2018-2019学年福建省福州市鼓楼区延安中学八年级(上)期中数学试卷

1、2018-2019学年福建省福州市鼓楼区延安中学八年级（上）期中第1页（共26页）数学试卷、单选题（每题3分，共30分1 . （3分）下面有4个图案，其中有（）个是轴对称图形.2.3.B.二个（3分）已知等腰三角形的两边长是B. 17 或 22C.三个D.四个4和9,则等腰三角形的周长为（3分）已知a, b, c是三角形的三边,C. 22D. 16那么代数式a2 - 2ab+b2 - c2的值（）C.D,不能确定4.（3分）下列因式分解正确的是（A . m2+n2= （ m+n） （m n）B.x2+2x- 1 = ( x- 1) 25.6.7.8.9.C, a2- a= a (a T)（3分

2、）不论x, y取何实数，代数式B.正数（3分）若x2+mxy+4y2是完全平方式,C. 4（3分）下列各式正确的是（A . 3x2+4x2= 7x4C. a+ a 2= a3D.x 4x+y C.则常数 mB.D.B.D.a2+2a+1 = a (a+2) +16y+13总是(负数的值为（）以上结果都不对2x2?3X2 = 6x2I 23(-a b)D.非正数（3分）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形.若 ABC是特异三角形，/A= 30 , /B为钝角，则符合条件的/ 8有（ ）个.C. 3D. 4（3分）如图，等腰三角形 ABC的底边BC长为4,面

3、积是16,腰AC的垂直平分线 EF分别交AC, AB边于E, F点.若点D为BC边的中点，点 M为线段EF上一动点，则 CDM周长的最小值为（A 声 RA. 6B. 8C. 10D. 1210. （3分）如图，等边 ABC中，BF是AC边上中线，点 D在BF上，连接 AD,在AD的右侧作等边 ADE,连接EF,当 AEF周长最小时，/ CFE的大小是（）BCA. 30B. 45C, 60D, 90二、填空题（每空 4分，共24分）11. （4分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1: 4,则这个等腰三角形顶角的度数为.12. （4分）如图，/ 1 = 7 2,要使 ABEAACE,还需添加一

4、个条件是 （填上你 认为适当的一个条件即可）.13. （4分）AD是 ABC的边BC上的中线，AB= 12 , AC = 8,则AD的取值范围是 .14. （4分）如图，在 RtAABC中，/C = 90 , / B=30 ,以点A为圆心，任意长为半径 画弧，分别交 AB, AC于点M, N,再分别以点 M, N为圆心，大于工MN的长为半径画2弧，两弧交于点 P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法： AD是/ BAC的平分 线；/ADC = 60 ;点D在AB的中垂线上； Szx adc： Sa abc= 1 ： 3.其中正确的 个数是.A16. (4分)先阅读后计算：为了计算4X (5+

5、1)后，连续运用平方差公式得：4X (5+1) X (52+1) = (5-1) X (5+1) X =( 52-1) X ( 52+1)= 252- 1 = 624.且满足 2a4+2b4+c4= 2a2c2+2b2c2,贝必x ( 52+1)的值，小黄把 4改写成5-1请借鉴小黄的方法计算：果是三、解答题(共98分)17. (12分)计算：(1) x。x5+ (x3) 2-2 (x2);(2) (m-2n+3) (m+2n-3);、2(3) 4 (a- b) 2- ( 2a+b) (- b+2a)18. (12分)分解因式：(11) 4a3- a(12) - 8ax2+16axy- 8ay

6、2(13) 1 - x2+2xy- y219. (8 分)如图，在 ABC 中，AB = AC = 8cm.(1)作AB的垂直平分线，交 AC于点M ,交AB于点N;(2)在(1)的条件下，连接 MB,若 MBC的周长是14cm,求BC的长.(52+1)20. (10分)已知：如图， P是OC上一点，PDXOA于D, PEXOB于E, F、G分别是OA、OB 上的点，且 PF = PG, DF = EG.(1)求证：OC是/ AOB的平分线.(2)若 PF / OB,且 PF = 4, / AOB= 30 ,求 PE 的长.21. (8 分)已知 x- y=6, xy=-8,(1)求X2+y2

7、的值；(2)求代数式力) 2(万一井了)的值22. (10分)如图，已知线段 AC/y轴，点B在第一象限，且 AO平分/ BAC, AB交y轴与 G,连 OB、OC.(1)判断 AOG的形状，并予以证明；(2)若点B、C关于y轴对称，求证：AOXBO.23. (10分)把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这 种解题方法叫做配方法.如：用配方法分解因式：a2+6a+8,解：原式=a +6a+8+1 1 = a +6a+9 1 = ( a+2) (a+4)M = a2-2ab+2b2- 2b+2,利用配方法求 M的最小值，解：a2 - 2ab+2b2-2b+2 = a

8、2 - 2ab+b2+b2-2b+1+1 = ( a - b) 2+ (b-1) 2+1 ( a- b) 20, (bT) 20，当a=b=1时，M有最小值1 .请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：X2-2.X+.(2)用配方法因式分解：x2-4xy+3y2.(3)若M = J_x2+2x- 1,求M的最小值. 4(4)已知 x2+2y2+z2 2xy- 2y - 4z+5 = 0,贝U x+y+z 的值为.24. (13分)如图，在长方形 ACDF中，AC = DF,点B在CD上，点E在DF上，BC= DE=a, AC = BD = b, AB=BE=

9、c,且 ABXBE.(1)用两种不同的方法表示出长方形ACDF的面积S,并探求a, b, c之间的等量关系(需要化简)(2)请运用(1)中得到的结论，解决下列问题：求当c= 5, a = 3时，求S的值；当c- b=8, a=12时，求S的值.尸C B b D25. (13分)如图1,点P、Q分别是边长为 4cm的等边 ABC边AB、BC上的动点，点 P 从顶点A,点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.(1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中，/ CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；(2)试求何时 PBQ是直角三角形？(3)如图2,若点P、Q在运动

10、到终点后继续在射线 AB、BC上运动，直线 AQ、CP交 点为M,则/ CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.第5页(共26页)2018-2019学年福建省福州市鼓楼区延安中学八年级（上）期中期中数学试卷参考答案与试题解析第7页（共26页）、单选题（每题3分，共30分1 . （3分）下面有4个图案，其中有（）个是轴对称图形. G H十A. 一个B.二个C.三个D.四个【分析】根据轴对称图形的概念求解，看图形是不是关于直线对称.【解答】解：由轴对称图形的概念可知第 1个、第3个图形是轴对称图形；第 2个、第4 个图形不是轴对称图形.故轴对称图形有二个.故选：B.【点评】本题考

11、查了轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.2. （3分）已知等腰三角形的两边长是4和9,则等腰三角形的周长为（）A. 17B . 17 或 22C. 22D. 16【分析】根据腰为4或9,分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断.【解答】解：当等腰三角形的腰为 4时，三边为4, 4, 9, 4+40, a - ( b+c) 0.a2- 2ab+b2- c20, (y- 3) 20, (x-2) 2+ (y-3) 20,，不论x、y取何值，代数式x2-4x+y2-6y+13的值总是非负数，故选： A【点评】 本题考查了配方

12、法的应用：配方法的理论依据是公式a2 2ab+b2= (ab) 2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1 ， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方6. ( 3分)若x2+mxy+4y2是完全平方式，则常数 m的值为()第 7 页(共 26 页)A. 4B. 一 4C. 4D.以上结果都不对【分析】完全平方公式：（ab） 2=a22ab+b2,这里首末两项是 x和2y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2y积的2倍，故m=4.【解答】 解：（ x 2y） 2= x2 4xy+4y2,，在 x2+mxy+4y2 中， 4xy=mxy,m= 4.故选：C.【点评】本题是完全

13、平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.7. （3分）下列各式正确的是（）A . 3x2+4x2= 7x4B. 2x2?34 = 6x2C. a+ a 2= a3D.（-亲%） 3= - -a6b222【分析】直接利用单项式乘以单项式以及积的乘方运算法则分别计算得出答案.【解答】解：A、3x2+4x2=7x2,故此选项不合题意；B、2x2?3x2=6x4,故此选项不合题意；C、a+ a 2= a3,故此选项符合题意；D、（ - -a2b） 3= - -a6b3,故此选项不合题意.28故选：C.【点评】此题主要考查了单项式乘以

14、单项式以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则 是解题关键.8. （3分）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异 三角形.若 ABC是特异三角形，/A= 30 , /B为钝角，则符合条件的/ 8有（ ） 个.A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】如图1中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图2中，当AD是特异线时，AB= BD , AD = DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意.【解答】解：如图2中，AD图1当 BD 是特异线时，如果 AB= BD = DC,则/ ABC = /ABD+/DBC= 120 +15 =135如果 AD=

15、AB, DB=DC,则/ ABC = / ABD+/ DBC = 75 +37.5 =1125 ,如果 AD = DB, DC = CB,贝U ABC=/ABD+/DBC= 30 +60 =90 （不合题意舍弃） 如图 3 中，当 AD 是特异线时，AB=BD,AD = DC,则 / ABC=180 -20 -20 =140图2当CD为特异线时，不合题意.，符合条件的/ ABC的度数为135或112.5或140符合条件的/ B有3个，故选：C.【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，学会画出图形，借助于图形解决问题， 学会利用方程去思考问

16、题， 属于中考创新题目.9. （3分）如图，等腰三角形 ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线 EF 分别交AC, AB边于E, F点.若点D为BC边的中点，点 M为线段EF上一动点，则 CDM周长的最小值为（）EA . 6B. 8C. 10D. 12【分析】连接AD,由于 ABC是等腰三角形，点 D是BC边的中点，故 ADXBC,再根据三角形的面积公式求出 AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知， 点C关于直线EF的对称点为点 A,故AD的长为CM + MD的最小值，由此即可得出结论.【解答】解：连接AD,.ABC是等腰三角形，点 D是BC边的中点,AD BC,.

17、Sabc=LbC?AD=Lx4XAD=16,解得 AD = 8,22 EF是线段AC的垂直平分线,，点C关于直线EF的对称点为点A,AD的长为CM + MD的最小值,CDM 的周长最短=(CM+MD) +CD=AD+BC= 8+X4= 8+2=10.22故选：C.第15页（共26页）【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.10. （3分）如图，等边 ABC中，BF是AC边上中线，点 D在BF上，连接 AD,在AD的右侧作等边 ADE,连接EF,当 AEF周长最小时，/ CFE的大小是（）A. 30B. 45C. 60D. 90【分析】首先证明点E

18、在射线CE上运动（/ ACE=30 ）,作点A关于直线CE的对称点M,连接FM交CE于E,此时 AE +FE的值最小.【解答】解：如图，. ABC, ADE都是等边三角形，AB=AC, AD = AE, Z BAC = Z DAE=Z ABC = 60 , ./ BAD = Z CAE, . BADA CAE, ./ ABD = Z ACE, AF=CF, .Z ABD = Z CBD = Z ACE = 30 , 点E在射线CE上运动(/ ACE=30 ),作点A关于直线CE的对称点M,连接FM交CE于E,此时AE +FE的值最小, . CA= CM, / ACM = 60 , .ACM是等

19、边三角形， AF=CF,FM AC,B故选：D.【点评】 本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点 E在射线CE上运动（/ ACE=30 ）,本题难度比较大, 属于中考选择题中的压轴题.二、填空题（每空 4分，共24分）11. （4分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1: 4,则这个等腰三角形顶角的度数为 120 或 20.【分析】设两个角分别是x, 4x,根据三角形的内角和定理分情况进行分析，从而可求得顶角的度数.【解答】解：设两个角分别是 x, 4x当x是底角时，根据三角形白内角和定理，得x+x+4x=180。，解得，x=30 ,

20、 4x =120 ,即底角为30 ,顶角为120 ;当x是顶角时，则 x+4x+4x=180 ,解得，x=20 ,从而得到顶角为 20。，底角为80 ;所以该三角形的顶角为 120。或20。.故答案为：120或20 .【点评】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.已知中若有比出现，往往根据比值设出各部分，利用部分和列式求解.12. （4分）如图，/ 1 = 7 2,要使ABEACE,还需添加一个条件是/ B= / C （填上你认为适当的一个条件即可）.【分析】根据题意，易得/ AEB=/AEC,又AE公共，

21、所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件.【解答】 解：1 = /2,AEB=/AEC,又AE公共，当/B = /C 时， ABEA ACE （AAS）;或 BE=CE 时， ABEA ACE （SAS）；或/ BAE=Z CAE 时， ABEA ACE （ASA）.【点评】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.13. （4分）AD是 ABC的边BC上的中线，AB=12, AC = 8,则 AD的取值范围

22、是 2VADV 10 .【分析】对于中线 AD的取值范围可延长 AD至点E,使AD = DE,得出 ACDEBD , 进而在 ABE中利用三角形三边关系求解.【解答】解：如图所示，延长AD至点E,使AD = DE,连接BE,AD是 ABC的边BC上的中线，BD=CD,又/ADC = / BDE, AD = DEACDA EBD,BE = AC,在 ABE 中，ABBEV AEVAB+BE,即 AB ACv AEv AB+AC,12-8VAEV12+8,即 4vAEv20,2VADV10.故此题的答案为：2 v AD v 10.* tE【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边

23、关系问题.出现中点的辅助线一般应延长中线所在的直线构造全等三角形，这是一种非常重要的方法，要 汪息掌握.14. （4分）如图，在 RtAABC中，/C = 90 , / B=30 ,以点A为圆心，任意长为半径 画弧，分别交 AB, AC于点M, N,再分别以点 M, N为圆心，大于工MN的长为半径画2弧，两弧交于点 P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法： AD是/ BAC的平分 线；/ADC = 60 ;点D在AB的中垂线上； Sa adc： Sa abc= 1 ： 3.其中正确的【分析】连接NP, MP,根据SSS定理可得4 ANPA AMP,故可得出结论；先根据三角形内角和定理求出/

24、CAB的度数，再由 AD是/ BAC的平分线得出/ 1 =7 2=30 ,根据直角三角形的性质可知/ADC = 60 ;根据/ 1 = Z B可知AD = BD,故可得出结论；先根据直角三角形的性质得出/2=30。，CD=1AD,再由三角形的面积公式即可得2出结论.【解答】证明：连接NP, MP,在 ANP与 AMP中，AN= AMNP=MP,AP二APANPA AMP (SSS),则/ CAD = Z BAD,故AD是/ BAC的平分线，故此选项正确； 证明：在 ABC 中，/ C=90 , / B=30 , ./ CAB=60 .AD是/ BAC的平分线，1 = / 2 =工/ CAB =

25、30 ,2.Z 3=90 - / 2=60 , / ADC = 60 ,故此选项正确；证明：: / 1 = Z B= 30 , AD= BD,点D在AB的中垂线上，故此选项正确； 证明：在 RtAACD 中，Z 2=30 ,.CD=AD,2_ 1 _ 31 1BC= BD+CD = AD +AD = AD , Sadac = AC?CD = AC?AD ,:.二二sAABC= JLac?bc=_1ac?JIad =工 ac?ad , 2224SaDAC ： SaABC= 1 ： 3,故此选项正确；故答案为：4.【点评】本题考查的是角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图-基本作图，熟知角平分

26、线的作法是解答此题的关键.15. (4分)已知a, b, c分别是 ABC的三边长，且满足 2a4+2b4+c4= 2a2c2+2b2c2,则4ABC是等腰直角三角形.【分析】根据2a4+2b4+c4= 2a2c2+2b2c2,利用因式分解法和非负数的性质，可以得到a、b、c的关系，从而可以判断 ABC的形状.【解答】解：2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2,2a4+2b4+c4- 2a2c2- 2b2c2= 0,. (a2+b2) 2 2c2 (a2+b2) +c4+a4+b4-2a2b2= 0, (a2+b2) - c22+ (a2-b2) 2=0a2+b2 = c2且 a= b,

27、ABC是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形.【点评】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解法解答.16. (4分)先阅读后计算：为了计算4X (5+1) X ( 52+1)的值，小黄把 4改写成5-1后，连续运用平方差公式得：4X ( 5+1) X ( 52+1) = ( 5- 1) X ( 5+1 ) X ( 52+1)=( 52-1) X ( 52+1)= 252- 1 = 624.请借鉴小黄的方法计算:【分析】在前面乘一个2X ( 1-!)，然后再连续利用平方差公式进行计算即可.2【解答】解：原式=2X (1

28、 -X) X (1+J-)X22第19页(共26页)=2X1+4) 264=2X故答案为： 2 - -2【点评】 此题主要考查了平方差公式的运用，正确应用公式是解题关键.对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便.三、解答题(共98分)17. (12分)计算:(1) x。x5+ (x3) 2-2 (x2);(2) (m 2n+3) (m+2n-3);，一、，、2 ，一 、， 一、(3) 4 (a- b) 2- ( 2a+b) (- b+2a)【分析】(1)利用哥的乘方法则运算;(2)先变形为原式=m- (2n-3) m+ (2n-3),然后利用平

29、方差公式计算;(3)利用完全平方公式和平方差公式计算，然后去括号后合并即可.【解答】解：(1)原式=x5+x6-2x2;(2)原式=m- (2n 3) m+ (2n3)=m2 - ( 2n - 3)=m2- 4 4n2- 12n+9)= m2- 4n2+i2n- 9;(3)原式=4a2-8ab+4b2- (4a2-b2)= 4a2- 8ab+4b2- 4a2+b22 =-8ab+5b .【点评】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差也考查了幂的乘方与积的乘方18. ( 12 分)分解因式：(1) 4a3- a(2) - 8ax2+i6axy- 8ay2(3)

30、1 - x2+2xy- y2【分析】(1)先提取公因式a,再用平方差公式进行分解；(2)先提取公因式-8a,再用完全平方公式进行分解；( 3)先以1 为一组，以后三项为一组，对后三项用完全平方公式进行分解，再用平方差公式进行分解【解答】解：(1) 4a3- a=a (4a 2 - 1)=a (2a+1) (2a - 1)(4) - 8ax2+16axy- 8ay2=-8a (x2- 2xy+y2)2=-8a (x y)(5) 1 - x2+2xy- y2=1 - ( x2 - 2xy+y2)2=1 (xy)=(1+x y) (1 x+y)【点评】本题考查了提取公因式法、公式法、分组分解法进行因

31、式分解的综合运用，熟练掌握相关分解法则及相关乘法公式是解题的关键19. (8 分)如图，在 ABC 中，AB = AC = 8cm.第 17 页(共 26 页)(1)作AB的垂直平分线，交 AC于点M ,交AB于点N ;(2)在(1)的条件下，连接 MB,若 MBC的周长是14cm,求BC的长.【分析】(1)利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；(2)由线段的垂直平分线的性质可得：AM = BM,从而将 MBC的周长转化为：AM + CM + BC,即 AC+BC=14cm,依此可求 BC.【解答】解：(1)如图所示：&3 yic(2) MN是AB的垂直平分线，AM =BM,.MBC的周长是1

32、4cm,MB+MC + BC= AM + CM+BC= AC+BC= 14cm,AC= 8cm,BC= 6cm.【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的作法与性质，熟记用尺规作 线段垂直平分线及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键.20. (10分)已知：如图， P是OC上一点，PDXOA于D, PEXOB于E, F、G分别是OA、OB 上的点，且 PF = PG, DF = EG.(1)求证：OC是/ AOB的平分线.(2)若 PF / OB,且 PF = 4, / AOB= 30 ,求 PE 的长.DCE G B【分析】（1）利用“ HL”证明RtA PFD和RtA PGE全等

33、，根据全等三角形对应边相等可得PD = PE,再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可.（2）在RtAPFD中，求出PD即可解决问题；【解答】（1）证明：在 RtA PFD和RtA PGE中,严PG,DF=EG.-.RtAPFD RtA PGE （HL）,PD= PE,. P 是 OC 上一点，PDXOA, PEXOB,.OC是/ AOB的平分线.(2) PF /OB, / AOB= 30 , ./ PFD = Z AOB =30 ,在 RtAPDF 中，PD=PF= 2,2PE= PD = 2.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，直角三

34、角形 30度角的性质等知识，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键.21(8 分)已知 x- y=6, xy=-8,(1)求x2+y2的值；(2) 求代数式-y(x+y+z )(x-y+z) -z(x+y)W-【分析】(1)由(x- y)2 = x2+y2-2xy,即可得x2+y2=(x-y)2+2xy,将x-y=6, xy=-8代入即可求得x2+y2的值；2 II2 1(3) 首先化同 5 (x+y+z) + (x yz) (x y+z) - z (x+y),可得方(x+y+z) +-r (x-y - z) (x-y+z) - z (x+y) = x2+y2,由(1)即可求得答案.【解答】解：

35、(1) .1 x - y= 6, xy=- 8,(x - y) 2= x2+y2 - 2xy,.x2+y2= (x-y) 2+2xy=36- 16 = 20;2 (2) 一(x+y+z) +一(xyz) (x y+z) z(x+y),=(x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz) + (x-y) 2 - z2 - xz- yz,= 1x2+2xy - z2 - xz - yz, 222y2+ 1 z2+xy+xz+yz+x2+1 y22222= x2+y2,又x +y = 20,.二原式=20.【点评】此题考查了完全平方公式的应用.注意熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助.22. （10分）如

36、图，已知线段 AC/y轴，点B在第一象限，且 AO平分/ BAC, AB交y轴与 G,连 OB、OC.（1）判断 AOG的形状，并予以证明;（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AOXBO.第23页（共26页）是等腰三角形;【分析】（1）易证/ CAO=Z AOG和/ CAO=Z GAO,即可判定 AOG（2）连接BC交y轴于K,过A作ANy轴于N,易证 ANGA BKG ,即可证明/ BOG= /OBG, /OAG = /AOG,根据三角形内角和为 180性质即可解题.【解答】解：（1）等腰三角形；证明：AC/ y 轴, ./ CAO=Z AOG,. AO 平分/ BAC, ./ CAO=Z

37、GAO,GAO=Z AOG, . AG= GO,. AOG是等腰三角形；(2)连接BC交y轴于K,过A作ANy轴于N,.AC/y轴，点B、C关于y轴对称，AN= CK=BK,在 ANG和 BKG中，rZAGN=ZBGK0, (bT) 20，当a=b=1时，M有最小值1.请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2-2x+ .3 一2一(2)用配方法因式分解：x2-4xy+3y2.(3)若M = JLx2+2x- 1,求M的最小值.4(4)已知 x2+2y2+z2 2xy 2y 4z+5 = 0,贝U x+y+z 的值为 4 .【分析】(1)加一次项系数一半的

38、平方，配成完全平方式；(2)将3y2化成4y2-y2,前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；(3)提取系数 工后，再加一次项系数一半的平方16,并减去16,配成完全平方式，利4用平方0可知M的最小值；%十0(4)拆项后配成三个完全平方式，利用平方0可知：要想使已知式成立则存在 y-l=O ,kz-2=0求出x、y、z的值并相加即可.【解答】解：(1) x2 2x+L=3 9 8 3故答案为：-；9(2) x2 - 4xy+3 y2= x - 4xy+4 y2 - y2= (x- 2y) 2-y2= ( x- 2y+y) (x-2y-y) = (x-y) (x 3y);(3) M=

39、x2+2xT,4M = ： (x2+8x+16 T6) 1 J(x+4) 2-5,(x+4) 2 0,4当x= - 4时，M有最小值为-5;(4) x+2y2+z2- 2xy - 2y- 4z+5 = 0,x - 2xy+y2+/ - 2y+1 + z - 4z+4= 0,(x-y) 2+ (y-1) 2+ (z-2) 2 = 0,- x- y0, y- 10, z-20,-y=0-yT二 0, lz-2=01, x= 1, y= 1, z= 2,x+y+z= 1+1+2 = 4,故答案为：4.【点评】 本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有

40、关运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同时对于(4)中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时为零，求出未知数的值，这一知识在数学中经常运用，要熟练掌握.24. (13分)如图，在长方形 ACDF中，AC = DF,点B在CD上，点E在DF上，BC= DE=a, AC = BD = b, AB=BE=c,且 ABXBE.(1)用两种不同的方法表示出长方形ACDF的面积S,并探求a, b, c之间的等量关系(需要化简)(2)请运用(1)中得到的结论，解决下列问题：求当c= 5, a = 3时，求S的值；当c- b

41、=8, a=12时，求S的值.上C a B b D【分析】(1)方法一，根据矩形的面积公式就可以直接表示出S;方法二，根据矩形的面积等于四个三角形的面积之和求出结论即可，根据方法一与方法二的S相等建立等式就可以表示出a, b, c之间的等量关系；(2)先由(1)的结论求出b的值，然后代入 S的解析式就可以求出结论；由a2= c2-b2= (c+b) (c- b)先求得c+b的值，然后可求得 b的值，然后由 S= ab+b2,求解即可.【解答】解：(1)由题意，得、一2方法一：Si=b (a+b) = ab+b方法二：S2=-Lab+_Lab+_L (b-a) (b+a) + c2,2222= ab+lb2-la2+lc2.222Si = S2,ab+b2 =