导数求函数单调性和 区间

1、（4）对数函数的导数）对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）指数函数的导数）指数函数的导数:.)()1(xxee ( )()ln (,). xxaaa aa2 20 01 1 xxcos)(sin1）（3）三角函数）三角函数 ： xxsin)(cos2）（1）常函数：）常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）幂函数）幂函数 ： (xn)/ nxn 1 1. 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 复习复习 2. 导数的运算导数的运算法则（1）函数的和或差的导数）函数的和或差的导数 (uv)/u/v/. （3）函数的商的导数）函数的商的导

2、数 （ )/ = (v0).uv2u vv uv（2）函数的积的导数）函数的积的导数 (uv)/u/v+v/u. 复习复习函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上具有严格的单调性上具有严格的单调性.

3、G 称为称为单调区间单调区间G = ( a , b )判断函数单调性有哪些方法？判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数比如：判断函数 的单调性。的单调性。yx 2 (,0) (0,)33 ?yxxxyo2yx 函数在函数在 上为上为_函数，函数，在在 上为上为_函数。函数。图象法图象法 定义法定义法减减增增如图：如图：单调性单调性导数的正负导数的正负函数及图象函数及图象 (,0)在在上上递递减减 (0,)在在上上递递增增xyoyf x ( )abxyoyf x ( )ab切线斜率切线斜率 的正负的正负kxyo2( )f xx aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)

4、0,那么函数那么函数y=f (x) 在为这个区间内在为这个区间内 的的增函数增函数;如果在这个区间如果在这个区间内内 0, 解得解得 x3 或或 x1,因此因此, 当当 或或 时时, f (x)是增函数是增函数.), 3( x)1 ,( x令令3x2-12x+90, 解得解得1x0得得f (x)的单调递增区间的单调递增区间; 解不等式解不等式 0得得f (x)的单调递减区间的单调递减区间.)(xf )(xf 例例4: 确定下列函数的单调区间确定下列函数的单调区间: (1) f (x)=x/2+sinx;解解:(1)函数的定义域是函数的定义域是R,.cos21)(xxf 令令 ,解得解得0cos

5、21 x).(322322Zkkxk 令令 ,解得解得0cos21 x).(342322Zkkxk 因此因此, f(x)的递增区间是的递增区间是: 递减区间是递减区间是:);)(322 ,322(Zkkk ).)(342 ,322(Zkkk 例题例题解解:函数的定义域是函数的定义域是(-1,+),.)1 ( 211121)(xxxxf (2) f (x)=x/2-ln(1+x)+1由由 即即 得得x1., 0)1 ( 210)( xxxf 注意到函数的定义域是注意到函数的定义域是(-1,+),故故f (x)的递增区的递增区间是间是(1,+);由由 解得解得-1x0 (B) 1a1 (D) 0a

6、0, 对一切实数恒成立对一切实数恒成立,此时此时f(x)只有一只有一个单调区间个单调区间,矛盾矛盾.0)( xf若若a=0, 此时此时f(x)也只有一个单调区间也只有一个单调区间,矛盾矛盾. , 01)( xf若若a0,则则 ,易知此时易知此时f(x)恰有三个单调区间恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf 故故a0,其单调区间是其单调区间是: 单调递增区间单调递增区间:).31,31(aa 单调递减区间单调递减区间: 和和).,31()31,( aa 参考答案参考答案总结总结: 当遇到三次或三次以上的当遇到三次或三次以上的,或图象很难或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导

7、数法。画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。求定义域求定义域求求( )fx令令()0()()0()fxfxfxfx 解解不不等等式式的的递递增增区区间间解解不不等等式式的的递递减减区区间间求单调区间求单调区间1 1什么情况下，用什么情况下，用“导数法导数法” ” 求函数单调性、求函数单调性、 单调区间较简便？单调区间较简便？2 2试总结用试总结用“导数法导数法” ” 求单调区间的步骤？求单调区间的步骤？oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在（在（ ，0）和（）和（0, ）上分别是减函数。）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。但在定义域上不是减函数。在（在（ ，1）上是减）上是减

8、函数，在（函数，在（1, ）上）上是增函数是增函数。在在( ,)上是增函数上是增函数画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间练习:判断下列函数的单调性 (1)f(x)=x3+3x; (2)f(x)=sinx-x,x(0,); (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; (4)f(x)=ex-x; 例题例题320已知函数 ( )=，(0, 1,若 ( )在（0， 1上是增函数，求 的取值范围练。习2f xax - xxaf xa3)2,325例1：求参数的范围若函数f(x)在(- ,+ )上单调递增，求a的取值范围ax - xx-例例7.7.设设f (x) = ax3+x 恰有三个单调区间，试确定恰有三个单调区间，试确定a 的的 取值范围，并求其单调区间。取值范围，并求其单调区间。 231,fxax解: 0,)afx 若则在(-恒正, f x只有一个单调区间,与题意不符. 211133,333fxa xa xxaaa若a0 (B) 1a1 (D)