复变函数67拉普拉斯方程边值问题ppt课件

1、第七节 拉普拉斯方程的边值问题一、问题的提出二、定理三、运用举例四、小结与思索一、问题的提出一、问题的提出问题问题: 调和，并且在区域的边境上满足知条件调和，并且在区域的边境上满足知条件. .1. 对于简单区域可从某些熟知的解析函数直接求解对于简单区域可从某些熟知的解析函数直接求解.2.对于复杂区域可经过一适当的共形映射将其变对于复杂区域可经过一适当的共形映射将其变为简单区域为简单区域, 再求解再求解.处理方法处理方法:求一个二元实变函数，使其在知区域中求一个二元实变函数，使其在知区域中二、定理二、定理是拉普拉斯方程是拉普拉斯方程如果如果),(yx 的的解解，02222 yx 的的函函数数，由

2、由一一共共形形映映射射变变成成一一个个那那末末当当vuyx,),( 拉拉斯斯方方程程这这个个函函数数仍仍将将满满足足拉拉普普. 02222 vu 拉普拉斯拉普拉斯证证 ,),(),()(为一共形映射为一共形映射设设yxivyxuzfw ,),(的函数的函数变成变成它把它把vuyx ,xvvxuux 则则2222xuux ,222xvxvvxuvu 22xvv xuxvvuxuu 222yuyvuvyuuyuuy 2222222,222yvyvvyuvu 22yvv 以上两式相加以上两式相加,化简得化简得,)(222222222 vuzfyx 同样可得同样可得: , )( 为为共共形形映映射射因

3、因为为zfw , 0)( zf所所以以,02222时时当当 yx . 02222 vu 证毕证毕例例 一块金属薄板吻合于一块金属薄板吻合于z平面中的第一象限平面中的第一象限, 上上下均绝缘下均绝缘, 因此热流严厉限制在平面内因此热流严厉限制在平面内. 假设边假设边界上的温度分布如图示界上的温度分布如图示, 求金属板上定常的温度求金属板上定常的温度分布分布.xy01 T1002 T01 T1000 T1三、运用举例三、运用举例解解 所求的定常温度分布所求的定常温度分布T必满足拉普拉斯方程必满足拉普拉斯方程, 02222 yTxT且满足第一象限边境上的条件且满足第一象限边境上的条件.中的第一象中的

4、第一象平面平面将将用用 2 222zixyyxzw 限映射成限映射成 w平面中的上半平面平面中的上半平面.uv01 T1000 TO1002 T1 1 w),(vuw4 w1 0 4w在实轴上在实轴上4的右边的右边:, 0)4arg(0 w, 0)1arg(1 w ,41之之间间时时与与在在 w,1的的左左边边时时在在 w,)()(11120010 TTTTTT 所所以以),1arg()()4arg()(112010 wTTwTTTT或或当当w取实数时取实数时, , 0, 10 , 10 获得边值获得边值. )1ln()()4ln()(112010 wTTwTTiT的虚部的虚部, 可看作是函数

5、可看作是函数 此函数在上半平面处处解析此函数在上半平面处处解析.)0100()1000(110010 T所所以以),( 10001 .1tan,4tan,01010 uvuv 即为拉普拉斯方程在即为拉普拉斯方程在w平面中的解平面中的解.变形后得变形后得.433)(10100tan22222 yxyxxyT原问题的解为原问题的解为 0,arctan0,arctan100BBBBT.433)(1022222 yxyxxyB其中其中四、小结与思索四、小结与思索 拉普拉斯方程的边值问题常见于许多物理拉普拉斯方程的边值问题常见于许多物理运用之中运用之中. 放映终了，按放映终了，按EscEsc退出退出. .拉普拉斯资料Pierre-Simon LaplaceBorn: 23 Mar