弹性力学板弯曲

1、 板分成以下三种类型：薄板：（1/801/100）t/b（1/51/8）；薄膜：t/b（1/51/8）。xyzt/2t/2中面薄板弯曲n 板所承受的荷载： 作用于中面的面内载荷。弹性力学平面问题 垂直于中面的横向荷载。板产生弯曲，中面弯曲将成为一个曲面， 垂直于中面的位移称挠度w。小挠度弯曲问题n 薄膜： 抗弯的能力很低，可认为抗弯刚度为零 横向荷载由板面内的轴向力和板面内的剪切力来承担n 厚板： 内部任意点的应力状态与三维物体类似，难以简化，应按三维问题处理n 薄板 可以引进基本假定，使问题简化。n薄板基本假定（1）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中面保持垂直；（2）中

2、面法线变形后既不伸长也不缩短；（3）中面各点没有平行于中面的位移。n 假定的推论 假定（2）（与梁弯曲问题的互不挤压假定相似） z=0 w=w(x,y) 0zwz 假定（1）（与梁弯曲问题的平面假定相似） zx=zy=0， 0zuxwx0zuywyyxfxwzux,1yxfywzuy,2 假定（3）f1(x,y)=0， f2(x,y)=0 ABABwzxuOKKxwzuxywzuy22xwzxuxx22ywzyuyyyxwzyuxuxyxy22n 薄板的应变x=Kxz yKyz xy2Kxyzz = yz = zx 0 xyzabced22xwxK22ywyKyxw2xyKn 薄板的应力分量

3、( x、y、xy）通过平面问题的物理方程由应变求出( z、zx、zy）则必须由三个平衡微分方程求解给出 应力分量（z、zx、zy）相对面内应力分量（x、y、xy）很小 它们对应的应变分量z、zx、zy可略去不计 但它们本身由于是平衡所必须的而不能忽略不计。 22ywxwEz2221x22xwywEz2221yyxwEz21xy特点： 均沿厚度呈线性分布，在中面处为零， 在板的上、下板面达到最大。n 面内应力分量（x、y、xy）n 面外应力分量 使用平衡条件求出 考虑薄板上、下板面的边界条件 解得横向剪应力 特点：横向剪应力zx、zy沿板厚度方向呈抛物线分布， 在板的上、下板面为零，在板中面最大

4、yxzyxxzxxyzyzyxy02tzzx02tzzywxtzE2222412zxwytzE2222412zy利用z方向的平衡条件求zzyzxzzFyxz将z方向所有力作用等效移置到板面上，02tzzqtzz2 222ttztzzdtFTq板上、下表面的边界条件变成wztvEzz22224)1 (2),(34)1 (243223yxfwzztvEtzwtztz-vEt4223121)1 (6z特点： z沿板厚度方向呈三次方变化 最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。02tzz利用板下面的边界条件 ， f(x,y)=0利用板下面的边界条件 ，得：qtzz2qwEt423)1 (12)1 (1

5、223vEtDD是板的弯曲刚度，板厚的三次方成正比，与弹模成正比，与梁的弯曲刚度类似 qwD 4n 薄板的平衡微分方程 n 薄板的柱面弯曲 矩形板一个方向（比如y方向）足够长， 分布荷载沿y方向不变化，只沿x方向变化，即q=q(x)时，则 w=w(x) 板弯曲成柱面，取单位宽度的窄条（梁）分析。平衡方程退化为 与梁的平衡微分方程相比，多了一项（12）。 其原因是：板单位宽度的窄条是处于平面应变状态（y=0）EIxqdxwd)(1244xyzxzxyyxyzyx22ttxxdzzMdzzMxyttxy22dzQxzxtt22dzzMytty22dzzMyxttyx22dzQyzytt22n 薄板

6、横截面上的内力 剪应力互等定理 xy = yx， Mxy=Myx 正负规定：在z为正，若应力分量为正，则由此合成的内力为正 内力是作用在每单位宽度上的力，例如： 弯矩和扭矩的量纲应是力，而不是通常的力长度。xyzMxyMyxMyQMxxQy)(2222ywvxwDMx)(2222xwvywDMyyxwDMMyxxy21wxDQx2wyDQy2n 内力由挠度表示 xxzMt312yyzMt312xyxyzMt312yyzQztt)4(6223xzxQztt)4(6223)1 ()21(22ttqzzz（x，y，xy）qb2/t2 （xz，xz y）qb/t zqn 应力与内力的关系 0qyQxQ

7、yx0 xyxxQyMxM0yyxyQyMxM02222qyMyxMxM2yxy2xn 由内力表示的平衡微分方程 n 薄板问题求解D4w=q 侧边边界条件 xyzABC 侧边边界条件由圣维南原理满足 将分布剪力和分布扭矩合成为分布剪力AB(M ) y xA(M ) y x Bd xM y xd xdxxMMyxyx 可用2个大小相等为Myx，方向相反，相距dx的垂直力代替 可用2个大小相等为 ，方向相反，相距dx的垂直力代替 dxxMMyxyxxMQVyxyy此外，还有两端未抵消的集中剪力 RA(Myx)A， RB(Myx)Bn 分布剪力和分布扭矩合成OABCxyzRARBR C最终角点B出现

8、未抵消的的集中力应是RB(Myx)B(Mxy)B2(Myx)ByMQVxyxx及两端的集中力 RB(Mxy)B，RC(Mxy)C 2333)2(yxwvxwDVxyxwvywDVy2333)2()(1 (22yxwvDRBn 侧边边界条件 自由边、简支边、固定边、角点 用挠度表示yxabABCO（1）自由边 弯矩和合成剪力为零，因此， 在x=a上， Mx=0，Vx0， 在y=b上，My=0，Vy0， 02222axywxw0)2(2333axyxwxw02222byxwyw0)2(2333byyxwvyw（2）简支边在y=0的简支边界上，挠度和弯矩应为零 (w) y=0=0， (My) y=0

9、(w) y=0=0表示沿x轴，w无变化，必然有 ， 简支边的边界条件可写成 (w) y=0=0 002222yxwyw00yxw002y2xw0022yyw（3）固定边在x0的固定边上，挠度和转角为零，故边界条件可写成 (w) x=0=0 （4）角点条件 板边分布扭矩代换为分布剪力后，在角点出现一个集中力，这个集中力就是支座对板角点的集中反力。 对于无支座支撑的角点，例如图中的两自由边界的交点B，则 RB =2(Myx)x=a, y=b = 0，即：00 xxw02by a,xyxw 例7-1：受均匀分布荷载四边简支板的Navier解解：设挠度为三角级数形式 bynaxmAwmnsinsin它

10、能满足所有的边界条件，即0)(022xxw (w) x=a=0 0)(22axxw (w) y=0=0 0)(022yyw (w) y=b=0 0)(22byyw(w) x=0=0bynaxmcqmnsinsin利用三角级数的正交性，求得 abmndxdybynaxmqabc00sinsin4代入方程22w=q22222400)(sinsin4bnamabDdxdybynaxmqAabmn )cos1)(cos1 (20nmmnabq .5 , 3 , 1.5 , 3 , 12222260)(sinsin16mnbnammnbynaxmDqwbynaxmbnammnbnamDqMmnx sin

11、sin)(16.5 , 3 , 1.5 , 3 , 122222222260bynaxmbnammnbnamqMmny sinsin)(16.5 , 3 , 1.5 , 3 , 122222222240 .5 , 3 , 1.5 , 3 , 12222240)(coscos116mnxybnambynaxmabqM在板的中心x=a/2，y=b/2处，挠度最大，弯矩Mx和My最大，而Mxy为零；在板边Mx和My为零，而Mxy最大。例7-2：假定矩形扳支承与承受荷载如图7.10，试写出挠度表示的各边边界条件0)(0 xw 0)(0 xxw 解：1) 固定边OA的边界条件是：yxzABCObaM0q

12、2）简支边OC的边界条件是：(w)y=0=0 (My)y=0002222MxwywDy3）自由边BC： (Mx)x=a=0 (Vx)x=a=0 02222axywxw 0)2(2333axyxwvxw 4）两自由边的交点B(w)x=a,y=b=0 (2Mxy) x=a,y=b=RB是B点支座的被动反力。 自由边AB：(My)y=b=0 (Vy)y=b = q02222bxxwywqyxwywDby2333)2(应用变分原理解薄板弯曲问题 板的应变能是 dxdydzUxyxyyyxx21dxdyxywywxwywxwDU2222222222221222将体积力全部归入薄板上面的面力q，因此，外力

13、势能是qwdxdyV设挠度的近似函数表达式为kkwcw式中wk是给定函数、ck是待定常数，它满足所有的位移边界条件。根据变分原理，则可得：dxdyqwcUkk若所设的挠度近似函数除满足所有位移边界条件外，还满足所有力边界条件，则可以直接使用Galerkin方法计算薄板弯曲问题，04wdxdyqwD将式（7.26）代入04dxdywqwDm 解此方程，可求出待定常数wm。应用Galerkin方法解薄板弯曲问题 kkwcw例7-3 边长分别为a和b的矩形薄板，前、后两对边为简支，左边固定， 右边自由，受均布荷载q作用，使用变分原理求板的挠度w。yxzObaq解：本问题的位移边界条件为 (w)x=0 = 0 ， (w)y=0 = 0， (w)y=b = 00)(0 xxw 注意，用挠度表示的弯矩为零和剪力为零的条件，都属于力边界条件。选取