曲线可见，收敛因子N越大，预测权值在 最优权值附近的波动就越大，这一

11、点也可以从平方误差曲线收敛特点中观察到。可见， LMS 算法的收敛速度与失调波动之间存在矛盾，设计收敛因子 N时需要折衷考虑。3 .不同特征根扩散度九max/%n预测结果对比取 a2 =0.95产：=0.0965产：=1,N = 0.02 ,分别取 a1 =-0.195,-1.65,-1.9 ,即分别取%x /in = 1.222 12 77,对比实验结果Ll但算法权值收触图O600300400预测次数N/人min =12权值收敛图%ax /%in =1.222权值收敛图4<幽磐VVWWW1 2欠-K欠欠m N0口多多单单w WLl但算法权值收触图1。02 州 3QQ 400500 和

12、Q预测次数N/九min = 1.222平方误差收敛图%ax/九min =77权值收敛图1 .» .一11 . .1I4fd11IIqqii>riird11li11.1.1多次山占篁法平方误差收敛图1002003004005006。口预测次数N5 5 4 O.L4O.OO 5 3 5 2 5 1 5 J0.20.10,0 o o o O E-K岷唯Kzt.血一.11 1 1 - 11 1 i "队_ J一、1alq jj,F. 4" * 一 r J . 1 31* J _- rfi . J I . - -. . - - n , I 1" , 多次LM

13、B算法平方误爰收敛图100200300400500S00方测次数Nmax/%n =12平方误差收敛图53 O.52O2 5 1 &O-1O. ，一、长朋眶K卦O 5 AV O 0.多次LMS算法平方误差收敛图10020030040050060。预测次翻Nkx/%n =77平方误差收敛图由权值收敛图可见，改变Kmax/*n,最优权值发生改变，由平方误差图可见，九max /九min 增加，最优预测下的均方误差减小，相应的 LMS算法平方误差也减小，证明波动减小。从两种收敛图中都可以看出，儿max /%n越大，越远离1，收敛速度越慢，当九max "min = 77 时甚至600个点

14、都没有收敛。123456891011121314151617IC ig202122232i2S2627232930附页:Matlab程序代码clc - clear;- elf;%参数设置- al=-0, 195; 为您(2模型参数- aO. 95 : %AR模型参数- Pv=0.0965'模型噪声功率- k=800；断式稔次数- 胆2;蛉虑波器抽头系数- u=0. 05;为收敛因子- N=600： %翱据线度岛初始化- 职(M, 1)国虑疲器输入数据矢量- 产改上。£ JN) :看林则过程的通波输出- zerostX)/通波器也欠迭代自适应改变的权值- W=zeras (N,

15、M):融次试蛉平均权值- e=zer<js (I】N) ：%预测误差- Er ”8 U7 N);她次近隘平均误差- 取x=zeros 5, X);髡漉波器输入数据自相关矩P5- ntzeros (13 1):蛇虑波器输入数据与手京则值互相美矩阵%k次试验取平均- Hf or i=l ：k黑由AR模型产生输入数据- v=wgn( lj N+2, Pv) /产生高斯白噪声丫( N+2个数据)v=vmean(v)； x=fliter(1, 1, alj a2j v) :%白噪声u激励线性系统产生输入数据xx=x-jnean<y：313233343536373839404142434445

16、464748495051525354555657585960616263646566676869707172x=x/std(x) :%令输入信号功率为1%自适应预测的迭代过程for j=l:N丫%计算Rxx与rxdRxx (h l)=Rxx (h l)+oc(j+M) A2;Rxx (1, 2)=Rxx (1, 2)+x(j+M) *x (j+M-1):rxd(l, D=rxd(l, l)+x(j+M) *x(j+M-l):rxd(2, l)=rxd(2, l)+x(j+M)*x(j+M-2)：%自适应预测迭代X=x(j+M-1 :-1: j)' ：%滤波器输入前两次的输入数据y(j)

17、=”(j, :)*X:%波波过程(此处默认初始权值为0 0) e(j)=x(j+M)-y(j) ;%产生误差信号if j=Nbreak:endv(j+L ：)=w(j, :)+2*u*e(j)*X' ：速波器权值更迭 end牝W，;k次试验权值累加E=E+e. 2：%k次试聆预测误差累加endRxx(2,2)=Rxx(b 1):Rxx(2» l)=Rxx(l,2) ：Rxx=Rxx/N/k;rxd= rxd/N/k;T=eig(Rxx) :umax="max(I) ;spread=max(T)/min(T) :%求特征值及其扩散度wopt=Rxxrxd：%求近似的最

18、优枚值Jmn=l-rxd, *wopt:W=W/k;%k次试验平均权值E=E/k:%k次试验平均误差 %LM5自适应预测结果圉- figure(1);hold on;- plot (% ' b')淳画多次平均权值收敛图- pllt (*' r') :%画单次权值收敛图- plot (0, N, vopt (l)j vopt k')：plot (0, N, wopt (2)j vopt (2)/ k'):- xlabelC预测次数M ) :ylabel('权值大小')1设止(“脏算法权值收敛图)：- legend('多次-1,J 多次W2'单次J 单次W2JWoptl'Wopt2')：grid on;hold off ;- figure(2);hold on