土木工程力学位移法

1、第十三章 位移法13-1 等截面单跨超静定梁的杆端内力13-2 位移法的基本概念13-3 位移法基本未知量数目的确定13-4 位移法典型方程13-5 用位移法计算超静定结构13-6 超静定结构的特性13-1 等截面单跨超静定梁的杆端内力单跨静定梁的三种基本形式：1 1 杆端力与杆端位移的正、负号规定杆端力与杆端位移的正、负号规定杆端弯矩：顺时什转向为正，逆时针转向为负。对结点杆端弯矩：顺时什转向为正，逆时针转向为负。对结点而言，则逆时针转向为正，顺时针转向为负。而言，则逆时针转向为正，顺时针转向为负。A A 杆端力正、负号规定杆端力正、负号规定杆端剪力：使所研究的分离体有顺时针转动趋势为正，杆

2、端剪力：使所研究的分离体有顺时针转动趋势为正，有逆时针转动趋势为负。有逆时针转动趋势为负。正正负杆端杆端转角转角：顺时什转向为正，逆时针转向为负：顺时什转向为正，逆时针转向为负B B：杆：杆端位移的正、负号规定端位移的正、负号规定杆端相对线位移：两杆端连线发生顺时针方向转动时，杆端相对线位移：两杆端连线发生顺时针方向转动时，相对线位移相对线位移 为正，反之为负。为正，反之为负。AAAA正正负2、两端固定梁的转角位移方程 fBA3b2a2ABfAB3b2a2ABfBA2bABAfAB2BAABQl12EIl6EIl6EIQQl12EIl6EIl6EIQMlEI6lEI4lEI2MMlEI6lEI

3、2lEI4M称为“旋转角”，则：称为“旋转角”，则：称为“线刚度”、称为“线刚度”、：令令llEIiAB fABABBAABMiiiM 624lqPBABABBAABABt1Ct2CAQBAMBAQABMABEI3、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程 fBA3ba2ABfAB3ba2ABBAfAB2AABQl3EIl3EIQQl3EIl3EIQ0MMlEI3lEI3M称为“旋转角”，则：称为“旋转角”，则：称为“线刚度”、称为“线刚度”、：令令llEIiAB fABABAABMiiM 33lqPBABABAABt1Ct2CAQBAQABMABEI4、一端固

4、定、另一端定向支承梁的转角位移方程 fBAABAfABAABMiMMiM lqPBABAABt1Ct2CAQABMABEIMBA由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA4i2i=1ABAB1212lili 6li 6li 6AB10li 3AB=13i023liAB=1ii0li 3由跨间荷载引起的杆端力称为载常数由跨间荷载引起的杆端力称为载常数单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图mABmBAAB q212ql212qlABP8Pl8PlAB q28qlABl/2l/2P316Pl0013-2 位移法的基本

5、概念1. 1. 基本未知量基本未知量当不计轴向变形时，刚结点当不计轴向变形时，刚结点1 1不发生线位移，只发不发生线位移，只发生解位移生解位移Z1Z1，且杆，且杆A1A1和和B1B1端发生相同的转角端发生相同的转角Z1.Z1.只只要求出转角要求出转角Z1Z1，两杆的变形和内力就完全确定。，两杆的变形和内力就完全确定。因此刚结点因此刚结点1 1的角位移的角位移Z1Z1就是求解该刚架的位移法就是求解该刚架的位移法基本未知量。基本未知量。2. 2. 基本结构基本结构在刚结点在刚结点1 1上加一限制转动的约束（附加刚臂），上加一限制转动的约束（附加刚臂），A1A1与与B1B1就成为基本形式，此时该就成

6、为基本形式，此时该 结构称为位移法结构称为位移法的基本结构。的基本结构。3. 3. 荷载在附加刚臂中产生的反力矩荷载在附加刚臂中产生的反力矩基本结构在荷载作用上，基本结构在荷载作用上，B1B1杆发生虚线所示的变杆发生虚线所示的变形。但杆端形。但杆端1 1截面被刚臂制约，不发生角位移，使截面被刚臂制约，不发生角位移，使得刚臂出现反力矩得刚臂出现反力矩 。荷载引起的刚臂反力矩。荷载引起的刚臂反力矩规定以顺时针方向为正。规定以顺时针方向为正。1FR1FR1FR查载常数表4. 4. 刚臂转动引起的刚臂反力矩刚臂转动引起的刚臂反力矩为使基本结构与原结构一致，需将刚臂（连同刚结为使基本结构与原结构一致，需

7、将刚臂（连同刚结点）转动角度点）转动角度Z1Z1，使得基本结构的结点，使得基本结构的结点1 1转角与原转角与原结构虚线所示的自然变形状态刚结点转角相同。刚结构虚线所示的自然变形状态刚结点转角相同。刚臂转动角度臂转动角度Z1Z1所引起的刚臂反力矩用所引起的刚臂反力矩用 表示，并表示，并规定顺时针方向为正。规定顺时针方向为正。11R1FR1FR查形常数表11R11111RrZ5. 5. 刚臂总反力矩刚臂总反力矩 ，位移法基本方程，位移法基本方程在基本结构上施加原结构荷载，且令刚臂转动原结在基本结构上施加原结构荷载，且令刚臂转动原结点转角，使得受力基本结构和原结构的受力状态及点转角，使得受力基本结构

8、和原结构的受力状态及变形状态完全致。刚臂已失去约束作用。故变形状态完全致。刚臂已失去约束作用。故1R11R1111FRRR1FR荷载作用于基本结构，引起刚臂反力矩荷载作用于基本结构，引起刚臂反力矩 ；刚结；刚结构转角构转角Z1Z1引起刚臂反力矩引起刚臂反力矩 。二者之和为总反力。二者之和为总反力矩矩R R，即，即10R 1110FRR11110(a)Fr ZR或11110Fr ZR位移法的基本方程。位移法的基本方程。物理意义：基本结构由于刚臂转角物理意义：基本结构由于刚臂转角Z1Z1及外荷载共及外荷载共同作用，附加刚臂的总反力矩为零。同作用，附加刚臂的总反力矩为零。单位弯矩图单位弯矩图 ：给刚

9、臂结点：给刚臂结点1 1正向单位转角正向单位转角 由形常数表查得由形常数表查得A1A1、B1B1的弯矩如图所示。的弯矩如图所示。1M11Z 113AAMi114BBMi1111100ABMMMr1AiBlEIiiil式中11111134ABABrMMii117ri所以荷载弯矩图荷载弯矩图 ：在基本结构上，荷载作用下的弯：在基本结构上，荷载作用下的弯矩图。矩图。FM10M 1108FRFl118FRFl 11110Fr ZR代入基本方程117()08iZFl 18756FlFlZii弯矩图：根据叠加法弯矩图：根据叠加法MM图为图为 的叠加结果的叠加结果11FM ZM例例13-1 13-1 用位移

10、法绘制图用位移法绘制图13-9a13-9a所示两跨连续梁的所示两跨连续梁的弯矩图。弯矩图。EI=EI=常量。常量。解解：（：（1 1）取结点）取结点B B点的转角为点的转角为Z1Z1为基本未知量。为基本未知量。取基本结构如图取基本结构如图b b所示，当刚臂转动角度所示，当刚臂转动角度Z1Z1时，基时，基本结构与原结构一致。本结构与原结构一致。1134rii（2 2）作基本结构）作基本结构 图，由结点平衡得：图，由结点平衡得：1MFM2118FRql （3 3）绘）绘 图，由结点平衡得：图，由结点平衡得：（4 4）位移法基本方程：）位移法基本方程：2156qlZi11110Fr ZR（5 5）绘

11、弯矩图：）绘弯矩图：11FMM ZM2211113814RBFqlMM ZMqliZ 13-3 位移法基本未知量数目的确定基本未知量：结点位移位移法的基本未知量是结点位移。位移转 角线位移位移法基本未知量数形成基本结构时所需施加的约束（刚臂和支杆）的数目。 1、在刚结点处加上刚臂2、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。 3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。 （1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也是不动点。 （2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座）都改为铰结点，如此体系是一个几何可变体系，则使它变为几何不变体系所需添加的链杆数目即等于原结构的独立线位移数目。13-4 位

12、移法典型方程1 1 位移法基本结构位移法基本结构加上相应的约束后，成为位移法的基本形式时，加上相应的约束后，成为位移法的基本形式时，即为形成位移法的基本结构。即为形成位移法的基本结构。2 2 位移法典型方程位移法典型方程3 3 荷载作用在基本结构上荷载作用在基本结构上4 4 分别发生单位变形时：分别发生单位变形时： 000321RRR建立位移法方程的条件、位移法方程及各符号的意义：111122133121122223323113223333000FFFr Zr Zr ZRr Zr Zr ZRr Zr Zr ZR211112FRql20FR132FqlR 111244rii2122ri13116

13、irl 1222ri222143rii13213irl 12313irl 11316irl 1113322211112315iiirlll解出 后，即可用叠加法作出刚架的弯矩图：21112122312112231111112321116(4i3i )201232(3i4i )00631502iiqlZi ZZlii ZZZliiiqlZZZlll将所有系数求出后代入基本方程：123,Z ZZ123123FMM ZM ZM ZM1111221121122222112000nnFnnFnnnnnnnFr Zr Zr ZRr Zr Zr ZRr Zr Zr ZR对于有n个基本未知量的问题，其基本方程

14、为：这就是具有n个基本未知量的位移法典型方程，其中 为主系数。 称为副系数。 为自由项iirijriFRijr：基本结构在荷载作用下，第i个附加约束产生的反力。1jZ iFR：当第j个附加约束发生单位位移 时，在第i个附加约束上产生的反力。主系数、副系数、自由项的特征：1，主系数与副系数与外荷载无关，为结构常数。自由项随荷载变化而改变。2，主系数 恒为正值 ，3，由反力互等定理知，副系数满足互等关系：iirijjirr力法与位移法比较1，力法是将超静定结构去掉多余联系而得到静定的基本结构。位移法是通过加附加约束的办法将结构变成超静定梁系而得到基本结构。2，力法以多余未知力作为基本未知量，位移法

15、刚以结点位移作为基本未知量。力法中基本未知量的数目等于结构超静定的次数。而位移法中基本未知量的数目与结构超静定的次数无关。3，力法的典型方程是根据原结构的位移条件建立，体现了基本体系的变形与原结构的变形相一致。位移法的典型方程是根据附加约束的反力矩或反力等于零建立，反映了荷载与结点位移共同作用下，基本结构的受力和变形状态原结构相同，附加约束不起约束作用，结点处于平衡状态。13-5 用位移法计算超静定结构例13-2 绘制下图之刚架的M图。解（1）基本结构，图b所示（2）作单位弯矩图1M118615riiii 2221312516348FRqlqlql （3）绘制荷载弯矩图。（4）列典型方程，求未

16、知量。11110Fr ZR211115144FRqlZri （5）叠加法绘制弯矩图。11FMM ZM2111208432AMi Zql211604432AMi Zql221111293432BMi Zqlql 22111876432BMi Zqlql 221139616432CMi Zqlql例13-3计算图示排架，绘M图。解（）确定基本结构：（）绘单位弯矩图，求11r11321S AS BS CrFFF11212irl（）绘荷载弯矩图，求1FR13FFS ARFql1118FqlR （）列典型方程，求未知量11110Fr ZR311111196FRqlZri（）叠加法绘弯矩图11FMM ZM

17、例-试用位移法计算图所示刚架，并作弯矩图解（）确定基本结构：（）绘单位弯矩图，求117ri216irl 111222rrr、 、126irl 22212irl（）绘荷载弯矩图，求2112FqlR222FqlR （）列典型方程，求未知量11112210Fr Zr ZR2124qlZi（）叠加法绘弯矩图1212FMM ZM ZM21122220Fr Zr ZR3216qlZi23262241612ABqli qlqlMiili238ABqlM例-计算下图刚架，并绘弯矩图解（）确定基本结构：（）绘单位弯矩图，求1112r 214r 111222rrr、 、124r 2216r（）绘荷载弯矩图，求130FR 230FR11112210Fr Zr ZR21122220Fr Zr ZR17522Z 23011Z （）叠加法绘弯矩图12