函数的单调性与导数(获奖教案

1、3.3.1函数的单调性与导数教材分析“函数单调性与导数”是高中数学（选修 1-1 ）第三章导数及其应用的第三节，本节的 教学内容属导数的应用， 是在学生学习了导数的概念、 计算、几何意义的基础上学习的内容， 学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调 性.通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤 其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性.课时分配本节内容用1课时完成，主要经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平

2、均变化率概 念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活.教学目标重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间难点：1.探究函数的单调性与导数的关系；2.如何用导数判断函数的单调性 .知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系 ；2.会利用导数判断函数的单调，f并求函数的单调区间能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想.教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯.自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类

3、比迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法.考试点：利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，而不是导数的单调性决定函数的单调性.教具准备：多媒体课件，三角板课堂模式：学案导学一.引入新课师：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？生：用定义法、图像法.师：因为二次函数的图像我们非常熟悉 ，可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方?生：注意定义域.师：如果遇到函数 y =x3 _3x ,如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗?师：定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐，又不能画出它的图像，那该如

4、何解决呢？揭示并板书课题：函数的单调性与导数【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识(判断二次函数的单调性)入手,提出新的问题(判断三次函数的单调性),引起认知冲突，激发学习的兴趣了解函数的增与减、增减通过研究函数的这些性质， 我们师：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时, 的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.可以对数量的变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与 函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢？二.探究新知师：如图(1),它表示跳水运动中高度 h随时间t变化的函数h(t) = Y.9t2 +6

5、.5t +10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数' v(t) =h(t) = 9.8t+6.5 的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 生：通过观察图像，可以发现：(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数.相应地，v(t)=h(t)>0.(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度 h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数.相应地，v(t)=h(t)<0.【设计意图】 从具体的实际情景出发， 提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系.为学生提供一个联想的源”，

6、巧妙设问，把学习任务转移给学生；让学生完成对函数单调性与导数关系的第一次认识，明确研究课题师：导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.（1）函数y = x的定义域为R,并且在定义域上是增函数，其导数y/ =1>0；（2）函数y=x2的定义域为 R,在（-8,+望）上单调递减，在（0,十瓷）上单调递增；而y/ =2x ,当x < 0时，其导数y/ <0 ；当x > 0时，其导数y/ >0 ；当x = 0时，其导数 y/ =0.（3）

7、函数y=x3的定义域为 R,在定义域上为增函数；而y/ =3x2,若x=0,则其导数3x2 >0,当x = 0时，其导数3x2=0；，1-（4）函数y=一的定义域为（吗0） = （0, ）,在（8,0）上单调递减，在（0,十无）上单调 x/1一 /递减，而y = 2 ,因为x。0,所以y <0.x师：以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间 （a,b）内，如果f/（x）>0,那么函数y = f（x）在这个区间内单调递增；如果 f/（x）<0,那么函数y=f（x）在这个区间内单调递减.【设计意图】从具体的函数出发，体会数形结合思想的运用.让学生体会从特殊到一般，

8、从具体到抽象的过程， 降低思维难度，让学生在老师的引导下自主学习和探索，提高学习的成就感和自信心.三.理解新知师：如图，导数f (xo)表示函数f(x)在点( ,yo)处的切线的斜率.观察图像回答，函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系?.,_ ' _ 一 一生:在x=x0处，f(Xo)A0,切线是 左下右上”式的，这时，函数f(x)在xo附近单调递增；在x=x1处，f/(xi)<0,切线是 左上右下”式的，这时，函数f(x)在xi附近单调递减.师生共同总结：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a,b)内，如果f/(x) >0 ,那么函数y = f(x)

9、在这个区间内单调递增；如果f/(x) <0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递减.说明：如果f/(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间内是常函数.【设计意图】通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成一般性结论.让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系四.运用新知例1、已知导函数f'(x)的下列信息： '当 1<x<4 时，f(x)A0；当 x >4 ,或 x <1 时，f (x) <0 ；当 x=4,或 x=1 时，f (x)=0试画出函数y = f (x)图像的大致形状.解：当1c

10、x<4时，f(x)>0,可知y = f (x)在此区间内单调递增；当x>4,或x<1时，f (x)<0；可知y= f (x)在此区间内单调递减；当x =4 ,或x =1时，f (x) = 0,这两点比较特殊，我们把它称为 临界点综上，函数y = f (x)图像的大致形状如图所示.学生思考，并在纸上画出函数图像教师投影若干学生的作业情况，学生共同分析.【设计意图】让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的，这是今后利用导函数研究函数的必备技能.这里让学生切实理解，为今后学习扫清障碍.例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间.(1) f (x) =x3 +3x

11、；2(2) f (x) = x -2x -3(3) f (x) =sin x x x w (0, n)；32(4) f(x) = 2x +3x -24x + 13斛：(1)因为f(x)=x +3x ,所以,f( x尸 3攵 3= 3x21)因此，f(x)=x3+3x在R上单调递增，如图 1所示.(2)因为 f(x)=x2 2x3,所以， f'(x) =2x 2 = 2(x 1 )当f'(x) >0,即x>1时，函数f (x) =x2 2x3单调递增； '2当f (x) <0,即x<1时，函数f (x) = x -2x-3单调递减；函数f (x)

12、=x2 2x3的图像如图2所示.(3)因为 f (x) =sin x-x xw (0, n),所以，f'(x) = cosx-1 < 0因此，函数f(x)=sinxx在(0,冗)单调递减，如图3所示.(4)因为 f (x) = 2x3 +3x2 -24x +1 ,所以. '2当 f (x)A0,即 时，函数 f(x)=x -2x-3当 f'(x)<0,即 时，函数 f(x)=x2_2x 3函数f (x) =2x3+3x2 24x+1的图像如图4所示.【设计意图】让学生初步体会用导数的方法确定函数单调性的简便【师生活动】总结求y = f (x)单调区间的步骤：

13、(1)确定函数y = f(x)的定义域;求导数y' = f'(x)；(3)解不等式f (x)A0,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式f (x) <0,解集在定义域内的部分为减区间.1例3.已知函数y = x十一，试讨论出此函数的单调区间.x解:/ , 1 / d 1 x2 -1 (x-1)(x+1) 2y =(x -) =1 -=2x x xx令四学工0.x解得x 1或x < -11 一、一一一，y = x十一的单倜增区间是：(-°0,-1)和(1,依) x人(x -1)(x 1)令冷< 0,解得 一 1 < x < 0或 0

14、< x < 1x,1 一一y =x +一的单调减区间是：(1,0)和(0,1)* x练习：P93 1题五,课堂小结(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数y = f (x)单调区间【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构六.布置作业必做：课本P98 A组1,2选做：1、求下列函数的单调区间：(1)y = 2x3 6x2 7(2) y = 1 2x (3)y = sin x, x ：/0,2二(4) y = xln xx. 一 .3.22、已知f (x) =x +bx +cx + d的图像过点P(0, 2)且在x=1处的切线万程为6xy+7 =0,求(1) f(x)的解析式；(2)求函数y = f(x)的单调区间. 一 .3_ 2. 3、已知函数f(x)=ax +3x -x+1在R上是减函数，求 a的取值氾围.【设计意图】体现了分层、有梯度的教学，学生动手练习，加强学生的应用意识.七.教后反思1 .本节课的亮点：教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的二次函数为研究的起点，发现函数的导数的正负与函数单调性