2020届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题(解析版)

1、第1页共 22 页2020 届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题、单选题11.已知集合A x|-2x4,By|ylg x, x110 ，则AI B()A.2,2B.(1,)C.1,2D.1(2,)【答案】C【解析】先解得不等式12x4及1x时函数y lgx的值域，再根据交集的定义41求解即可【详解】1由题,不等式2x4,解得2 x 2,即A x| 2 x 2；41因为函数y Igx单调递增，且x，所以y 1,即B y | y 110则A B 1,2,故选:C【点睛】本题考查集合的交集运算，考查解指数不等式，考查对数函数的值域2 设 i是虚数单位，5i若复数 a(a2 iR）是纯虚数，则 a 的

2、值为（)A .3B. 3C. 1D .1【答案】D【解析】整理复数为b ci的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为 0,即可求解【详解】5i5i 2 i由题,aa -a 2i1 a 1 2i2 i2 i 2 i因为纯虚数，所以a 1 0,则a1,故选:D【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围，考查复数的除法运算第2页共 22 页3.“a2”是 “ x 0,aa 2,进而判断命题之间的关系【详解】1x，则ax故选:A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，考查利用均值定理求最值4 甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示甲乙9 3g6 Z 07用0g2 61甲同学成绩

3、的中位数大于乙同学成绩的中位数；2甲同学的平均分比乙同学的平均分高；3甲同学的平均分比乙同学的平均分低；4甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差以上说法正确的是（）A .B.C .D .【答案】A【解析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数，即可判断，再根据数据集中程A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 x 0,a，利用均值定理可得x -2,则xmin0,a因为2,当且仅当x -时等号成立，x所以2,因为a |a所以a 2”是x 0,ax的充分不必要条件，xminn第 3 页共 22 页度第4页共 22 页判断.【详解】X甲=- 72+76

4、+80+82+86+90 =81区乙=- 69+78+87+88+92+96 =85,则6 6X乙，故错误，正确;显然甲同学的成绩更集中，即波动性更小，所以方差更小，故正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征，考查由茎叶图求中位数、平均数5 刘徽（约公元 225 年-295 年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个 圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形（如图所示），当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和

5、近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到【答案】A123602r sin,由割圆术可得圆的面积为r2n.3602sin，当n 180时即可为所求.n n【详解】 由割圆术可知当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积 设圆的半径为r,每个等腰三角形的顶角为360n所以每个等腰三角形的面积为1r2sin360,2nAQQCQQCQ所以圆的面积为r2n r2sin- ，即sin 2nn所以当n 180时，可得sin360sin2 18018090故选:A由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为尘8281,乙同学成绩的中位数为87 8887.5,故错误;nB.180n270nD360

6、sin 2的近似值为（【解析】设圆的半径为r,每个等腰三角形的顶角为360，则每个等腰三角形的面积为n1 2 . 360击A 90n第 3 页共 22 页【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，考查阅读分析能力6 .函数f xX22- a的一个零点在区间x1,2内，则实数a 的取值范围是（)A .1,3B.1,2C.0,3D.0,2【答案】C2【解析】显然函数f x 2xa在区间1,2内连续，由f x的一个零点在区间x1,2内,则f 1 f 2 0,即可求解.【详解】2由题，显然函数f x 2x a在区间1,2内连续，因为f x的一个零点在区间x1,2内,所以f 1 f 20,即2 2 a 4

7、1 a 0,解得0a3,故选:C【点睛】本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题7已知圆|沁.宀沁=；冷沁;截直线厂匸 1 所得线段的长度是 h 打，则圆网与圆）斗丫-1） - 1 的位置关系是（ ）A .内切B.相交C .外切D .相离【答案】B【解析】化简圆I i，I：-. I 到直线曰的距离：1 一：r r I 厂r,又M1.1）七可斗何二忑斗 |NfN| 0，即函数 F (x)在定义域上单调递增. ex1f x f 2x 1f x f 2x 1口/、/Vr，即 F(x)vF ( 2x1)ee二xV2x 1，即 x 1-不等式ex1f x f 2x 1的解为1,故答案为：1,【点睛】本题

8、主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键.四、解答题17.已知函数f x 1 2 3sinxcosx 2cos3x m在R上的最大值为 3.(1) 求m的值及函数f x的单调递增区间；(2) 若锐角ABC中角A B、C所对的边分别为a、b、c，且f A 0,求b的c取值范围2【答案】(1)m 1,函数f x的单调递增区间为kk,k Z； (2)63根据已知，可以求出m的值，再结合正弦型函数的性质求出函数f x的单调递增区间(2)由(1 )结合已知f A 0,可以求出角A的值，通过正弦定理把问题 的取值c范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知ABC是锐角三角

9、形，三角形内角和定理，最后求出一的取值范围c【详解】解：(1)f x 1 2 3si nxcosx 2cos2x m、3sin2x cos2x m 2sin 2x m6由已知2 m 3，所以m 13【解析】(1)运用降幕公式和辅助角公式,把函数的解析第15页共 22 页【点睛】本题考查了降幕公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性,考查了数学运算能力218 已知数列an的前 n 项和Sn3n 8n,bn是等差数列，且a.bnbn1.(i)求数列bn的通项公式；人(an1)n 1(H)令Cn-.求数列Cn的前 n 项和人.(bn2)【答案】(I) -;(H)-【解析】试题分

10、析：(1 )先由公式anSnSn 1求出数列an的通项公式；进而列方程组求数列bn的首项与公差，得数列bn的通项公式；(2)由(1)可得3令2k-2x-2k,k Z262得kx k2,kZ63因此函数fx的单调递增区间为kk2,k Z63(2)由已知2si n2A -1 0,sin2A=1662由o A 得一2A -7，因此2A52666666所以A 32sin 2x因此f xbsin BsinC3csi nCsin Csin C因为为锐角三角形ABC，所以，解得C -_ 6 22因此tanC那么1.3cosC sin C22ta nC第16页共 22 页n 1Cn3 n 1 2，再利用 错位

11、相减法”求数列Cn的前n项和Tn.第17页共 22 页【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用列的前n项和，属于难题错位相减法”求数列的前n项和是重点也是难点，利用错位相减法求数列的和应注意以下几点：掌握运用 错位相减法求数列的和的条件（ 个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以119如图，已知四棱锥P ABCD的底面是等腰梯形，AD/BC,AD 2,BC 4,ABC 60, PAD为等边三角形，且点 P 在底面ABCD上的射影为AD的中点G,点 E 在线段BC上，且 CE:EB 1:3 .试题解

12、析：（1）由题意知当n 2时，anSnSn 16n 5，当n 1时,a1S111，所以an6n 5.设数列bn的公差为a1由a2bi12bid3d，可解得bi4,d3，所以bn3n 1(2)(1)知6nC3nn6n32n，又TnG qC3cn,得Tn2 2223242n 1，2Tn233 244 251 2n 2,两式作差，得Tn2223242n2n 234 2n142 112n 23n 2n 2所以Tn3n2n2考点 1、 待定系数法求等差数列的通项公式;2、利用错位相减法”求数列的前n项和.错位相减法”求数q.第18页共 22 页（1）求证：DE平面PAD.第19页共 22 页（2）求二面

13、角A PC D的余弦值.【解析】（1）由等腰梯形的性质可证得DE AD,由射影可得PG平面ABCD,进而 求证；（2）取BC的中点 F,连接GF，以 G 为原点，GA所在直线为 x 轴,GF所在直线为 y轴,GP所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系，分别求得平面APC与平面DPC的法向量, 再利用数量积求解即可【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，Q点 E 在线段BC上，且 CE : EB 1:3 ,点 E 为BC上靠近 C 点的四等分点，Q AD 2,BC 4,CE 1,DE AD,Q点 P 在底面ABCD上的射影为AD的中点 G,连接PG,PG平面ABCD,Q DE平面ABCD, PG D

14、E .又AD PG G,AD平面PAD,PG平面PAD,DE平面PAD.ft（2）取BC的中点 F,连接GF，以 G 为原点，GA所在直线为 x 轴,GF所在直线为 y轴,GP所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系，如图所示,【答（1）证明见解析（2）亘13由（1）易知，DE CB,CE 1,第20页共 22 页又 ABC DCB 60 ,DEGF 、3,Q AD 2, PAD为等边三角形，PG 3 ,则G(0,0,0),A(1,0,0),D( 1,0,0),P(0,0, 3),C( 2,. 3,0),uurULM_ uuu_umrAC ( 3.3,0),AP ( 1,0, .3),DC (

15、1,.3,0),DP设平面APC的法向量为mn （X|, y1, z（）,令x 3,则y 3,Z11, m ( . 3,3,1),设平面DPC的法向量为n (x2, y2, z2),0 x2. 3 y200即X2、3Z20令X23,则 y21, Z21, n(3,1, 1)设平面APC与平面DPC的夹角为Q则m n3 3 165COSm n13、5二面角A PC D的余弦值为一65.13【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查运算能力与空间想象能力20 某单位准备购买三台设备，型号分别为A, B,C已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购

16、买该易耗品，每件易耗品的价格为100 元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品， 每件易耗品的价格为 200 元.(1,0,、 .3),ruuvm ACruuvm AP0，即03x1、3y10 x1、3z,0riuu/ nDCriuu/ nDP第21页共 22 页为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.每台设备一个月中使用的易耗品的件数678频数型号 A30300型号 B203010第22页共 22 页型号 C04515将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独

17、立(1)求该单位一个月中A,B,C三台设备使用的易耗品总数超过21 件的概率;(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买 20 件还是 21 件易耗品？1【答案】(1)( 2)应该购买 21 件易耗品6【解析】(1)由统计表中数据可得型号分别为A, B,C在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率，设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则P(X 21) P(X 22) P(X 23),利用独立事件概率公式进而求解即可；(2)由题可得 X 所有可能的取值为19,20,21,22,23,即可求得对应的概率，再分别讨论该单位在购买设备时应同

18、时购买20 件易耗品和 21 件易耗品时总费用的可能取值及期望即可分析求解【详解】(1)由题中的表格可知设该单位一个月中A, B,C三台设备使用易耗品的件数分别为x,y,z,则1111P(x 6) P(x 7)2,p(y 6)37)?P(y 8)?P(z 7)设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则 P(X21)P(X22)P(X 23)而 P(X22)P(x6,y8,z8) P(x7, y 7, z 8) P(x 7, y 8,z7)1111111 1372 642242 6448 ,1111P(X 23) P(x7,y8,z 8) 一 _ -26 448A 型号的设备一个月使用

19、易耗品的件数为B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为301602；201 3060360453 157和8的频率分别为五6,7,8 的频率分别为6 和 7 的频率均为丄10260第23页共 22 页丄711故 P(X 21)48486第24页共 22 页1即该单位一个月中A,B,C三台设备使用的易耗品总数超过21 件的概率为丄.6（2）以题意知,X 所有可能的取值为19,20,21,22,23P(X19) P(x6,y6,z7)11 31 ；23 48P(X20) P(x6,y6,z8)(x6,y7,z 7)P(x7,y6,z7)11 111 31 131

20、723 422 42 3448;P(X21) P(x6,y7,z8)(x6,y8,z7)P(x 7,y6,z8) P(x 7,y7,z7)11 111 31 1111 31722 426 42 3422 448 ；由（ 1)知,P(X22),P(X23)14848 若该单位在购买设备的同时购买了20 件 易 耗 品，设 该 单 位 一 个 月 中 购 买 易 耗 品 所 需 的 总费用为Y元则Y的所有可能取值为2000,2200,2400,2600,11723P(丫2000)P(X19)P(X 20)-84848 ；17P(丫2200)P(X21)48 ；7P(丫2400)P(X22)48 ；

21、P(丫2600)P(X23)148 ；231771EY20002200 一2400 2600214248484848若该单位在肋买设备的同时购买了21 件 易 耗 品，设 该 单 位 一 个 月 中 购 买 易 耗 品 所 需 的 总【点睛】本题考查独立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望2 2X y21 .已知直线xy 1过椭圆一221 a b 0的右焦点，且交椭圆于A, B 两a bP(丫22100)P(X19)P(X20) P( X 21)848486?7P(丫22300)P(X22)48 ；P(丫22500)P(X23)148 ；EY252100 -23007250012138

22、 ；64848费用为丫2元，则丫2的所有可能取值为EY211717EY ,所以该单位在购买设备时应该购买 21 件易耗品2100,2300,2500,，考查数据处理能力第25页共 22 页2 1点，线段 AB 的中点是M上,3 3（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线 I 与线段 AB 相交（不含端点）且交椭圆于 C,D 两点，求四边形ACBD面积的最大值【答案】（1）L y21（ 2）心23【解析】（1）由直线x y 1可得椭圆右焦点的坐标为（1,0）,由中点M可得42y2y1彳八厂X1X2,y1y,且由斜率公式可得 -1,由点代B在椭圆上，则33x2x-i2 2 2 2%笃1,笃竺1，二者

23、作差，进而代入整理可得a22b2,即可求解；a b a b（2）设直线I : y kx,点代B到直线|的距离为d1,d2,则四边形的面积为111S |CD d1-CD d2-|CD d1d2，将 y kx 代入椭圆方程，再利用弦长公式求得CD，利用点到直线距离求得d1,d2,根据直线 I 与线段 AB （不含端点）相交，可得【详解】2 1因为线段 AB 的中点是M ,-3 3设A,B X242y2y11X1,%,y2，则为血,y1y2,且33x2x122222 22 2又笃y12 x2V2x2x1y2y120,1，221，作差可得2ababab则2%X2x2y2y1y2%2-0,得2 2a 2

24、b2ab又 a2b2c2,c 1 ,所以a22,b21,241k 0 13k30,即k1，进而整理换元，由二次函数性质求解最值即可4（1）直线x1与 x 轴交于点（1,0），所以椭圆右焦点的坐标(1,0)，故c 1,第26页共 22 页因此椭圆的方程为 y21.2第27页共 22 页(2)由(1)联立2x21,解得不妨令 w，设直线I : y kx，代入2 亠解得 x或2k 1132x2y 1，得2，易知直线I的斜率存在，2*22k 1 x2,2k 1设C X3,y3,D X4, y4,则対x42k21 2k22/2.2k21则 CD 1 k2x3222k21因为 A 0,1 ,B -,3到直

25、线 ykx 的距离分别是d1,/k2，d24k133k2由于直线 I 与线段AB（不含端点）相交，所以 ko,即k所以 d14kd3d2,r4k 13-1 k2四边形ACBD的面积1 12|CD|d1-|CD dd1d2所以1S4.23213t-即k3因此四边形ACBD面积的最大值为 土33【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中的四边形面积问题，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查运算能力第28页共 22 页第29页共 22 页a22.已知函数f x 2%2X lnx b 1,a,b可求解;ln xg x，则gxgfx)0,得0 x e；由gfx)0,得x e,所以g x在0,e上单调递增，在e,上单调递减，e1且当x e时,0 g x ；当0 x e时,geR.(1)当b -1时，讨论函数f x的零点个数;(2)若f x在0,上单调递增，且 c2aeb求 c 的最大值.【答(1)见解析(2) 2【解(1)将b1代入可得f xaxln x,令f(x)= 0，则In x,设xln x，则转化问题为g x与yxa2的交点问题,利用导函数判断g X的图象，即(2)由题可得