中考数学专题讲练线段最值问题二教师版

1、线段最值问题（二） .利用轴对称求最值 轴对称主要用来解决几条线段的和差的最值问题，相关模型比较多，主要包含以下几种类型： 1 .如图，直线l和l的异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小. 2 .如图，直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P，使PA+PB最小. 3 .如图，直线l和l同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使|PA-PB|最大. 4 .如图，直线l和l异侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使|PA-PB|最大. 6.如图，点P,Q为NMON内的两点，分别在OM,ON上作点A、B,使四边形 PAQB的周长最小. 之和最小.5.如图，点P是NMON内的一点，

2、分别在 OM,ON 上作点A、B,使APAB勺周长最小. .V 7.如图，点A是/MON外的一点，在射线 OM上作点P,使PAf点P到射线ON的距离 / 士 B 8.如图，点A是NMON内的一点，在射线OM上作点P,使PAf点P到射线ON的距离之和最小. 珞 X /p) 3N 口B 9.造桥选址问题 .利用二次函数求最值 利用二次函数求解最值首先需要引入一个未知数作为自变量， 然后根据题目中的等量关系用未知数表示出所求解的线段长度、图形面积等，最后根据函数的增减性，并结合自变量的取值范围,求出最值. .考点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值 二.重难点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值

3、 三.易错点： 1.利用轴对称求解最值时一般情况下都是定点与最值问题，此时直接按照相应模型来求解即可, 如果出现有定点也有动点的情况，可以先把动点固定下来，然后利用模型找到最值时的位置，最后 再去确定动点的位置; 2.利用二次函数求解最值问题时除了明确二次函数的对称轴和开口方向，一定要注意自变量的 取值范围，并不是所有的最值都是在顶点取到. 题模一：利用轴对称求最值 例1.1.1在平面直角坐标系中，点 点DE的坐标分别为（m,73m）,（n, C的坐标分别为（2,0）,（3,J3）,（1,J3）, n）（nn为非负数），贝UCE+DE+DB勺最小值是_. 3 点D、 如图所示: E的坐标分别为

4、（m,J3m）,（n,fn）（m、n为非负数）， ,直线OD的解析式为y=J3x,直线OE的解析式y=yx, 设点C关于直线OE的对称点C所在直线CC的解析式为y=-V3x+b, 把C的坐标（1,寸3）代入可得-T3+b=J3,解得b=2J3, 故直线CC的解析式为y=-屈x+2屈, 3 y=Tx 、y=-V3x+23 x=1.5 解得I氐jy= 2 3 故交点坐标为（1.5,以） 2 点C坐标为（2,0）, 设点B关于直线OD的对称点B所在直线BB的解析式为y=- 3 把B的坐标（3,石）代入可得-后+b=y与，解得6=23, 、3 故直线BB的解析式为y=-3x+2V3, y=.3x 联立

5、直线OD的解析式和直线BB的解析式可彳导36 y=x+ J3 x=1.5 解得33,y= 2 故交点坐标为（1.5,义3）, 2 联立直线OE的解析式和直线CC的解析式可得 x+b, 点B坐标为(0,2J3), 则B，C=722+(273)?=4,即CE+DE+DB的最小值是 1c 例1.1.2已知抛物线y=-x2+bx经过点A(4,0).设点C(1,-3),请在抛物线的对称轴上 2 确定一点D,使得|AD-CD|的值最大，则D点的坐标为_. 【答案】(2,-6) 1c 【解析】抛物线y=x2+bx经过点A(4,0), 2 1X42+4b=0, 2 b=-2, ，抛物线的解析式为：y=1x2-

6、2x=1(x-2)2-2, 22 ,抛物线的对称轴为：直线x=2, 丁点C(1,-3), 作点C关于x=2的对称点C(3,-3), 直线AC与x=2的交点即为D, 因为任意取一点D(AC与对称轴的交点除外)都可以构成一个ADC.而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD-CD|VAC所以最大彳1就是在D是AC延长线上的点的时候取到|AD-CD|=AC.把A,C两点坐标代入，得到过AC的直线的解析式即可； 设直线AC的解析式为y=kx+b, 4. 4kb=0 3k+b=3 左/口k=3 解得：w, b=-12 直线AC的解析式为y=3x-12, 当x=2时，y=-6, D点的坐标为（2,-6）.

7、 直绫K=2 例1.1.3如图，/AOB=45,/AOB内有一定点巳且OP=10在OA上有一动点QOB上有一动点 R.若PQRW长最小，则最小周长是（） A.10B.102C.20D,22 【答案】B 【解析】如图，作点P关于OA的对称点R,关于OB的对称点P2,连接P1P2与OA、OB分别 相交于点Q、R,所以，PQ=P1Q,PR=P2R, 所以，4PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=PF2,由两点之间线段最短得，此时APQR周长最小， 连接PiO、P2O,贝U/AOP=/AOP1,OPi=OP,/BOP=/BOP2,OP2=OP, 所以，OPi=OP2=OP=10,/Pi

8、OP2=2/AOB=2X45=90 , 所以， PiOP2为等腰直角三角， 所以，PiP2=2OPi=i02, 即APQR最小周长是i0旌. 故选B. 例1.1.4如图，在锐角ABC中，AB=G/BAC=45,/BAC的平分线交BC于点D,MN分别是 AD和AB上的动点，则BM+MNJ最小值是（） C ANB A.60,n0时，过点P作直线PE!y轴于点E交直线BC于点F,过点F作FGLx轴于点G,连接EG请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值. 【答案】(1)y=-x2+x+2 22 (5,3)或(2,3)4 (3)4非 5 【解析】(1)把A(-1,0),B(4,0)两点的坐标代入y=

9、ax2+bx+2中，可得 a-b+2=0 16a+4b+2=0 1 a=一 解得2 ,3b=- 2 抛物线的解析式为：y=-1x2+3x+2. 22 (2)二.抛物线的解析式为y=-1x2+3x+2, 22 点C的坐标是(0,2), 点A(1,0)、点D(2,0), AD=2-(-1)=3, 1 . CAD的面积=父3父2=3 2， . PDB的面积=3, 点B(4,0)、点D(2,0), BD=2, .|n|=3X2+2=3, n=3或-3, 当n=3时， -m2+m+2=3, 22 解得m=1或m=2,点P的坐标是（1,3）或（2,3）当n=-3时， -1m2+3m+2=-3, 22 解得

10、m=5或m=-2, 点P的坐标是（5,-3）或（-2,-3）. 综上，可得 点P的坐标是（1,3）、（2,3）、（5,-3）或（-2,-3） （3）如图1, 图1 设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n, 点C的坐标是（0,2）,点B的坐标是（4,0）, n=2 4m+n=0 1nn解得m2 Jn=2 BC所在的直线的解析式是：y=-1x+2, 2 ,一点P的坐标是（m,n）, ，点F的坐标是（4-2n,n）, EG2=（4-2n）2+n2=5n2-16n+16=5（n-）2+, 55n0, 当n=8时，线段EG的最小值是：16=45 555 即线段EG的最小值是475. 5 例1.2.2如

11、图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线 y=ax2+bx经过点B(1,4)和点E(3,0)两点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点D在线段OC上，且BD DE,BD=DE求D点的坐标； (3)在条件(2)下，在抛物线的对称轴上找一点M,使彳BDM的周长为最小，并求BDM 周长的最小值及此时点M的坐标； (4)在条件(2)下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点巳使彳PAD 的面积最大？若存在，请求出PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理 由. 【答案】(1)y=-2x2+6x;(2)D(0,1);(3)M(y,普);(4)(奴,

12、学). 【解析】(1)将点B(1,4),E(3,0)的坐标代入抛物线的解析式得： lfb=4 W3b=0 抛物线的解析式为y=-2x2+6x. (2)如图1所示； BD DE, ./BDE=90 . /BDC+/EDO=90 . 又/ODE+/DEO=90 , /BDC=/DE0. fZBCD=ZDOE=90 在BDC和DOE中，ZBDC=ZDE0 IDB=DE . BDCDEO. OD=AO=1 D(0,1). (3)如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B,连接BD交抛物线的对称轴与点M. Xb=3x- 2a2 点B的坐标为（2,4）. 点B与点B关于x=I对称， MB=BM. DM

13、+MB=DM+MB. ，当点D、M、B在一条直线上时，MD+MB有最小值（即BMD的周长有最小值）. 由两点间的距离公式可知：BD=2=,DB力昌乂_）2=乐, . BDM的最小值=V1IV13. 设直线BD的解析式为y=kx+b. 1 将点D、B的坐标代入得：4, 2k+b=4 -3 解得：k=,b=1. 2 ，直线DB的解析式为y=-1-x+1. 将x=1代入得：y=j M(旦，U).24 (4)如图3所示：过点F作FG，x轴，垂足为G. 设点F(a,-2a2+6a),贝UOG=a,FG=-2a2+6a. 例1.2.3如图，OM的圆心M(-1,2),OM经过坐标原点O,与y轴交于点A,经过

14、点A的一条直线l解析式为：y=-1x+4与x轴交于点B,以M为顶点的抛物线经过x轴上点D(2,0)和点C2 (-4,0). (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线l是。M的切线； (3)点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E,PF/y轴，交直线l于点F,是否存在这样的点P,使4PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及4PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由. S梯形DOGF=(OD+FG)?OG=( 2a2+6a+1)3-a3+3a2小，s ODA- OD?OA= xixi=i, SAAGF=yAG?FG= a3+4a2-3a, a2+；a- 当a= 时，SAFDA的

15、最大值为 41 16 .点P的坐标为(上, 4 35 T 【答案】见解析. 【解析】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x+4),将点M的坐标代入得：-9a=2, 解得：a=-2.抛物线的解析式为y=-2x2-4x+. 9999 (2)连接AM,过点M作MGXAD,垂足为G. 把x=0代入y=-1x+4得：y=4,.A(0,4).2 将y=0代入得：0=-1x+4,解得x=8,B(8,0).OA=4,OB=8.2 .M(1,2),A(0,4),MG=1,AG=2.tan/MAG=tan/ABO=1.2 ./MAG=ZABO. .ZOAB+ZABO=90 ,./MAG+ZOAB=90

16、,即/MAB=90 .l是。M的切线. 1 (3)/PFE+/FPE=90,ZFBD+ZPFE=90,./FPE=/FBD.tan/FPE=. 2 .PF:PE:EF=B 2:1.APEF的面积=PE?EF=1X包5PF?立 PF=1PF2. 5 当PF最小时，APEF的面积最小. 设点P的坐标为(x, 2x2 9 fx+”)，则 F(x, 1 _x+4) 2 -PF=(-1x+4) 2 x+与 9 x+4+ 2+4 x9 x- 16=2x2 99 1202 x+= 1899 2+71. 32 PF有最小值, PF的最小值为 71 32 Y 55、 一) 32 APEF 的面积的最小值为=1x

17、(71)2=黑 四边形ABCD中，/BAD=130,/B=ZD=90 BG CD上分别找一点MN,使三角 随练1.1 AMN廿ANM勺度数为( A.80 【答案】C 【解析】 B.90 C.100 D.130 延长AB到A使得BA=AB,延长AD到A使得DA=AD,连接AA与BC、CD分别 交于点M、N,此时AMN周长最小，推出/AMN+/NM=2(/A+/A)即可解决. 延长AB到A使得BA=AB,延长AD到A使得DA=AD,连接AA与BC、CD分别交于点M、 N. ./ABC=/ADC=90, .A、A关于BC对称，A、A关于CD对称, 此时AMN的周长最小, BA=BA,MBLAB, .

18、MA=MA,同理：NA=NA, ./A=MAB/A=ZNAD, .ZAMN=/A+MAB=2ZA,/ANM=/A+/NAD=2/A”, ./AMN+ZANM=2(/A+/A), ./BAD=130, ./A+/A”=180-ZBAD=50M /AMN+/NM=2X50 =100 . 故选C. 随练1.2如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是（12,3）,B点的坐标是（2,7）,在x,y轴上分 别有一点P和Q若有四边形PABQ勺周长最短，求周长最短的值. 【答案】如图所示：四边形PABQ的周长最短, .A点的坐标是（12，B点的坐标是（2,7）,AB=)02+4=429,A12,3),B(2,7

19、), 故AB=.1410=2.74, 则四边形PABQ的周长最短的值为：2在OM上有两点A、B分别到ON的距离为2cm和1cm若在ON上找一点P使PA-PB的值最大，求P点到O点的距离. 【答案】因为A、B在OM上，要使|PA-PB|的值最大，P应在OM上， 如果P不在OM上，则P、A、B构成三角形，根据三角形的三边关系，|PA-PB|AB, 所以，P是OM和ON的交点，即O点， 所以P到O的距离为0. 【解析】根据三角形的三边关系，两边的差小于第三边，可以判定当 |PAPB|的值最大，从而求得P点到O点的距离. 随练1.4小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同

20、侧有A、 B两点，请你在直线l上确定一点P,使得PA+PB的值最小.小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的： 作点A关于直线l的对称点A”. 连结AB,交直线l于点P.则点P为所求. 请你参考小明的作法解决下列问题： (1)如图1,在4ABC中，点DE分别是ABAC边的中点，BC=6,BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使得4PDE的周长最小. 在图1中作出点P.(三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法) 请直接写出4PDE周长的最小值. (2)如图2在矩形ABCD,AB=4,BC=6,G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点， 点E在点F左侧，

21、且EF=1,当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置.(三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法)，并直接写出四边形CGEF周长的最小值 【答案】(1)见解析8(2)6+3月 【解析】该题考查的是将军饮马问题. (1)如图1,作D关于BC的对称点D, 由轴对称的性质可知DP=DP, CDPE=DEDPPE =DEDPPE _DEDE ，当D、P、E共线时C静最小， 即P为DE与BC的交点，1分 此时，由D、E分别为AB、AC中点， P点在OM和ON的交点处 .DE/BC且DE=C=3, 2且D到BC距离为A到BC距离一半，即为2, 由轴对称的性质可知DP=DP,DD_LB

22、C, .DD即为D到BC距离两倍， 所以DD=4, .DE/BC,DD_BC .DD_DE, 在RtADDE中，NDDE=90*, 由勾股定理DE=JDD2+DE2=5, CPE=3+5=8；2-分 (2)如图2,作G关于AB的对称点M,在CD上截取CH=1, 则CH和EF平行且相等， 四边形CHEF为平行四边形， CF=HE, 由轴对称的性质可知GE=ME, CCGEF=CGGEEFCF 二CG1-MEEH _CG1MH 当M、E、H共线时CCGEF最小， 连接HM与AB的交点即为E,在EB上截取EF=1即得F,4分 此时DH=3,DG=AG=AM=3, .DM=9, 在RtDHM和RtAD

23、GC中由勾股定理:MH=#DH2+DM2=3加,DG=，DC2+DG2 CCGEF=5+1+3厢=6+3*10. 随练1.5在平面直角坐标系中，已知y=-1x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P,等腰直角三角形2 ABC的顶点A的坐标为（0,-1）,点C的坐标为（4,3）,直角顶点B在第四象限. （1）如图，若抛物线经过AB两点，求抛物线的解析式. （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为V2时，试证明：平移 后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点. （3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取BC的 中点N试探究NP+B

24、Q1:否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由. 1孙 （1）y=-1x2+2x-1;（2）见解析；（3）当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最 ABC的顶点A的坐标为（0,-1）,C的坐标为（4,3） .点B的坐标为(4,-1). ;抛物线过A(0,-1),B(4,-1)两点, 4c-1 11, -164bc=-1 2 解得：b=2,c=-1, 抛物线的函数表达式为：y=-1x2+2x-1. 2 (2)如答题图2,设顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离泛时，到达P，作PMUy轴, 二5 5分 【解析】（1）二.等腰直角三角形 备用图 PM/x轴，交于M点， 点A的坐标为

25、(0,-1),点C的坐标为(4,3), ，直线AC的解析式为y=x-1, 直线的斜率为1, . PPM等腰直角三角形， ,.PM=PM=1 .抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位， y=-1x2+2x1=1(x2)2+122 平移后的抛物线的解析式为y=-1(x-3)2+2, 2 令y=0,贝U0=1(x3)2+2 2， 解得x1=1,x=52, 平移后的抛物线与x轴的交点为(1,0),(5,0), 12 yx-3 2/日x=1x=3 解？2，得或 yy=0y=2 y=x-1 ，平移后的抛物线与AC的交点为(1,0), ，平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点(1,0). (3)如答图

26、3,取点B关于AC的对称点B,易得点B的坐标为(0,3),BQ=BQ,取AB中点 F, 连接QF,FN,QB,易得FN/PQ,且FN=PQ, .四边形PQFN为平行四边形.NP=FQ. NP+BQ=FQ+BQFB，=2242=2.5. .当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2疾. 随练1.6如图1,已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为(2,6),点B在y轴上，且AD/BC/x轴，过B,C,D三点的抛物线y=ax2+bx+c(aw0)的顶点坐标为(2,2),点F(m,6)是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E. 图1图2 (1)求抛物线的表达式； (2)设四边形ABEF的面积为S,

27、请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； (3)如图2,过点F作FMx轴，垂足为M,交直线AC于P,过点P作PN y轴，垂足为N,连接MN直线AC分另1J交x轴，y轴于点H,G,试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值. 【答案】(1)y=3(x-2)2+2=x2-x+3;(2)S=?m-3 444 .(2Wm6);(3)m=2时，MN最小=修建生地 13Y1313 【解析】(1)二过B,C,D三点的抛物线y=ax2+bx+c(a刈)的顶点坐标为(2, 2), .点C的横坐标为4,BC=4, 四边形ABCD为平行四边形， AD=BC=4, A(2,6), D(6,6), 设抛物线

28、解析式为y=a(x-2)2+2, 丁点D在此抛物线上， 6=a(6-2)2+2, ，抛物线解析式为y=(x-2)2+2=px2-x+3,(2)AD/BC/x轴，且AD,BC间的距离为3,BC,x轴的距离也为3,F(m, 6) E(吗3), 2 BE=, 2 S=(AF+BE)X3=L(m-2+四)X3=m-3 2224 点F(m,6)是线段AD上， .2泡 即:S=ym3 .(2郁 (3)二,抛物线解析式为y=x2-x+3, 4 .B(0,3),C(4,3), A(2,6), ，直线AC解析式为y=-1-x+9, FM，x轴，垂足为M,交直线AC于P 一13 .P(m,-m+9),(2m36)

29、 3. .PN=m,PM=m+9, 2 FM，x轴，垂足为M,交直线AC于P,过点P作PN，y轴， ./MPN=90 , .MN=JpN2+PMn一时9)一招)2A.3 B.33 C.2 D.23 当m=S4时，MN最小= 13V1313 作业1如图，/MON=20,A、B分别为射线OMON上两定点，且OA=2OB=4点P、Q分别为射线OMON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+P的最小值是（） 【答案】D 【解析】 作A关于ON的对称点A,点B关于OM的对称点B,连接AB；交于OM,ON分别为P,Q,连接OA,OB, 贝UPB=PBAQ=AQ,OA=OA=2,OB=OB=4,/MOB=/

30、NOA=/MON=20, 例：说明代数式般+1+(x3)2+4的几何意义,并求它的最小值. 0)是x轴上一点，则J(x0)2+12可以看成点P与点A(0,1)的距离，*；(x3)2+22可以看成 点P与点B(3,2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是 PA+PB勺最小值. .AQ+PQ+PB=AQ+PQ+PB=A 1OA1cos60=,=, 2OB2 /OAB=90 .AB，vOB2-OA2=23, 线段AQ+PQ+PB的最小值是： B,A*s*1 0V、卜BA 7 Af 作业2阅读材料：w B/AOB=60 2氯, 解: x21+(x-3)24=,(x-0

31、)212+( x-3)2+22,如图，建立平面直角坐标系，点P(x, 设点A关于x轴的对称点为A,则PA=PA,因此，求PA+PB的最小值，只需求PA+PB的最小值，而点A、B间的直线段距离最短， 所以PA+PB的最小值为线段AB的长度.为此， 构造直角三角形ACB因为AC=3,CB=3所以AB=3OA)，点C是y轴上一点，其坐标为(0,-3). (1)求A,B两点的坐标； (2)求经过AB,C三点的抛物线的关系式； (3)D是点C关于该抛物线对称轴的对称点，E是该抛物线的顶点，MN分别是y轴、x轴上的两 个动点. 当CEM是等腰三角形时，请直接写出此时点M的坐标； 以0E、MN位顶点的四边形

32、的周长是否有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出此时点 M,N的坐标；若没有，请说明理由. 5 即t=一分 (2)y=(x+2)(x-6)=X2-x-3.44 11 (3)有；M(0,而-3)、(0,-$5-3)、(0,-5)或(0,一一) 2 M(0,-5)N(,0)37 【解析】(1).x2-8x+12=0, (x-2)(x-6)=0, 解得：x1=2,x2=6, .QBOA, OA=2,OB=6, .点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(6,0). (2)设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x-6)(aw0), 将C(0,-3)代入得：-3=-12a, 一11 解得：a=-, 4

33、，经过A,B,C三点的抛物线的关系式为：y=1(x+2)(x-6)=-x2-x 44 (3)依据题意画出图形，如图1所示. 设点M的坐标为(0,m),3. ;抛物线的关系式为y=1x2-x-3=1(x-2)2-4,44 ，点E(2,-4), CE=5,CM=|m+3|,ME=J4+(m+42. CEM是等腰三角形分三种情况： 当CE=CM时，有5=|m+3|, 解得：m=J53或m=55-3, 此时点M的坐标为（0,5-3）或（0,-展-3）; 当CE=ME时，有5=、：4+（m+42, 解得：m=-3（舍去）或m=-5, 此时点M的坐标为（0,-5）; 当CM=ME时，有|m+3|=,4+（

34、m+42, 11 解得：m=-， 2 11 此时点M的坐标为（0,-）.2 综上可知：当CEM是等腰三角形时，点M的坐标为（0,5-3）、（0,-5-3）、（0, 八11 5）或（0,-）.2 四边形DEMN有最小值. 作点E关于y轴对称的点E,作点D关于x轴对称的点D,连接DE交x轴于点N,交y 轴于点M,此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小，如图2所示. 点C(0,-3),点E(2,-4), 点D(4,3),DE=J(4_22+-J34j5. .E、E关于y轴对称，D、D关于x轴对称， EM=EM,DN=DN,点E(2,-4),点D(4,3), EM+MN+DN=DE1=J4-(2

35、)f十飞一=晒, C四边形DEMN=DE+EM+MN+DN=&屈. 设直线DE的解析式为y=kx+b, 3_4kb 则有 -4-2kb 直线D，E，的解析式为y=7x-5. 63 令y=7x5中x=0,贝Uy=5,633 5、 .点M(0,);3 令y=7x-5中y=0,则7x5=0,解得：x=10,63637 一z10、 .,点N(了，0). 故以D、E、M、N位顶点的四边形的周长有最小值，最小值为5+85,此时点M的坐标为 5）,点N的坐标为（10,0）. 377 6 5 3 0, 作业5已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B. (1)当AB的中点落在y轴时，

36、求c的取值范围； (2)当AB=2，2,求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式； (3)设点P(t,T)在AB之间的一段抛物线上运动，S(t)表示PAB的面积. 当AB=2；2,且抛物线与直线的一个交点在y轴时，求S(t)的最大值，以及此时点P的坐标； 当AB=m(正常数)时，S(t)是否仍有最大值， 若存在， 求出S(t)的最大值以及此时点P的坐标(t,T)满足的关系，若不存在说明理由. 【答案】见解析 【解析】此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，根的判别式，函数 图象交点及图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大. (1)若AB的中点落在y轴上，那么A、B的

37、横坐标互为相反数，即两个横坐标的和为0;可联立 两个函数的解析式，那么A、B的横坐标即为所得方程的两根，根据方程有两个不等的实数根及两 根的和为0即可求出c的取值范围； （2）由于直线AB的斜率为1,当AB=2应时，A、B两点横坐标差白绝对值为2;联立两个函数 的解析式， 可得到关于x的方程， 那么A、B的横坐标就是方程的两个根， 可用韦达定理表示出两根差的绝对值，进而求出b、c的关系式，即可得到c的最小值以及对应的b的值，由此可确定抛物线的解析式； （3）在（2）中已经求得了b、c的关系式，若抛物线与直线的一个交点在y轴，那么c=1,可 据此求出b的值；进而可确定抛物线的解析式，过P作PQ/

38、y轴，交AB于Q,可根据抛物线和直线AB的解析式表示出P、Q的纵坐标， 进而可求出PQ的表达式， 以PQ为底，A、B横坐标的差的绝对值为高即可求出4PAB的面积，进而可得出关于S（t）和t的函数关系式，根据函数的性质即可求出4PAB的最大面积及对应的P点坐标； 结合（2）以及（3）的方法求解即可. (1)由x2+bx+c=x+1,得x2+(b-1)x+c-1=0. 设交点A（x1，y1），B（x2,y2）（xvx2）. .AB的中点落在y轴, ，A,B两点到y轴的距离相等，即A,B两点的横坐标互为相反数, Xi+x2=0, b1=0 故一o V=(b-1)2-4(c-1).0，cv1;(3分)

39、(2) AB=2短,如图，过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，它们交于G点, 直线y=x+1与x轴的夹角为45 , . ABG为等腰直角三角形， 而AB=22, AG=专=2, 即|X1-X2|=2, 2,一(X1+X2)-4X1X2=4, 由(1)可知X1+X2=-(b-1),X1X2=C-1. 代入上式得：(b-1)2-4(c-1)=4, 工二1-.2。.3的最小值为0;此时，b=1,c=0,抛物线为y=X2+X；4 (3),.AB=2由(2)知c=(b-1)2成立. 又.抛物线与直线的交点在y轴时，交点的横坐标为0, 把X=0代入，得c-1=0，.二c=1. ，这一交点为(0,1);

40、 1(b-1)2=1b=-1或3; 当b=-1时，y=x2-x+1，过P作PQ/y轴交直线AB于Q,则有： P(t,t2-t+1),Q(t,t+1); 1-PQ=t+1-(t2-t+1)=-t2+2t; 二PQX-AB=-t2+2t=-(t-1)2+1;22.S(t) 当b=1-m时，y=x2+(1-m)x+1,同上可求得: 当t=am时, 23 取大=m， 16当t=1时，S(t)有最大值，且S(t)最大=1,此时P(1,1); 当b=3时，y=x2+3x+1,同上可求得: S(t)=1PQX巫AB=-t2-2t=-(t+1)2+1; 22 当t=-1时，S(t)有最大值，且S(t)最大=1

41、,此时P(-1,-1); 故当P点坐标为(1,1)或(-1,-1)时，S(t)最大，且最大值为 同(2)可得：(b-1)2-4(c-1)=m2, 由题意知：c=1,则有： (b-1)2=m2,即b=1 m; 当b=1+m时，y=x2+(1+m)x+1, P(t,t2+(1+m)t+1),Q(t,t+1); PQ=t+1-t2+(1+m)t+1=-t2-mt; 1； S(t)=PQxAB=(-X-mt)x2222 2mm=-m(t+万 22+ 16 .当仁十时S最大二d 此时P(-m, 2， 屋-2+1) S(t) 2+3； 一人一7 P有2个，PQ的最小值为 2 (1),抛物线y=ax2-2a

42、x+c过坐标系原点及点B(4,4), c=0 16a-8a+c=4 1 一1a=一 解得：2, c=0 此时 1 P(2m， m2+-m+1); 42 故当 /1 P(-2m， 32123 4m+2m+1)时，S(t)有取大值，且取大值为16m. 作业 (1) (2) 6如图， 抛物线y=ax2-2ax+c过坐标系原点及点B(4,4),交x轴的另一个点为A.求抛物线的解析式及对称轴； 抛物线上找出点C,使得&ABO=SACBO求出点C的坐标； (3) 使得 (1)故抛物线的解析式为: Q 连结BO交对称轴于点D,以半径为1作。D,抛物线上一动点P,过P作圆的切线交圆于点Q,2 PQ最小的点P有几个？并求出PQ的最小值. 1 2 y