高中数学必修总复习

1、确定性确定性互异性互异性无序性无序性列举法列举法描述法描述法图示法图示法区间法区间法属于属于不属于不属于 数集数集自然自然数集数集正整正整数集数集整数整数集集有理有理数集数集实数实数集集复数复数记法(4)常用数集的记法常用数集的记法NNZQRC(5)集合的分类：集合的分类：_、_、_.有限集有限集无限集无限集空集空集(1)子集、真子集及其性质子集、真子集及其性质 对任意的对任意的xA，都有，都有xB，则，则A_B(或或B_A). 若若AB，且在，且在B中至少有一个元素中至少有一个元素xB，但，但x A，则，则A_B(或或B_A). _A；A_A； AB，BCA_C. 若若A含有含有n个元素，则

2、个元素，则A的子集有的子集有_个，个，A的非空的非空子集有子集有_个，个，A的非空真子集有的非空真子集有_个个.2. 集合间的基本关系集合间的基本关系(2)集合相等集合相等 若若AB且且 BA，则，则A_B.2n2n-12n-2 全集为全集为U，集合，集合A的的补集为补集为_(1)集合的集合的交集、并集、补集的定义交集、并集、补集的定义集合的并集集合的并集集合的交集集合的交集集合的补集集合的补集符号符号表示表示图形图形表示表示意义意义x|xA且且xB UAABABx|xA或或xB UAx|xU且且x A3. 集合的运算及其性质集合的运算及其性质(1);(2);(3);AAAAAABBA 1)

3、并集性质并集性质(2)(1);(3);AAAABBAA 2) 交集性质交集性质(4);AAB ABB (4),;ABA ABB (5).ABABA (5).ABAAB (2) 集合的运算性质集合的运算性质3) 补集性质补集性质(1) UU=(2) U=U(3) U( UA)=A(4) A( UA)=(5) A( UA)=U(6) U(A B)=( UA) ( UB)(7) U(A B)=( UA) ( UB) 若集合若集合Ax|ax23x20的子集只有两个，的子集只有两个，则实数则实数a_. 已知集合已知集合S0,1,2,3,4,5，A是是S的一个子集，当的一个子集，当xA 时，若有时，若有x

4、1 A，且，且x1 A，则称，则称x为为A的一个的一个“孤立元孤立元 素素”，那么，那么S中无中无“孤立元素孤立元素”的的4个元素的子集共有个元素的子集共有_ 个，其中的一个是个，其中的一个是_ 忽略空集致误忽略空集致误 1.空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解，防止漏解. 2.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系属关系；二是集合与集合的包含关系. 3.解答集合题目解

5、答集合题目,认清集合元素的属性认清集合元素的属性(点集、数集点集、数集或其它情形或其它情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件和化简集合是正确求解的两个先决条件. 4.Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心点是实心还是空心. 5.要注意要注意AB, ABA, ABB, UAUB,A( UB) 这五个关系式的等价性这五个关系式的等价性.4重要结论重要结论(2) ABAAB AB(4)六个关系式的等价性六个关系式的等价性 (A, BU)(3)()

6、()AABAAAB AA (1) AABB ABA ( UB)( UA)( UA)B=UA( UB)= (5) 易混的解集易混的解集x| y=f(x)定义域定义域值域值域点集点集方程的解集方程的解集不等式的解集不等式的解集y| y=f(x)(x,y)| y=f(x)x| f(x)=0 x| f(x)0例例1.已知已知:=x|y=x2- -2x+1,B=y|y=x2- -2x+1, C=x|x2- -2x+1=0, D=x|(x- -1)21,B2,1,1,2，则下，则下列结论中正确的是列结论中正确的是( ) AAB2，1 B( RA)B(，0) CAB(0, ) D( RA)B2，1练一练练一

7、练例例2.设设A=x|x4或或 x- -2, B=x|ax0，对应关系，对应关系f：对：对P中三角形中三角形 求面积与集合求面积与集合Q中元素对应中元素对应 (2)已知映射已知映射f：AB.其中其中ABR，对应关系，对应关系f：xyx22x，对于实数，对于实数kB，在集合，在集合A中不存在中不存在元素与之对应，则元素与之对应，则k的取值范围是的取值范围是() Ak1 Bk1 Ck1 Dk1【例【例3】如图，有一直角墙角，两边的长度足够长】如图，有一直角墙角，两边的长度足够长,在在P处有一处有一棵树与两墙的距离分别是棵树与两墙的距离分别是a m (0agf(x)的的x的值是的值是_x123f(x

8、)131x123g(x)321abcdeabcdeabcdeabcdeabcdeabcdeabcdeabcdeabcde 【1】设集合】设集合Aa,b，Bc，d，e，则从，则从A到到B的映射共有的映射共有_个个【总结】【总结】 (1)函数的定义中应注意函数的定义中应注意A，B是两个非空的数集，函是两个非空的数集，函数的值域数的值域C与与B的关系是的关系是CB. (2)在映射中，集合在映射中，集合A与与B的地位的地位是不对等的，在集合是不对等的，在集合B中不要求每个元素在集合中不要求每个元素在集合A中都有元素与中都有元素与之对应，即集合之对应，即集合B中可以有空闲的元素中可以有空闲的元素1.1.

9、（20082008山东）山东）设函数设函数 的值为（的值为（ ）221,1,( )2,1,xxf xxxx )(21ff则则189816271615.D.C.B.A .)(,)(16156114142 ff 2.（2008陕西）陕西）定义在定义在R上的函数上的函数f(x)满足满足f(x+y)= f(x)+f(y)+2xy(x, yR), f(1)=2, 则则f(- -3)等于等于( ) A. 2 B. 3C. 6D. 9 1函数的定义域函数的定义域 (1)函数的定义域是指函数的定义域是指_ _ (2)求定义域的步骤求定义域的步骤 写出使函数式有意义的不等式写出使函数式有意义的不等式(组组)；

10、解不等式组；解不等式组； 写出函数定义域写出函数定义域(3)常见基本初等函数的定义域常见基本初等函数的定义域 分式函数中分式函数中分母不等于零分母不等于零 偶次根式函数、被开方式偶次根式函数、被开方式大于或等于大于或等于0. 一次函数、二次函数的定义域为一次函数、二次函数的定义域为_. yax (a0且且a1),ysin x, ycos x,定义域均为定义域均为_. ytan x的定义域为的定义域为_. 函数函数f(x)x0的定义域为的定义域为_使函数有意义的自变量的取使函数有意义的自变量的取值范围值范围RR|R,Z2且且x xxkkx|xR且且x02函数的值域函数的值域 (1)在函数在函数y

11、f(x)中中,与自变量与自变量x的值相对应的的值相对应的y的值叫的值叫_，_叫函数的值域叫函数的值域 (2)基本初等函数的值域基本初等函数的值域函数值函数值函数值的集合函数值的集合基本初等函数基本初等函数值域值域ykxb (k0)yax2bxc (a0)yax (a0且且a1)ylogax (a0且且a1)ysin x, ycos x ytan x(0)kykxR(0,) R且且|R0y yy 1,1 R时时240,);4acbaa 240,(,4时时acbaa (1)换元法：若已知换元法：若已知f(g(x)的表达式，求的表达式，求f(x)的解析式的解析式,通常是令通常是令g(x)t，从中解出

12、，从中解出x(t)，再将，再将g(x)、x代入已知代入已知解析式求得解析式求得f(t)的解析式，即得函数的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围的范围 (2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程解析式，然后利用已知条件列方程(组组)，再求系数，再求系数 (3)消去法：若所给解析式中含有消去法：若所给解析式中含有f(x), 或或 f(x), f(x)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得

13、到f(x) (4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式3函数解析式的求法函数解析式的求法1()fx(2)若函数若函数 f(x)x4mx24mx3的定义域为的定义域为 R，则实数，则实数m的取值范围是的取值范围是_ (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：其准则一般是： 分式中，分母不

14、为零；分式中，分母不为零； 偶次根式，被开方数非负；偶次根式，被开方数非负； 对于对于yx0，要求，要求x0； 对数式中，真数大于对数式中，真数大于0，底数大于，底数大于0且不等于且不等于1； 由实际问题确定的函数由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束其定义域要受实际问题的约束. (2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系【例【例2】若函数】若函数f(2x)的定义域是的定义域是1, 1,求求f(log2x)的定义域的定义域 (1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用

15、分离常数法；虑用分离常数法； (2)若与二次函数有关，可用配方法；若与二次函数有关，可用配方法； (3)若函数解析式中含有根式若函数解析式中含有根式,可考虑用换元法或单调性法可考虑用换元法或单调性法; (4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；式求解； (5)分段函数宜分段求解；分段函数宜分段求解； (6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解 函数解析式的求法函数解析式的求法 (1)凑配法：由已知条件凑配法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将，可将F(x)改写成关于改写成关于g

16、(x)的表达式，然后以的表达式，然后以x替代替代g(x)，便得，便得f(x)的解析式；的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；，可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；此时要注意新元的取值范围； (4)方程思想：已知关于方程思想：已知关于f(x)与与 或或f(x)的表达式，可根的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程

17、组求出求出f(x)1()fx (14分分)已知已知f(x)2log3x，x1, 9，试求函数，试求函数yf(x)2f(x2)的值域的值域 函数问题首先要考虑定义域函数问题首先要考虑定义域 答题规范答题规范 (1)本题考查了函数的定义域、值域的概念及求本题考查了函数的定义域、值域的概念及求法，是函数的重点知识法，是函数的重点知识 (2)本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使本题易错原因是忽略对定义域的研究，致使函数函数yf(x)2f(x2)的讨论范围扩大的讨论范围扩大 (3)解答有关函数的问题要规范，研究函数问题解答有关函数的问题要规范，研究函数问题，首先研究其定义域，这是解答的规范，也是思，首

18、先研究其定义域，这是解答的规范，也是思维的规范维的规范.方法与技巧方法与技巧 1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础因此，我们一定要树立函数定义且它是研究函数性质的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先意识域优先意识 求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式不等式(组组)；对于含有字母参数的函数定义域；对于含有字母参数的函数定义域,应注意对参数取应注意对参数取值的讨论值的讨论;对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义对于实际问题的定义域一定要

19、使实际问题有意义. 2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围化范围.利用函数几何意义利用函数几何意义,数形结合可求某些函数的值域数形结合可求某些函数的值域. 3.函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明时，一定注意等号是否成立，必要时注明“”成立的条件成立的条件失误与防范失误与防范 1求函数的值域，不但要重视对应关系的作用求函数的值

20、域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用特别要函数单调性在确定函数最值过程中的作用特别要重视实际问题的最值的求法重视实际问题的最值的求法 2对于定义域、值域的应用问题，首先要用对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先定义域优先”的原则，同时结合不等式的性质的原则，同时结合不等式的性质三、解答题三、解答题1给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是以给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是以函数的解析

21、式所含运算有意义函数的解析式所含运算有意义为准则为准则,列出不等式或列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：分式中分式中,分母不等于零，分母不等于零， 偶次根式中偶次根式中,被开方数被开方数为非负数，为非负数， 对于对于y=x0，要求，要求x0, ,对数式中对数式中,真数真数大于大于0,且底数为不等于且底数为不等于1的正数，的正数，正切函数等正切函数等2.由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束的约束. .3.抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系抽象函数的定义域要看清内、外层函

22、数之间的关系.考点一考点一 求函数的定义域求函数的定义域(3)已知已知y=f(2x+1)的定义域为的定义域为- -1,1,求求f(x)的定义域；的定义域； (4)已知已知f(x)的定义域为的定义域为0,2,求求f(2x)的定义域的定义域.考点一考点一 求函数的定义域求函数的定义域 【1 1】(08(08湖北湖北) )函数函数的定义域为的定义域为( ) A.(- -, - -42, +) B.(- -4, 0) (0, 1) C.- -4, 0)(0, 1 D.- -4, 0)(0, 1)221( )1n(3234)f xxxxxx 已知函数已知函数 yf(x2)的定义域是的定义域是0,2， 那

23、么那么g(x)f(x)1lg(x1)的定义域是的定义域是_ 【1】f(x) 为二次函数，且满足为二次函数，且满足f(0)0，f(x1)f(x)x1，求，求f(x)解解: :由题意由题意 3 ( ) 2 ()22,3 ()(2 ( )2)21).(2f xfxxfxf xx 得得(1)3(2)2,2( )25.f xx【2】已知函数】已知函数f(x)满足满足 求求f(x)的解析式的解析式. .3 ( )2 ()22,f xfxx考点二考点二 求函数的解析式求函数的解析式 (3)已知已知f(x)是是R上的函数上的函数,且且f(0)=1,对任意对任意x, yR 恒有恒有f(x- -y)=f(x)-

24、-y(2x- -y+1), 求求f(x).（4）方法一方法一: f(x- -y) =f(x)- -y(2x- -y+1)， 令令y=x，得，得f(0)=f(x)- -x(2x- -x+1)， f(0)=1，f(x)=x2+x+1.方法二方法二 令令x=0，得，得f(- -y)=f(0)- -y(- -y+1)=y2- -y+1, 再令再令y=- -x, 得得 f(x)=x2+x+1. 考点二考点二 求函数的解析式求函数的解析式 【1】设定义在】设定义在R上的函数上的函数f(x) 对任意实数对任意实数x, y都都有有f(x+ +y)=f(x)+2y(x+y), 且满足且满足f(1)=1, 求求f

25、(0)及及 f(x)的表达式的表达式.考点二考点二 求函数的解析式求函数的解析式 (4) 如图是函数如图是函数f(x)的图象的图象,OC段是射线段是射线,而而OBA是抛物线的一部分是抛物线的一部分,试写出试写出f(x)的表达式的表达式.解解:(1)当当x00时时,直线直线OC经过经过(- -2,- -2),直线方程为直线方程为y=x;(2)当当x0时时,抛物线过抛物线过B(1,(1,- -1),1),A(2,0)(2,0)易求得抛物线的解析式为易求得抛物线的解析式为:y=x2- -2x.解析式为解析式为2,0,2 ,0.xxyxx x 考点二考点二 求函数的解析式求函数的解析式1函数的单调性函

26、数的单调性增函数增函数减函数减函数定定义义 一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I：如果对于定义：如果对于定义域域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x1, x2 当当x1x2时时, 都都 有有_ ,那么函数那么函数f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数 当当x1x2时，都有时，都有_ , 那么函数那么函数f(x)在区间在区间D上是减函数上是减函数图图象象描描述述自左向右看图象是自左向右看图象是_自左向右看图象是自左向右看图象是_f(x1) f(x2)上升的上升的下降的下降的(1)单调函数的定义单调函数的定义2函数的最值函数的最值前前提提设函数设

27、函数yf(x)的定义域为的定义域为I,如果存在实数如果存在实数M满足满足条条件件(1)对于任意对于任意xI，都有，都有 _；(2)存在存在x0I, 使得使得 _.(3)对于任意对于任意xI,都有都有 _；(4)存在存在x0I, 使得使得 _.结结论论M为最大值为最大值M为最小值为最小值(2)单调区间的定义单调区间的定义 若函数若函数f(x)在区间在区间D上是上是_或或_,则称函则称函数数f(x)在这一区间具有在这一区间具有(严格的严格的)单调性，单调性，_叫做叫做 yf(x)的单调区间的单调区间增函数增函数减函数减函数区间区间Df(x)Mf(x)Mf(x0)Mf(x0)M (1)证明函数的单调

28、性用定义法的步骤是证明函数的单调性用定义法的步骤是: 取值取值作差作差变形变形确定符号确定符号下结论下结论. (2)利用导数证明的一般步骤为：求导，判断导利用导数证明的一般步骤为：求导，判断导函数在区间上的符号，下结论导数法是比较常用函数在区间上的符号，下结论导数法是比较常用的一种方法的一种方法 求函数的单调区间与确定单调性的方法一致求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间或复合函数，求单调区间 (2)定义法定义法:先求定义域，再利用单调性定义先求定义域，再利用单调性定义 (

29、3)图象法图象法:如果如果f(x)是以图象形式给出的，或者是以图象形式给出的，或者f(x)的图象的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间 (4)导数法导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间利用导数取值的正负确定函数的单调区间 (5)本题的易错点是忽视函数的定义域本题的易错点是忽视函数的定义域 12()()f xf x函数的单调性与不等式函数的单调性与不等式 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出该构造出f(x2)f(x1)并与并与0比较大小比较大小 (2)将函数不等式中的抽象函数符号将函

30、数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性运用单调性“去掉去掉”, 是本小题的切入点是本小题的切入点. 要构造出要构造出f(M)f(N)的形式的形式. 解函数不等式的问题的一般步骤解函数不等式的问题的一般步骤：第一步：确定函数第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为第二步：将函数不等式转化为f(M)x2)； (2)作差作差f(x1)f(x2)，然后变形；，然后变形； (3)判定判定f(x1)f(x2)的符号；的符号； (4)根据定义得出结论根据定义得出结论2. 求函数的单调区间求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义

31、域首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还区间常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质可以利用导数的性质3. 复合函数的单调性复合函数的单调性 对于复合函数对于复合函数yf(g(x)，若，若tg(x)在区间在区间(a，b)上是单调上是单调函数，且函数，且yf(t)在区间在区间(g(a)，g(b)或者或者(g(b)，g(a)上是单调函上是单调函数，若数，若tg(x)与与yf(t)的单调性相同的单调性相同

32、(同时为增或减同时为增或减)，则，则yf(g(x)为增函数；若为增函数；若tg(x)与与yf(t)的单调性相反，则的单调性相反，则yf(g(x)为减函数简称为：同增异减为减函数简称为：同增异减 1函数的单调区间是指函数在定义域内的某函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示表示 2两函数两函数f(x), g(x)在在x(a，b)上都是增上都是增(减减)函函数，则数，则f(x)g(x)也为增也为增(减减)函数函数, 但但f(x)

33、g(x), 等等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比的单调性与其正负有关，切不可盲目类比)(1xf三、解答题三、解答题 设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为I,如果对于定义域如果对于定义域I内的内的某个区间某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1、x2,当当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),那么就说那么就说f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数.1.函数单调性的定义函数单调性的定义 设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为I，如果对于定义域，如果对于定义域I内内的某个区间的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1、x2, 当当x1f(x2) , 那么就

34、说那么就说f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数.任取任取x1, x2D,且且x10时，时，f(x)1,且对任意的且对任意的a,bR, f(a+b)= f(a) f(b). (1)求求f(0)的值；的值； (2)判断判断f(x)的单调性的单调性.一、抽象函数的单调性与最值一、抽象函数的单调性与最值 【1】若对一切实数】若对一切实数x, y 都有都有 (1)求求f(0)的值的值; (2)判定判定f(x)的奇数偶性的奇数偶性. .()( )( ).f x yf xf y 【2】若函数】若函数 f(x) 对任意对任意 a, b R 都有都有 f(a+b)=f(a)+f(b)- -1, 并且当并且

35、当x0 时时, 有有 f(x)1. 求证求证: f(x) 是是 R 上上 的增函数的增函数. 【3】已知函数】已知函数 f (x) 对于任何实数对于任何实数 x, y 都有都有 f (x+y)+f(x- -y)=2f (x) f (y) 且且 f (0)0求证求证: f (x) 是偶函数是偶函数.例例2.2.判断函数判断函数 在区间在区间(- -1,1)上的单调性上的单调性.2( )1xf xx 二、函数单调性的判定及证明二、函数单调性的判定及证明例例3. 设设 为奇函数为奇函数,且定义域为且定义域为R.(1)求求b的值；的值；(2)判断函数判断函数f(x)的单调性；的单调性；(3)若对于任意

36、若对于任意t R, 不等式不等式 恒成立，求实数恒成立，求实数k的取值范围的取值范围12( )22xxbf x 22(2 )(2)0f ttftk 【1 1】二、高考热点聚焦二、高考热点聚焦热点一：函数概念与抽象函数热点一：函数概念与抽象函数（09山东） 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x，都有都有_，那么函数，那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x，都有都有_，那么函数，那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数 奇函数的图象关于原点对称；奇函数的图象关

37、于原点对称； 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称1奇、偶函数的概念奇、偶函数的概念f(x)f(x)f(x)f(x)2奇、偶函数的性质奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性函数在关于原点对称的区间上的单调性_ (2)在公共定义域内，在公共定义域内，两个奇函数的和是两个奇函数的和是_，两，两个奇函数的积是偶函数；个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的和、积都是两个偶函数的和、积都是_； 一个奇函数，一个偶函数的积是一个奇函数，一个偶函数的积是_相反相反相同相同奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数

38、奇函数 (1)周期函数：对于函数周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一，如果存在一个非零常数个非零常数T，使得当，使得当x取定义域内的任何值时，取定义域内的任何值时，都有都有f(xT)_，那么就称函数，那么就称函数yf(x)为周为周期函数，称期函数，称T为这个函数的周期为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有的所有周期中周期中_的正数，那么这个最小正的正数，那么这个最小正数就叫做数就叫做f(x)的最小正周期的最小正周期.3周期性存在一个最小存在一个最小f(x) 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

39、(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的； (2)判断判断f(x)与与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数奇函数)或或f(x)f(x)0(偶函数偶函数)是否成立是否成立 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从

40、分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或或x0来寻找等式来寻找等式f(x)f(x)或或f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性系时，分段函数才具有确定的奇偶性.等价转换要规范等价转换要规范 (1)从从f(1)联想自变量的值为联想自变量的值为1，进而想到赋值，进而想到赋值x1x21. (2)判断判断f(x)的奇偶性的奇偶性, 就是研究就是研究f(x), f(x)的关系的关系. 从而想到从而想到赋值赋值x11，x2x. 即即f(x)f(1)f(x) (3)就是要出现就是要出现f(M)f(N)的形式，再结合单调性转化为的

41、形式，再结合单调性转化为MN的形式求解的形式求解答题规范答题规范等价转换要规范等价转换要规范 答题规范答题规范 数学解题的过程就是一个转换的过程解题质量的高数学解题的过程就是一个转换的过程解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度如果每一步等价转低，取决于每步等价转换的规范程度如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的等价转化要做到规范，应注意以下几点：的等价转化要做到规范，应注意以下几点： (1)要有明确的语言表示如要有明确的语言表示如“M”等价于等价于“N”，“M”变形为变形为“N” (2)要写明转化的条件如本例

42、中：要写明转化的条件如本例中：f(x)为偶函数，为偶函数，不等式不等式(* *)等价于等价于f(|(3x1)(2x6)|)f(64) (3)转化的结果要等价如本例：由于转化的结果要等价如本例：由于f(|(3x1)(2x6)|)f(64)|(3x1)(2x6)|64，且，且(3x1)(2x6)0.若漏若漏掉掉(3x1)(2x6)0，则这个转化就不等价了，则这个转化就不等价了. 1正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：个问题： (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数为奇函数或偶函数的必要非充分条件

43、；或偶函数的必要非充分条件； (2)f(x)f(x)或或f(x)f(x)是定义域上的恒等式是定义域上的恒等式. 2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式或应用定义的等价形式:f(x)f(x)f(x)f(x)0 1(f(x)0) 3奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真利用这一性质可简化一些函数图象轴对称，反之也真利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数

44、的奇偶性的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性 ()( )fxf x 1判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件数具有奇偶性的一个必要条件 2判断函数判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的是奇函数，必须对定义域内的每一个每一个x，均有，均有f(x)f(x)，而不能说存在，而不能说存在x0使使f(x0)f(x0)对于偶函数的判断以此类推对于偶函数的判断以此类推 3分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利

45、用函数在定义域某一区间上不进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性1.奇函数、偶函数的概念奇函数、偶函数的概念 一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一的定义域内任意一个个x,都都 有有_，那么函数，那么函数f(x)就叫就叫做偶函数做偶函数. 一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一的定义域内任意一个个x,都都 有有_，那么函数，那么函数f(x)就叫就叫做奇函数做奇函数. f(- -x)= f(x)f(- -x)=- -f(x)定义法定义法利用利用性质性质2. 函

46、数奇偶性的判定函数奇偶性的判定图象法图象法: :画出函数图象画出函数图象( )( )()0,1.()f xf xfxfx 考查函数定义域是否关于原点对称；考查函数定义域是否关于原点对称；判断判断f(- -x)f(x)之一是否成立；之一是否成立；作出结论作出结论.一个函数为奇函数一个函数为奇函数它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称. .一个函数为偶函数一个函数为偶函数它的图象关于它的图象关于y 轴对称轴对称. .3.3.性质性质: : 奇奇函数函数在关于原点对称的区间上具有相同在关于原点对称的区间上具有相同的单调性的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的

47、单调性有相反的单调性. .(2)在定义域的关于原点对称的公共区间内在定义域的关于原点对称的公共区间内奇奇奇奇=奇奇;偶偶偶偶=偶偶;奇奇偶偶=非奇非偶非奇非偶.偶偶偶偶=偶；奇偶；奇奇奇=偶；偶偶；偶奇奇=奇奇.(1)(1)奇函数、偶函数的图象特点奇函数、偶函数的图象特点(3)(3)奇偶性与单调性的关系奇偶性与单调性的关系（1 1）设函数）设函数f(x)的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称, ,判断判断下列函数的奇偶性：下列函数的奇偶性：4.4.任意一个任意一个定义域关于原点对称定义域关于原点对称的函数的函数, ,总可以表总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和示成一个奇函数与一个偶函数的和

48、. . ( )()(2) ( )2( )()2f xfxf xfxf x5. 对于奇函数对于奇函数f(x),若若x能取到零能取到零,则则f(0)=_. 0( )( )()2f xfxF x )2()(f xG xfx 6. 若若f(x)为为偶函数，则偶函数，则()( )(|).fxf xfx( )22(1) ( )11f xxx f(x)既是偶函数既是偶函数, 又是奇函数又是奇函数. 解解:函数的定义域为函数的定义域为- -1, 1,( 1)(1)(1) 0.fff 例例1.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=|x+1|- -|x- -1|解解:()fx |1| |1|xx

49、 |1|1|xx ).(f x 所以函数所以函数 f(x) 为奇函数为奇函数.2lg(1)(3) ( )|2| 2xf xx 定义域为定义域为- -1,0)(0,1.211,10,11,0.0,4.220.xxxxxxx 解解：(1)由(1)由且且且且即即f(- -x)= - - f(x).所以函数所以函数 f(x) 为奇函数为奇函数.2211(2)( ),(2)2xxf xxx221()1(),xxfxxx 又又点评点评:判断函数是否具有奇偶性判断函数是否具有奇偶性, ,先看定义域是先看定义域是否关于原点对称否关于原点对称, ,其次要对解析式进行化简其次要对解析式进行化简. .例例2.定义在

50、定义在- -1,1上的函数上的函数f(x) 是奇函数是奇函数,并且在并且在- -1,1 上上f(x)是增函数是增函数,求满足条件求满足条件f(1- -a)+f(1- -a2)0的的 a 的取值范围的取值范围. 【1】定义在定义在2,2上的偶函数上的偶函数f(x), 当当x0时时, f(x)单调递减单调递减,若若 f(1- -m)f(m) 成立成立,求求 m的取值范围的取值范围 【2】若函数若函数y=f(x)是定义在是定义在R上的偶函数上的偶函数,且在区间（且在区间（- -，0上是减函数，又上是减函数，又f(2a- -1) f(3- -a), 则则a的取值范围是的取值范围是_.变式练习变式练习例

51、例4.4.已知已知f( (x) )是奇函数是奇函数, ,当当x00时时, ,f( (x)=)=x2 22 2x, ,求当求当 x0 0时时, ,f( (x) )的解析式的解析式, ,并画出此函数并画出此函数f( (x) )的图象的图象. . 【1】已知】已知 f(x) 是定义在是定义在R上的奇函数上的奇函数,当当x0时时, f(x)=x2+x- -1, 求函数求函数f(x)的表的表达式达式 【2】已知】已知f (x)是偶函数是偶函数,g(x)是奇函数，是奇函数，x0,3上的图象如图所示，则不等式上的图象如图所示，则不等式的解集是的解集是_.( )0( )f xg x 练习练习 【3】f(x)是

52、是R上偶函数上偶函数, 且在且在0,+)上是上是增函数增函数, f(0.5)=0,则不等式则不等式 的解的解集为集为_.4(log)0fx 练习练习【1 1】1. 二次函数的定义与解析式二次函数的定义与解析式一般式：一般式：_.顶点式：顶点式：_, 顶点为顶点为_.零点式：零点式：_,其中其中_是是 方程方程ax2+bx+c=0的两根的两根.y=ax2+bx+c (a0)y=a(x- -m)2+n(a0)y=a(x- -x1)(x- -x2)(a0)(m, n)(1)二次函数的定义二次函数的定义 形如形如:f(x)ax2bxc (a0)的函数叫做二次函数的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式

53、的三种形式二次函数解析式的三种形式x1, x2对称轴对称轴:_顶点顶点:_2二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质图象图象函数性质函数性质定义域定义域xR(个别题目有限制的个别题目有限制的,由解析式确定由解析式确定)值域值域a0a0a0时，图象与时，图象与x轴有轴有两个交点两个交点M1(x1, 0) , M2(x2, 0)，1221| |M Mxxa 4. 二次函数二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在在m, n上的最值上的最值(2)若若 m, n, 则则当当 x0n 时时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m).(1)若若 m, n, 则则 02bxa 24;4acb

54、a 02bxa max( )max (),( ).f xf mf n f(x)min= f(x0)=【例【例1】已知二次函数】已知二次函数f(x)满足满足f(2)1，f(1)1,且且f(x)的最大值是的最大值是8,试确定此二次函数试确定此二次函数 二次函数的解析式有三种形式：二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：一般式：f(x)ax2bxc (a0)； (2)顶点式：顶点式：f(x)a(xh)2k (a0)； (3)两根式：两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0) 已知函数的类型已知函数的类型(模型模型),求其解析式求其解析式,用待定系数法用待定系数法,根据根据题设恰当选用二次函数

55、解析式的形式题设恰当选用二次函数解析式的形式,可使解法简捷可使解法简捷【例【例2 】已知函数】已知函数 f(x)x22ax3，x4, 6(1)当当a2时，求时，求f(x)的最值；的最值；(2)求实数求实数a的取值范围的取值范围,使使yf(x)在区间在区间4, 6上是单上是单 调调 函数；函数；(3)当当a1时时, 求求f(|x|)的单调区间的单调区间 已知函数已知函数f(x)4x24ax4aa2在区间在区间0, 1内有一个最大值内有一个最大值5，求，求a的值的值【例【例3】 若二次函数若二次函数f(x)ax2bxc (a0) 满足满足 f(x1)f(x)2x，且，且f(0)1. (1)求求f(

56、x)的解析式；的解析式； (2)若在区间若在区间1, 1上，不等式上，不等式 f(x)2xm恒成立恒成立, 求实数求实数m的取值范围的取值范围分类讨论在二次函数中的应用分类讨论在二次函数中的应用 (1)求求a的取值范围，是寻求关于的取值范围，是寻求关于a的不等式，的不等式，解不等式即可；解不等式即可； (2)求求f(x)的最小值，由于的最小值，由于f(x)可化为分段函数可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起，分段函数的最值分段求，然后综合在一起 (3)对对a讨论时，要找到恰当的分类标准讨论时，要找到恰当的分类标准 分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法分类讨论的思想是高考重点

57、考查的数学思想方法之一之一.本题充分体现了分类讨论的思想方法本题充分体现了分类讨论的思想方法.在解答本题在解答本题时有两点容易造成失分时有两点容易造成失分:一是求实数一是求实数a的值时，讨论的的值时，讨论的过程中没注意过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论后的结论.除此外除此外,解决函数问题时，以下几点容易造成解决函数问题时，以下几点容易造成失分：失分： 1.含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误； 2.分

58、段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；没有比较大小或不会比较出大小关系； 3.解一元二次不等式时解一元二次不等式时,不能与一元二次函数、一元不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起二次方程联系在一起,思路受阻思路受阻.分类讨论在二次函数中的应用分类讨论在二次函数中的应用 三、解答题三、解答题 涉及方程涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a0)的实根分布问题的实根分布问题, 一般情况下要从四个方面考虑一般情况下要从四个方面考虑: f(x) 图象的开口方向图象的开口方向; 方程方程 f(x)=0的判别式的判别式;

59、 区间端点处函数值的符号区间端点处函数值的符号. f(x) 图象的对称轴与区间的关系图象的对称轴与区间的关系; 1. 二次方程二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 实根分布问题实根分布问题方程方程 f(x)=0 有两正根有两正根 方程方程 f(x)=0 有两负根有两负根 方程方程 f(x)=0 有一正根一负根有一正根一负根 12120,0,0bxxacx xa 0,02(0)0baf 12120,0,0bxxacx xa 0,02(0)0baf 0ca 0c 记记 f(x)=ax2+bx+c(a0)1. 二次方程二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 实根分布问题实根分布问题根的分布根的分布

60、图象图象充要条件充要条件oxykoxyk02( )0bkaf k 12xxkoxykoxyoxyk02( )0bkaf k 12kxxoxykoxyk( )0f k 12xkx根的分布根的分布图象图象充要条件充要条件121202()0()0bkkaf kf k 1122kxxk()0( )0( )0( )0f mf nf pf q 1mxnoxyk2k1oxyk2k1oxyk2k1oxyqmnpoxyqmnp2pxqmnpq 根的分布根的分布图象图象充要条件充要条件两个实根有且仅有两个实根有且仅有一根在区间一根在区间 内内12()()0f kf k1121()022f kkkbka 12,k