微分方程初步ppt课件

1、9.1-9.2微分方程初步 yxfy求求已已知知, )( 积分问题积分问题 yy求求及及其其若若干干阶阶导导数数的的方方程程已已知知含含, 微分方程问题微分方程问题 推广推广 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.若未知函数都是一元函数，该微分方程称为常微分方程若未知函数都是一元函数，该微分方程称为常微分方程切线斜率为切线斜率为 2x , 求该曲线的方程求该曲线的方程 . 一曲线通过点一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的在该曲线上任意点处的解解: 设

2、所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式则有如下关系式:xxdyd2 xdxy2Cx 2(C为任意常数为任意常数)由由 得得 C = 1,.12 xy因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为21 xy由由 得得 使方程成为恒等式的函数使方程成为恒等式的函数微分方程的解微分方程的解 - -初初始始条条件件- -通解通解（解中包含一个任意常数（解中包含一个任意常数C）特解特解 不含任意常数的解不含任意常数的解分离变量微分方程分离变量微分方程 xdxfydyg)()( 0)( yg )()(ygxfdxdyxdxfydyg)()( 两边积分两边积分, 得得 ydyg)( xd

3、xf)( CxFyG )()(则有则有-方程的隐式通解方程的隐式通解yxxdyd23 的通解的通解.解解: : 分离变量得分离变量得xdxyyd23 两边积分两边积分xdxyyd23 得得Cxy 3ln( C 为任意常数为任意常数 )( 此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )说明说明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形, 因此可能增、因此可能增、减解减解.）（1ln21ln2 xy0)1(2 ydxxdyx解解: 分离变量得分离变量得xdxxyyd21 两边积分得两边积分得Cxy ）（1ln21ln2由初始条件得由初始条件得 C =

4、 0,( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为 1)0( y的的通通解解求求方方程程yxexdyd 解：解： 分离变量分离变量xdeydexy 21CeCexy ( C 0 )两边积分得两边积分得12CCeexy C 简简称称称称为为齐齐次次微微分分方方程程的的一一阶阶微微分分方方程程形形如如,)(xyfdxdy 22yxydxdyx 例例2)(1xyxydxdy xyuxyfdxdy 中令中令在在)(.齐齐次次方方程程:通通解解求求法法)( uxy，则，则uxu 21uuuxu 21uxu 21uxdxdu xdxudu 21分离变量分离变量两边同时积分两边同时积分Cxuul

5、nln)1ln(2 Cxuu 21xyu 回代回代222Cxyxy )( 为为任任意意常常数数C一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:)()(xQyxPxdyd 假设假设 Q(x) 0, 0)( yxPxdyd假设假设 Q(x) 0, 称为非齐次方程称为非齐次方程 .1.解齐次方程解齐次方程分离变量分离变量xdP(x)yyd 两边积分得两边积分得1)(lnCxdxPy 故通解为故通解为xxPCeeyd)(1 称为齐次方程称为齐次方程 ；xdxPeC)( )()()(xPexuxdxP 对应齐次方程通解对应齐次方程通解xxPeCyd)( 齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方

6、程特解 xdxPCe)()()(xQyxPxdyd 用常数变易法用常数变易法:,)()()( xdxPexuxy那那么么 xdxPexu)()()(xP xdxPexu)()()(xQ 故原方程的通解故原方程的通解xdexQexdxPxdxP )()()()()()(CxdexQeyxdxPxdxP y即即即即作变换作变换 xdxPexQxdud)()(CxdexQxuxdxP )()()(两端积分得两端积分得.)1(1225 xxyxdyd解解: 先解先解,012 xyxdyd即即12 xxdyyd积分得积分得,1ln2ln1Cxy 即即2)1( xCy用常数变易法求特解用常数变易法求特解. 令令,)1()(2 xxuy代入方程得代入