概率论第二章内容总结与案例课件

1、概率论第二章内容总结与案例第二章 内容回顾概率论第二章内容总结与案例分布函数的性质q F ( x ) 单调不减，即)()(,2121xFxFxxq 1)(0 xF且0)(lim, 1)(limxFxFxxq F ( x ) 右连续，即)()(lim)0(0 xFtFxFxt概率论第二章内容总结与案例)(1)(1)(aFaXPaXP) 0()()(aFaFaXP用分布函数表示概率用分布函数表示概率)()(aFbF （ )(bXaPa ab b)()()(1kkkkxFxFxXPp概率论第二章内容总结与案例p.d.f.p.d.f. 连续随机变量密度函数连续随机变量密度函数f f ( ( x x )

2、 )的性质的性质1 0)(xf21)(d)(Fxxf常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 d.f.3在 f ( x ) 的连续点处，)()(xFxff ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率概率论第二章内容总结与案例数学期望的性质(1) E(c) = c(2) E(aX) = aE(X)(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X)概率论第二章内容总结与案例2.3.2 方差的性质(1) Var(c)=0. 性质 2.3.2(2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性质 2.3.3(3) Var(X)=E(X2)E(X)

3、2. 性质 2.3.1概率论第二章内容总结与案例 )(XE)(XE（ ）. )(XE2.3.3 切比雪夫不等式.)()(,),(),(2成立成立不等式不等式则对于任意正数则对于任意正数方差方差具有数学期望具有数学期望设随机变量设随机变量定理定理XDXEXPXDXEX 切比雪夫不等式2)()(XDXEXP 2)(1)(XDXEXP 注：易知 越大的取值越分散)(XD切比雪夫概率论第二章内容总结与案例, 0,1,.,()(1).kn kknnP Xkppk(),0,1, 2,!kP Xkekk(),MNMknkP XkNn1()(1),1, 2,kP Xkppk1()(1),1,1kk r rP

4、Xkppkr rr概率论第二章内容总结与案例定理(泊松定理) 在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验次数n有关), 如果n时, npn(0为常数). 则对于任意给定的k, 有lim ( , ,)lim(1)!kkkn knnnnnnb k n pC ppek概率论第二章内容总结与案例超几何、二项、泊松分布之间的近似关系超几何、二项、泊松分布之间的近似关系定理定理 超几何分布的极限分布是二项分布超几何分布的极限分布是二项分布即，在超几何分布中对于固定的即，在超几何分布中对于固定的 n，k ，如果，如果 lim N+ = p 则有极限关系：则有极限关系： lim N

5、+ = Cnk pk (1 p )n k 对所有的对所有的 0 k n 都成立。都成立。一般当一般当 n 0.1 N 时可以用这个近似的计算公式时可以用这个近似的计算公式 M N CMk CN M n k CNn概率论第二章内容总结与案例常用离散分布的数学期望 几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p 0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np 泊松分布 P() 的数学期望 = 概率论第二章内容总结与案例常用离散分布的方差 0-1 分布的方差 = p(1p) 二项分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 泊松分布 P() 的方差= 几何分布Ge(p) 的

6、方差 = (1p)/p2概率论第二章内容总结与案例其他,0,1)(bxaabxfxexfx222)(21)(0,0,0)(tettft1( ), 0()xf xxex111( )(1), 01( , )abf xxxxB a b( / )1( )( ), 0ax baa xf xexb b22(ln)1( )exp,0.22yf xyy概率论第二章内容总结与案例 P( X m+n | X m ) = P( X n )()(tXPsXtsXP几何分布的无记忆性指数分布的无记忆性概率论第二章内容总结与案例常用连续分布的数学期望 均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指数分布

7、Exp() : E(X) = 1/ 正态分布 N(, 2) : E(X) = 伽玛分布 Ga(, ) : E(X) = / 贝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b)概率论第二章内容总结与案例常用连续分布的方差 均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12 指数分布 Exp() 的方差= 1/2 正态分布 N(, 2) 的方差= 2 伽玛分布 Ga(, ) : Var(X) = /2 贝塔分布 Be(a, b) : Var(X) = ab/(a+b)2(a+b+1)概率论第二章内容总结与案例(x) 的计算(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表.(2) x a)

8、 =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 则 P(|X|a) = P(aXa) = (a)(a) = (a) 1 (a) = 2(a)1 概率论第二章内容总结与案例一般正态分布的标准化定理2.5.1 设 X N(, 2),XY则 Y N(0, 1).推论: 若 X N(, 2), 则( )xF x概率论第二章内容总结与案例正态变量的线性不变性定理2.6.2 设 X N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b N (a +b, a22).由此得： 若 X N (, 2)， 则 Y = (X )/ N(0, 1).概率论第二章内容总结与案例正态分布的 3

9、 原则设 X N(, 2), 则 P( | X | ) = 0.6828. P( | X | 2 ) = 0.9545. P( | X | 0 时， Y = kX Ga (, /k). 定理2.6.5 设 X FX (x)，若FX (x)为严格单调增的连 续函数，则Y = FX (X) U(0, 1).均匀分布的有用结论概率论第二章内容总结与案例分布从哪里来？为什么事件发生的次数常使用泊松分布？伽马、贝塔、威布尔分布看起来冗长难懂，又会有什么作用？分布来源于问题的提出。心理学家认为: 一个正常人, 在整个睡眠时间中, 异相睡眠所占的比例服从B( 12, 48)非寿险精算：常用的损失分布为对数正

10、态、伽马分布、贝塔分布、帕累托分布索赔次数分布：泊松分布、二项分布、负二项分布概率论第二章内容总结与案例可靠性问题可靠性问题可靠度：测量仪器在规定的条件下，在规定的时间内完成规定功能的概率。它是时间的函数，记作R(t)。R(t) = p(T t) 式中：T 为测量仪器寿命，t为规定时间，当t = 0 时，R(0) = 1；当t = 时，R()=00tNn(t)概率论第二章内容总结与案例失效分布函数( )( )( )11( )Nn tn tR tF tNN 0tNn(t)t+ t n(t)产品工作到时间t时刻后，每单位时间内发生失效的频率为：00(|)( )lim()( )1lim1( )( )

11、/( )ttP tTtt TtttF ttF ttF tn tNn tt ( )( )( )( )e( )tF ttR tR tt当约为常数时概率论第二章内容总结与案例威布尔分布环断裂概率ntt0()(t)=P(Tt)=1-P(Tt)t(t)=0t0,b0，为常数，且有a+b=1。证明H(x)=a F(x)+b G(x)为分布函数，并对H(x)的离散与连续性展开讨论概率论第二章内容总结与案例奇异型随机变量F(X)00.5概率论第二章内容总结与案例问题1242435( )1( )10.491436P BP B 解：记 B = “至少出现一次双6点”， 则所求概率为 两颗骰子掷 24 次， 求至少

12、出现一次 双6点 的概率.概率论第二章内容总结与案例问题问题2 2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.概率论第二章内容总结与案例 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”.B表示“2 张中至少有1张假钞”BAP AP则所求概率是 （而不是 ！）.BA)(APABP22025/CC 2112551520()/P BCC CC)(/ )(BPABPBAP所以 118. 085/10)/(1151522025CCCC概率论第二章内容总结与案例1551151511519C C125115215115概率论第二章内容总结与案例问题问题3 3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求（3）取三次，第三次才取得一等品的概率; 213121321)(AAAPAAPAPAAAP概率论第二章内容总结与案例问题4某人有2盒火柴，吸烟时从任意盒中取1根，经过若干时间，发现一盒火柴已用完，假设每盒火柴在未启用时各有n根，求另外一