2019-2020学年上海市上海外国语大学附属上外高中高二上学期期中数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1414 页2019-2020 学年上海市上海外国语大学附属上外高中高二上学期期中数学试题、单选题【答案】D D【解析】根据等比数列的性质，进行判断即可【详解】对其它选项，均满足等比数列通项公式的性质 故选：D.D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，属基础题1 1 .如果数列an是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是(C C .anan 1D D .anan取等比数列an1n，则数列anan 10不是等比数列，故D D 错误;2 2 .等比数列an的前n项积为Tn，并且满足a11,印009印0101 0,a1009a1010给出下列结论:a20221；a1009a101

2、110；T1010是Tn中的最大值；使Tn，现1成立的最大自然数n是 20192019,期中正确的结论个数是(B B. 2 2【答案】A A【解析】由a11,6009印0101 0,可得公比的范围，结合数列的单调性，对四个选项进行逐一判断即可 【详解】第2 2页共 1414 页因为ai009a101010,故可得afq20171,因为a11，故可得q 0,因为a10091a101013)009和a1010均大于1 1，与已知矛盾，故q 0,1因此厲0091，a10101，数列an是个递减数列. .对，因为数列是个减数列，且a)0101，故a20221，故错误;对，a1009a10113a101

3、0，因为a10101，故a1009a10111，故 正确；对 ，T1010T1009a1010，因为a11，数列是减数列，且a10091，a10101故Tn中最大值为T1009，故 错误；1009 2019对 ，T2018a1009a10101，T2019a10101，故Tn1成立的最大自然数n是 20182018，故错误 综上所述，只有 1 1 个正确 . .故选： A.A.【点睛】本题综合考查等比数列的下标和性质，以及数列的单调性，属中档题 . .3 3在等比数列 耳中，公比为q，则“q 1”是等比数列an为递增数列”的（ ）A A 充分非必要条件B B 必要非充分条件C C 充分必要条件

4、D D 既不充分也不必要条件【答案】 D D【解析】 当q 1时，当a10时，可知等比数列不是递增数列，得不充分条件；当等比数列an为递增数列时，当a10时，0 q 1，得不必要条件；综上可得结果 . .【详解】当q 1时，若q = 2,ai2，则a?4，则a?4，此时等比数列a.不是递增数列“q 1”是“等比数列an为递增数列 ”的不充分条件；当等比数列an为递增数列时，此时an 1an，即a1qna1qn 1若a10，则qnqn 1，此时0 q 1等比数列an为递增数列”是q1”的不必要条件；综上所述： “q 1”是“等比数列an为递增数列 ”的既不充分也不必要条件 本题正确选项：D【点睛

5、】本题考查充分条件、 必要条件的判定， 关键是通过等比数列的通项公式的形式判断出数 列为递增数列和公比之间的关系 . .第 2 2 页 共 1414 页第4 4页共 1414 页4 4 对于不等式一n n n 1 n N，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n 1时，.1i i i，不等式成立 (2)假设当n k k N时，不等式k2k k 1成立，当n k 1时，k 12k 1. k23k 2. k23k 2 k 2. k 22k 11. .当n k 1时，不等式成立，则上述证法()A A .过程全部正确B.B.n 1验得不正确C.C.归纳假设不正确D D .从n k到n k 1的推理

6、不正确【答案】D D【解析】 根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论 【详解】在n k 1时，没有应用n k时的假设，即从n k到n k 1的推理不正确 故选：D.D.【点睛】本题考查数学归纳法，考查对数学归纳法证明过程的理解，属于基础题. .二、填空题35 5.等比数列an中：a4a7,则sin (aza?)_2【答案】-1-1【解析】 根据等比数列下标和性质，结合正弦函数求值，即可求得【详解】因为数列an是等比数列，故a2a9a4a7故sin心2玄9)sin1. .2故答案为：-1.-1.【点睛】本题考查等比数列下标和性质，以及特殊角的正弦值6 6 .等差数列an中：d 1，若a1a3a5

7、-a9999，则SI00_第5 5页共 1414 页【答案】248248第6 6页共 1414 页【解析】利用数列前n项和的性质，求出偶函数项的和，再求解出Si。. .【详解】因为a a3a5. a9999根据等差数列的性质：a2a4Laioo99 50d 149故S10099 149248. .故答案为：248.248.【点睛】本题考查等差数列前n项和的性质，属基础题. .7 7 已知等差数列an中，ai10，当且仅当n 5时，前n项和Sn取得最大值，则公差d的取值范围时_【答案】5, 22【解析】 根据等差数列的前n项和的公式，讨论其单调性，结合题意，即可求得范围【详解】因为数列中ai10

8、,-J故其前n项和Sn n210- n是关于n的二次函数，且n N. .22因为当且仅当n 5时，前n项和Sn取得最大值9 11越，解得故答案为：5, 22【点睛】 本题考查等差数列前n项和的函数属性，属基础题8 8 “ab”是“a,x,b ”成等比数列的 _条件；【答案】既不充分也不必要【解析】 通过反例，结合等比中项的定义，进行推理和说明故只需该二次函数的对称轴范围在9 112,2第7 7页共 1414 页【详解】当a x 0时，由xab无法推出“a,x,b成等比数列，故不充分;当a,x,b”成等比数列，且a 0,b0,c0时，得不到x ab，故不必要 故答案为：既不充分也不必要【点睛】本

9、题考查充要条件的判定，本质是关于等比数列的考查，属基础题【详解】3132一n一n ,n 5229 9 .数列an中：a32 1,且数列是等差数列，则数列an1an的通项公式【答案】19 n【解析】 根据条件，求出等差数列an的通项公式，再推导出1an即可. .因为数列1an1是等差数列，记bn1亍，故bn为等差数列,由题可知:b31a31?b71a71故可得数列bn的公差为:b7b3丄，首项b124,n故bn-5241an1竺1n519n故可得：an19n 5【点睛】本题考查等差数列基本量的求解，属基础题1010 .已知数列an满足an3n 17,则数列an的前n项和Tn第8 8页共 1414

10、 页【答案】Tn23n 31“n 80, n 6 2 2【解析】找出数列an与 0 0 的大小关系的临界值,根据n的取值范围,进行分类讨论即第9 9页共 1414 页【详解】 因为an3n17，故an 13n 14，则an 1a.3, 故该数列是一个首项为-14-14,公差为 3 3 的等差数列,32设数列On的前n项和为Sn,Snn2【点睛】【详解】因为 331,3anan 1anan 10故丄3n3 3，故是首项为 1 1，公差为an3 3 的等差数列,an 11则3n3n 2，解得an，即可得印。3n 212831n20，解得n 5，故该数列的前5 5 项都是负数，从第 6 6 项开始都

11、为正数 则Tn3132a34a5a6LanS5SnS5Sn2S5143n n 11014 6则TnSn31n8023231nn2 2故答案为:Tn31n23n2232只n , n 5231n 80, n 62本题考查绝对值数列的前n项和，其难点在于分类讨论1111.数列an中：a11,3anan 1anan 10(n N ,n 2),则印。【答案】128【解析】 根据递推公式,构造等差数列，进而求解通项公式26第1010页共 1414 页故答案为:28【点睛】本题考查构造数列求解通项公式，属经典题型1212 记实数等 比数列an的前 n n 项和为Sn若 SwSw10,S3070，则So= =

12、_【答案】150150【解析】【详解】从而，r2【答案】【详解】故答案为:【点睛】1 an*，若对任意的n N,an都有bnb5成立， 则实数a的取值范围是记blS10,b2S20S10 , 4S30S20,b4S40S30设 q q 为an的公比，贝Ub b1、b b2、b b3、b b4构成以10为公比的等比数列.曰70疋，bb2b3b-i1r r210 1解得r 2或r3(舍去) 故S4010 1 r150.1313 .已知数列an是等比数列，其前n项和为Sn3nk(n N )，则常数【解析】根据等比数列前n项和的性质，即可求得参数因为数列an是等比数列，故Snna11 qa11qqna

13、11 q故Sn3nk= =3n本题考查等比数列前n项和的性质，属数列基础题1414 .已知an是首项为a，公差为1的等差数列,第1111页共 1414 页【答案】-4,-3【解析】根据bn1 ann的通项公式，讨论其单调性，从而找到参数的取值范围26第1212页共 1414 页【详解】由题可知:bn1-n 1 a当n,1a和1 a,，该数列单调递减 若1 a0, 则该数列在n N时, 单调递减，不可能满足题意;若1 a0,要满足题意，只需：1 a 4,5解得：a4, 3. .故答案为:-4,-3. .【点睛】本题考查数列的单调性， 要用函数的角度去看待数列的单调性，同时也要注意其与函数不同的点

14、 【详解】结合对勾函数的单调性,27故答案为：274【点睛】11616.已知f (x),各项均为正数an满足a11,an 2f (an),若a2018a?。?。,1515 .已知数列an满足a1151an*a2n n N，则別的最小值为n【答案】274【解析】利用累加法求得通项公式，再求解也，讨论其最小值 n因为anan2n,故可得:anan 1an 2La2ain2n解得:2ann n15，15可知：当n4 4 时，取得最小值，最小值为:274本题考查累加属综合基础题第1313页共 1414 页1 x则 3 320QuQu 的值为【答案】13 5326第1414页共 1414 页【解析】 根

15、据递推公式，可得奇数项的值；再根据a2oi8a?。?。即可求得偶数项的值【详解】1an 2f (an)，故可得an21an1235因为a11，故可得a3,a5,a7,a923588厂,1an，又因为a2018a2020131 a2018化简得a?oi8a2018故答案为：135326【点睛】本题考查由递推公式求数列中的某几项，属基础题；关键的解题步骤是,规律 三、解答题c531717.等差数列4中，设其前 n n 项和为Sn，若印,ak,6 2(1)(1)求此数列的公差d(2)(2)当n为何值时，Sn取得最大值1【答案】(1 1)(2 2)n 5或66【解析】(1 1)根据数列的基本量，列方程

16、进行求解即可；a20181或a2018(舍)，又因为a20181 a2016，解得a2016冋理a2018a2016a2014a2012a20则 a a20a a11= = 13213.5 326要发现数列的,且前k项和Sk5第1515页共 1414 页(2 2)由(1 1)可用公式求得Sn，根据二次函数的单调性，即可求得【详解】(1(1)设该数列的公差为 d d，根据题意:5k1解得k 15,d. .61故该数列的公差为61211(2 2)由(1 1)可知，Snn2n12 12该二次函数对称轴为：5.55.5,又n Z故当n 5或者n 6时，Sn取得最大值. .【点睛】本题考查用基本量求解等

17、差数列的通项公式，以及求等差数列前n项和的最值. .1818.已知等差数列an的公差d 0,an中的部分项组成的数列ak1、ak2、L、L恰好为等比数列，其中k11,k25,k517，求数列 匕 的通项公式. .【答案】kn2 3n 11,nN【解析】先由数列akn前三项成等比数列，得出印与d的等量关系，并求出数列akn的公比，利用等差数列和等比数列的通项公式得出关于kn的等式，解出即可. .【详解】由题意可知，a1、a5、a17成等比数列，则a；耳备，即a14d2a1a116d,化简得8a1d 16d216a1d,Q d 0,a12d,an & n 1 d 2dn 1 dn 1 d,

18、a56d,等比数列ak的公比为qa56d3,aknak13n 12d 3n 12 3n 1d,印2d由等差数万ii的彳通项公式得“kn1 d,kn12 3n1，解得kn2 3n 11由等差数列的通项公式得akn因此，数列kn的通项公式为kn23n11,kN. .【点睛】第1616页共 1414 页本题考查等差数列的通项公式，同时也考查了等比数列的定义，在解题时要根据条件确定出等差数列首项和公差之间的等量关系，并利用等差数列和等比数列的通项公式建立等式求解，考查计算能力，属于中等题. .第1717页共 1414 页1919.某林场现有木材存量为a，每年以 25%25%的增长率逐年递增，但每年年底

19、要砍伐的 木材量为b，经过n年后林场木材存有量为y【详解】根据以上数据归纳推理得:nn55na44用数学归纳法证明如下:(1)求y f（n）的解析式(2)为保护生态环19a，那么该地区会发lg27a，如90.30)【答案】（1 1）f nn5 a4n51 b（ 2 2）会；8 8 年后4【解析】（1 1）根据前三年木材存量,归纳出解析式,再用数学归纳法进行证明即可;（2 2）根据（1 1）中所求函数关系式,解不等式即可(1(1) 1 1年后，木材存量5a b42 2 年后,木材存量3 3 年后,木材存量当n 1时，f 1显然成立;假设当nk, k2,k时，f1 b成立,则当n k1时,第 12

20、12 页共 1414 页故：经过 8 8 年后，该地区就会发生水土流失【点睛】本题考查归纳推理，以及用数学归纳法证明，涉及不等式的求解，属函数应用综合题 2020 已知数列an的前n项和Sn满足条件2Sn3 an1, ,其中n N(1)(1)证明：数列an为等比数列设数列bn满足bnlog3an若Cnanbn, ,求数列Cn的前n项和. .【解析】试题分析：(1)(1)利用an n& & &1 1n 2化简，易得结论；结合(1)(1)可得Cnn 3n, ,利用错位相减法，结合等比数列的前n项和公式求解即可试题解析：3(1)(1)证明：由题意得anSnSn 1anan 1

21、n 2, ,2二an3an 1, , -3 n 2, ,an 13又S1 a11 a1, ,解得a13, ,2二数列 anan 是首项为 3,3,公比为 3 3 的等比数列. .nn由(1)(1)得an3，则an3, , Cnanbnn 3n, ,设Tn1 312 323 33L n 1 3n 1n 3n, ,即证，当nN时,nn55na 41 b44(2(2)当 b b19a时,72若该地区今后发生水土流失，则木材存量必须小于1971a -a，解得729n5-545两边取对数得nlglg 5lg51 lg2即n7lg5 2lg2 1 3lg2【答案】(1 1)见解析；(2 2)Tn2n 1

22、3n 134第1919页共 1414 页负数的情形；(2)(2)在写出“n n”与“qSqS 的表达式时应特别注意将两式错项对齐”以便下一步准确写出“n qSqSn”的表达式；(3)(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数， 应分公比等于 1 1 和不等于 1 1 两种情况求解. .求：b!,b2,b3,b4,(2(2)猜想数列 b bn的通项公式，并用数学归纳法证明;anan 1,且4aSnbn对于n N*恒成立，求实数a的取值范围3【答案】(1 1)b1-,b244565,b35,b47；(2)bn【解析】(1 1)通过赋值，结合已知条件，即可求得;(2(2)根据数列的规律，进行归纳总结，再遵循数学归纳法的证明过程即可证明;(3)(3) 先求 S Sn，将问题转换为恒成立问题，再求最值即可【详解】(1 1)bnbnbnbn11 21 an1an1 anbn2bn2b