正切函数的图象和性质

1、上海市北郊高级中学上海市北郊高级中学 宫丽君宫丽君一、引入一、引入如何用正弦线作正弦函数图象呢？如何用正弦线作正弦函数图象呢？用正切线作正切函数用正切线作正切函数y=tanxy=tanx的图象的图象.2 , 0,sin1图图象象、用用平平移移正正弦弦线线得得 xxy.2图图象象向向左左、右右扩扩展展得得到到、再再利利用用周周期期性性把把该该段段类类 比比 正切函数的图像和性质正切函数的图像和性质问题问题1 1、正切函数、正切函数 是否为周期函数？是否为周期函数？ y = tanxy = tanx 是周期函数，是周期函数， 是它的一个周是它的一个周期期 y = tanxy = tanx 我们先来

2、作一个周期内的图象。想一想想一想：先作哪个区间上的图象好好呢？( ( - -, ,) )2 22 2利用正切线画出函数利用正切线画出函数 ， 的图像的图像: : xytan 22 ，xf x+f x+ = tan x+= tan x+ = tanx= tanx xf 为什么？为什么？二、探究二、探究用正切线作正切函数图象用正切线作正切函数图象 正切函数的图像和性质正切函数的图像和性质作法作法:(1) 等分：等分：(2) 作正切线作正切线(3) 平移平移(4) 连线连线把单位圆右半圆分成把单位圆右半圆分成8等份。等份。83488483，利用正切线画出函数利用正切线画出函数 ， 的图像的图像: :

3、 xytan 22 ，x44288838320o问题问题2：正切曲线032是由通过点 且与 y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成(,0)()2kkZ渐近线渐近线 正切函数的图像和性质正切函数的图像和性质 定义域定义域：Zk,k2x|x 值域值域： 周期性：周期性： 奇偶性：奇偶性： 在每一个开区间在每一个开区间 ， 内都是增函数。内都是增函数。)2,2(kkZk正正切切函函数数图图像像奇函数，图象关于原点对称。奇函数，图象关于原点对称。R 单调性：单调性：Z k,2kx (6)渐近线方程：渐近线方程： (7)(7)对称中心对称中心kk(,0)(,0)2 2渐近线性质性质 : :渐近线(1

4、)正切函数是正切函数是上的上的增增函数吗？为什么？函数吗？为什么？(2)正切函数会不会在某一区间内是正切函数会不会在某一区间内是减减函数？为什么？函数？为什么？ 问题：问题：AB 在每一个开区间 ， 内都是增函数。( (- -+ + k k, ,+ + k k) )2 22 2kZkZ问题讨论问题讨论正切函数的主要性质如下:定义域值 域周期性奇偶性单调性Zkkxx,2RT奇函数(正切曲线关于原点对称)内为增函数），在（Zkkk22例题 例题例题例题 例题 23223.4tan. 1）的定义域（求函数例xy的定义域那么函数解：令zyxztan,4zkkzz,2是,24kzx由kkx442可得的定

5、义域为所以函数)4tan(xyZkkxx,4返回的值域：求函数例43,4,tan2xxyxy02232231-1 ，此函数的值域为（11tan3x 解不等式：解：解法解法1例 3yxTA30)(2,3Zkkkx由图可知：tan3x 解不等式：解：0yx323)(2,3Zkkkx由图可知：解法解法2例 3 返回例4.求下列函数的周期.)42tan(3xy3tan 24f xx解：（ ）（）)42tan(3x4)2(2tan3x)2(xf2T周期 返回wTwxAy的周期公式)tan(例5.判断下列函数的奇偶性：xxytancos2的定义域解：xxytancos2关于原点对称，为Zkkxx2)()t

6、an()cos(2)(xfxxxf.)(为偶函数xf说明：函数具有奇.偶性的必要条件之一是定义域关于原点对称，故验证f（-x）=f（-x）或f（-x）= -f（x）成立前，要先判断定义域是否关于原点对称.返回 例6.求下列函数的单调区间：)421tan(3xy单调性求解分析：利用复合函数的uyxutan421，则解：令为增函数，421xu.22tan3上单调递增），（在Zkkkuuy12242kxk.)(22232上单调递增），（即Zkkkx 正切函数的图像和性质正切函数的图像和性质xytan （1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 上图像后，

7、再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 22 ， Z2kkxx， R 22 kk，Z kZ k2 kx02，kZ k （2） 性质性质:xytan定义域定义域值值域域周周期期奇奇偶偶性性单调增区间单调增区间对 称对 称中心中心渐近线渐近线方程方程奇奇函函数数小结：小结：，它没有极值，在定义的周期公式wTwxAy)tan().3(不存在减区间。域上不具有单调性，也变）的单调区间，应先把（求复合函数wxAytan).4(解。数的单调性判断法则求换成正值，再用复合函判断下列命题的正误判断下列命题的正误的周期是xy2tan)2( 112|tan) 1 (，值域是，的定义域是Zkkxxxy（3）正切曲线是中心对称图形，它的对称中