清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学

1、第三章：线弹性断裂力学第三章：线弹性断裂力学断裂模式及对称性分析断裂模式及对称性分析三型裂纹裂尖场的渐近解三型裂纹裂尖场的渐近解复变函数（回顾）复变函数（回顾）三型裂纹裂尖场的解三型裂纹裂尖场的解应力强度因子应力强度因子K及及K-G关系关系计算计算K的常用方法的常用方法一些讨论一些讨论裂纹问题是一个特殊的弹性力学问题。裂纹问题是一个特殊的弹性力学问题。一般的弹性力学问题都有哪些定解方程或条件？一般的弹性力学问题都有哪些定解方程或条件？裂裂 纹纹iijijuf ,ijjiijuu.,21ijkkij2121E12Eiiuu onuSijijtn 平衡方程：平衡方程：几何方程：几何方程：本构方程：

2、本构方程：Lame弹性常数弹性常数边界条件：边界条件：（各向同性线弹性）（各向同性线弹性）ontS 位移解法：位移解法：应力函数解法（平面问题）：应力函数解法（平面问题）：,i jjk kiiiuufuNavier方程114 1ux Papkovich-Neuber 势函数2uufu 3, ,0ff 4,Cf 1Planestrain1 21Planestress1C Airy应力函数22211221221222112,xxx x ,0 ,.12uu 12 平面应变：平面应变：3012,ux x30u 33,0 ,.12uu 121 平面应力：平面应力：12,ux x331E 30,1,2 8

3、是否对于各种含裂纹构型是否必须得分别求解？是否对于各种含裂纹构型是否必须得分别求解？是否有共同的特点与规律？是否有共同的特点与规律？裂尖的裂尖的几何奇异性几何奇异性，造成应力和应变的奇异，使得远离裂尖的很，造成应力和应变的奇异，使得远离裂尖的很多信息被淹没，而且从后面的工作发现裂尖应力场等有相似性多信息被淹没，而且从后面的工作发现裂尖应力场等有相似性( (如如圆孔的应力集中系数）。圆孔的应力集中系数）。if ,3 ,iiuCu当无限靠近裂尖时，有以下量级关系当无限靠近裂尖时，有以下量级关系裂纹尖端的二维裂纹尖端的二维渐近分析渐近分析iijijuf ,113 ,132,121 ,11uf 02,

4、121 ,11对应的求解方程可以退化成什么样？对应的求解方程可以退化成什么样？只与只与12坐标有关系，退化成一个平面问题！坐标有关系，退化成一个平面问题！,1,2 以其中一个平衡方程为例：以其中一个平衡方程为例：准静态准静态如何理解或简单证明？如何理解或简单证明？C具有模量的量纲裂尖场位移场：裂尖场位移场：3, ,iu rxas0iur constas0iur刚体平动0 as0iur针对针对1233, ,iiu rxruxO r11cossiniiiuurux21sincosiiiuurux133iiuurxx渐近分析渐近分析 ,3,iiuu1133,iiiuuurrxxx12,iux xif

5、 ,3 ,当无限靠近裂尖时，有以下量级关系当无限靠近裂尖时，有以下量级关系,1,2 裂纹尖端的二维裂纹尖端的二维渐近分析渐近分析定解方程变成以下定解方程变成以下解耦的解耦的两组：两组：0,21uu233近似平面应变问题近似平面应变问题0,3, 3321u332近似反平面剪切问题近似反平面剪切问题为什么？为什么？,iiuCuC具有模量的量纲为什么？什么是薄板？为什么？什么是薄板？ if ,3 ,当无限靠近裂尖时，有以下量级关系当无限靠近裂尖时，有以下量级关系,1,2 我们再看看这个假设我们再看看这个假设与上述渐近分析不一致的例子与上述渐近分析不一致的例子 薄板断裂问题薄板断裂问题 裂纹弯折或裂纹

6、与自由表面相交处裂纹弯折或裂纹与自由表面相交处,iiuCuC具有模量的量纲2121,),(xxsxxs2121,),(xxsxxs可以进一步将平面问题分解为关于裂纹延长线的对称（可以进一步将平面问题分解为关于裂纹延长线的对称（I型型）和反对称（）和反对称（II型型）问题，）问题， 反对称：反对称：矢量的对称矢量的对称：经过一个镜像对称，完全吻合时。：经过一个镜像对称，完全吻合时。反对称定义：反对称定义：但是如果但是如果将对称矢量的分量视为标量时，则有的对称有的反对称。将对称矢量的分量视为标量时，则有的对称有的反对称。标量的对称：标量的对称：按照对称性分析按照对称性分析I，II型裂纹场的对称性：

7、应力、应变和型裂纹场的对称性：应力、应变和位移位移？为什么能这样分解？为什么要这样分解？为什么能这样分解？为什么要这样分解？ 滑开型滑开型(II(II型型) )撕开型撕开型(III(III型型) )张开型张开型(I(I型型) )基于基于渐近分析渐近分析12,iiuux x11211211211211221221221221221231231211,22,011,022,00ux xuxxux xuxxux xux xux xuxxux xuxxux xux xI型型II型型III型型1121121122122122123121,21,2,0IIIux xux xuxxux xux xuxxux

8、 x1121121122122122123121,21,2,0IIIIIIux xux xuxxux xux xuxxux x112212312312,0,0,IIIIIIIIIux xux xux xux xs11s22a12s11s22a12su1au2a11a22s12a11a22s12au1su2I型、型、II型两组互相解耦的问题型两组互相解耦的问题I型型II型型【作业题作业题3-1】：为什么求导：为什么求导 和投影算子和投影算子n1，维持所作用场量的对称性？，维持所作用场量的对称性？而而 和和n2颠倒所作用场量的对称性？此处颠倒所作用场量的对称性？此处n1 、 n2是是1、2方向方向

9、矢量。方向方向矢量。1x2x在力学研究中如何将问题简化？在力学研究中如何将问题简化？ 1.1. 用线性叠加原理将一个复杂问题分解成几用线性叠加原理将一个复杂问题分解成几个简单的或已知的问题个简单的或已知的问题 2.2. 通过量级分析舍去小量，抓住主要矛盾通过量级分析舍去小量，抓住主要矛盾 3.3. 尽量将问题解耦而逐个分析尽量将问题解耦而逐个分析 4.4. 先研究简单和理想化的问题，再逐渐复杂先研究简单和理想化的问题，再逐渐复杂化或修正化或修正0,3, 3321u332032 u反平面剪切问题（一个相对简单的问题）反平面剪切问题（一个相对简单的问题）整理可得调和方程（或由整理可得调和方程（或由

10、NavierNavier方程直接简化）方程直接简化）渐近解渐近解如何求解？如何求解？2223333222110uuuurrrrM.L. Williams. On the stress distribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957).The form of the singular field is universal to cracked body, regardless of the shape of the body and the crack.

11、133uru 312sin1cos1uCC2233210d uud3310atur 边界条件边界条件1212cos1sin10cos1sin10CCCCM.L. Williams. On the stress distribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957).1212cos1sin10cos1sin10CCCCcos1sin10cos1sin1sin 21010, 1, 2,2nn 0为什么？为什么？210012RRRijijUdrdrrdr ,ijij

12、rr应变能有限应变能有限211 010 02n11,2n 1231sin2ur C忽略非奇异项忽略非奇异项13123sin22ruCrr13123cos22uCrr应力奇异性应力奇异性1231sin2ur C13123cos22uCrr13123sin22ruCrr31+2311-2310at0at=at-uuC ruC r1+-23331-=2uuuC r相对位移相对位移1+123311233112330,at20,at-2,0at02rrrCrCrCr 30lim,02IIIrKrrIIIIII型裂纹尖端的型裂纹尖端的应力强度因子应力强度因子3sin22IIIrKr3cos22IIIKr1

13、232sin2IIIKur利用复变函数方法求解（更为一般）利用复变函数方法求解（更为一般）应力强度因子的量纲为应力强度因子的量纲为MPam1/2Augustin CauchyBernhard Riemann【作业题作业题3-2】 2332zw推导？推导？，平面应力，平面应变1343T T应力应力起源于裂纹的稳定性（stability）与偏折（kinking）小小 结结 （一）（一）v断裂模式及对称性分析断裂模式及对称性分析v利用利用渐近方法渐近方法、复变函数方法复变函数方法求解了求解了III型裂纹场型裂纹场v引入了引入了应力强度因子应力强度因子v力学研究中如何将问题简化力学研究中如何将问题简化

14、作作 业业 题题【作业题作业题3-1】：为什么求导：为什么求导 和投影算子和投影算子n1，维持所作用场量的对称性？，维持所作用场量的对称性？而而 和和n2颠倒所作用场量的对称性？此处颠倒所作用场量的对称性？此处n1 、 n2是是1、2方向方向矢量。方向方向矢量。1x2x【作业题作业题3-2】：证明在用复变函数求解：证明在用复变函数求解III裂纹时，力边界条件可表示为裂纹时，力边界条件可表示为 dltzll031ImtSz， 3t给定面力给定面力【作业题作业题3-3】：证明：裂纹尖端场级数展开第二项所对应的变形场均为：证明：裂纹尖端场级数展开第二项所对应的变形场均为无奇异的均匀变形场（无奇异的均匀变形场（ I、II 、III 型均要做），并说明该项的物理意义。型均要做），并说明该项的物理意义。作作 业业 题题【作业题作业题3-4】：根据如下的方程、边界条件及应力函数形式，求：根据如下的方程、边界条件及应力