函数的幂级数展开式的应用

1、第五节第五节 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用一、近似计算一、近似计算二、计算定积分二、计算定积分三、求函数项级数的和三、求函数项级数的和五、欧拉公式五、欧拉公式四、求极限四、求极限,21 naaaA,21naaaA . 21 nnnaar余项余项两类问题两类问题: :1.1.给定项数给定项数, ,求近似值并估计精度求近似值并估计精度; ;2.2.给出精度给出精度, ,确定项数确定项数. .关健关健: :通过估计余项通过估计余项, ,确定精度或项数确定精度或项数. .一、近似计算一、近似计算. nr误差误差.10 , 15 使其误差不超过使其误差不超过的近似值的近似值计算计算例

2、例e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得 )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e.71828. 2 ., 9sin ! 3sin 2 3并估计误差并估计误差的近似值的近似值计算计算利用利用例例xxx 解解20sin9sin ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646. 0157079. 09si

3、n .156433. 0 .10 5 其误差不会超过其误差不会超过. , ,ln1,sin, 2难难以以计计算算其其定定积积分分函函数数表表示示原原函函数数不不能能用用初初等等例例如如函函数数xxxex 解法解法逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数二、计算定积分二、计算定积分第四项第四项30001!771 ,104 取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值, ,得得! 551! 3311sin1 0 dxxx.9461. 0 .10 ,sin 341 0 精确到精确到的近似值的近似值计算计算例例dxxx 642!71! 51! 311si

4、nxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin1 0 dxxx收敛的交错级数收敛的交错级数. 21 412的和的和求求例例 nnarctg解解,211arctgs 81212arctgarctgs 812118121 arctg,32arctg 18132arctgarctg 18123arctgss ,43arctg 三、求数项级数的和三、求数项级数的和11arctgnnarctgsn )(4 n .421 12 nnarctg故故2211karctgkkarctgsk ,1 kkarctg,1 1kkarctgsk 假设假设. 2! 512的和的和求求例例 nnnn解解,

5、!)( 12nnxnnxs 令令),(nnxnnnnxs 1!)1()(nnnnxnxnnn 11)!1(1!)1( 012!)!(nnnnnxxnxxxxxeex )1(2,)1(xxex 122 !nnnn)21( s 21)121(21 e.43e ,54231321arcsin53 xxxx,! 533! 33341sin55333 xxx)1( x)( x,sinarcsinlim30 xxxx 将上两式代入将上两式代入.sinarcsinlim 6 30 xxxx 极限极限利用幂级数展开式，求利用幂级数展开式，求例例解解四、求极限四、求极限 54231321lim530 xxxxx

6、 5533! 533! 33341xx原式原式= =)()(61lim33330 xoxxoxx .61 复数项级数复数项级数 )()()(2211nnivuivuivu. ), 3 , 2 , 1(,为实常数或实函数为实常数或实函数其中其中 nvunn五、欧拉公式五、欧拉公式, 11 nnnnvvuu，若若. )( 1ivuivunnn 收敛，且其和为收敛，且其和为则称级数则称级数复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式三个基本展开式,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)( x . , 112222222121数数绝绝对对收收敛敛绝绝对对收收敛敛，称称复复数数项项级级收收敛敛，则则若若 nnnnnnvuvuvuvu的幂级数展开式的幂级数展开式由由 xe nxiixnixixe)(!1)(! 2112 )!12()1(! 31()!2()1(! 211(12322 nxxxinxxnnnn.sincosxix xixexisincos ieexeexx