数学与量化投资

1、辩证思维看数学与量化投资1、量化投资是不是需要复杂的数学工具？n 例子：n 1、西蒙斯曾经解密过他的一个简单的交易策略：在每天开盘的时候决定交易方向，如果开盘价过高（过高判断，可以根据历史数据统计检验来计算），则做空，回落后平仓。该策略并没有用到复杂的数学模型，但是在相当长的时间内都是相当有效的。n 2、在这次全国高校量化投资大赛中，我们小组做了这样一个投资策略模型，在分频数据下，出现连续三个收盘为上涨的，则做空，出现连续三个下跌的，则做多。当时在2014年6月的商品期货上进行回测，结果相当的好，最大的年化收益率高达51621%。该作品后来获得二等奖的奖项2、策略模型越复杂越好吗？n 这恐怕是

2、大部分投资人的主流想法，当然也是大部分人对量化投资不了解的人的本能看法。丁鹏在他的量化投资中有说过：真正有效的策略是简单的，因为越简单的策略越具有稳定性和可靠性。一个过于复杂的策略模型会存在两个问题：第一是子模型的冲突问题；第二是鲁棒性问题。n 市场上有老交易者，有不怕死的交易者，但是没有不怕死的老交易者，海龟当然也有止损策略3、量化投资到底需不需要复杂的数学工具n 不一定不一定n 如果简单的策略能够有稳定的收益率，那么明显你并不需要复杂如果简单的策略能够有稳定的收益率，那么明显你并不需要复杂的数学工具的数学工具n 如果复杂的数学工具能够带来稳定的收益率，那么明显复杂的数如果复杂的数学工具能够

3、带来稳定的收益率，那么明显复杂的数学工具也是有效的。学工具也是有效的。数学在风险方面的应用n 1963年，威廉夏普提出了可以对协方差矩阵加以简化的估计单指数模型，大大简化了马可维茨模型需要进行大量计算的协方差矩阵计算，该理论极大地推动了投资组合在实际投资中的应用.20世纪60年代，夏普、林特纳和莫森分别在1964, 1965和1966年提出了资本资产定价模型(CAPM ) 。该模型不仅提供了评价收益一风险相互转化的可运作框架，也为投资组合分析、基金绩效评价提供了重要的理论基础.n 1976年，罗斯提出了一种替代性的资本资产定价模型，即APT模型。该模型不仅解决了资本资产定价模型所存在的不可检验

4、性的缺陷，同时也直接导致了投资组合理论走向了新的历史阶段，多指数投资组合分析方法在投资实践中得到了广泛的应用.n 接下来的投资组合理论，开始由分散投资理论向着连续时间方向快速发展，首先，莫顿(Merton )和布兰登(Breeden )利用贝尔曼开创的动态规划方法和伊藤随机分析技术，重新考察了包含不确定因素的拉姆齐问题，即在由布朗运动等随机过程的驱动的不确定环境下，投资者如何连续地做出消费投资决策，使得终身效用最大化.无须单期框架下的严格假设，由此获得了连续时间跨期资源配置的一般均衡模型一时际资n 定价模型(ICAPM ) 以及消费资产定价模型(CCAPM ) ，从而推广并兼容了早先时期的均值

5、一方差模型.因此在1990年，莫顿(Merton )提出了连续时间金融方法论，这也标志着投资理论进入了新的历史时代.n 随着计算机的不断发展，由冯诺伊曼等数学家提出的蒙特卡洛模拟算法在金融学领域的到了广泛的应用.蒙特卡洛方法又称统计模拟方法，借助计算机技术，蒙特卡洛方法实现了两大优势:n 一是简单，省却了繁复的数学推导和演算过程使得一般人也能够运用和掌握.n 二是快速，简单快速，是蒙特卡洛方法在现代项目管理中获得应用的技术基础.n 蒙特卡洛方法为计算风险提供了一个很好的工具，在实际应用中多被用来计算VaR值，用来估算风险.资产定价模型(CAPM )n现代资产组合理论是由1990年诺贝尔经济学奖

6、获得者、美国著名经济学家马克维兹（Harry Markowitz）提出的，他于1952年在美国金融学学刊上发表的证券组合选择（Portfolio Selection）一文中第一次系统地提出了资产组合理论，同时在1959年出版了自己的专著投资组合选择：投资有效分散化使自己的资产组合理论得到进一步的完善。在马克维兹的理论模型中，以均值来代表证券资产组合的预期收益，以方差来代表证券资产组合收益的变动性，即风险，模型中风险和收益的度量1.单一证券资产收益率的度量n（1）我们在这里以股票为例，以一年为投资期限，在股票投资中，投资收益率等于在这一时期内，股票红利收益和差价收益之和。 n（2）在实际研究中，

7、由于证券的收益率收到许多不确定因素）在实际研究中，由于证券的收益率收到许多不确定因素的影响，从而它是一个随机变量，因此服从一个概率分布。的影响，从而它是一个随机变量，因此服从一个概率分布。n（3）可求出该证券的期望收益率或预期收益率：）可求出该证券的期望收益率或预期收益率： 2. 2.单一证券风险的度量单一证券风险的度量n我们知道，证券的收益率是一个随机变量，其实际收益率与期望我们知道，证券的收益率是一个随机变量，其实际收益率与期望收益率往往存在一定的偏差，实际收益率往往分散在预期收益率收益率往往存在一定的偏差，实际收益率往往分散在预期收益率周围。如果实际收益率越分散，他们与预期收益率的偏离程

8、度就周围。如果实际收益率越分散，他们与预期收益率的偏离程度就越高，投资者承担的风险也就越大。因此，证券风险的大小可由越高，投资者承担的风险也就越大。因此，证券风险的大小可由实际收益率与预期收益率的偏离程度来反映，在数学上这一偏离实际收益率与预期收益率的偏离程度来反映，在数学上这一偏离程度叫作方差，即：程度叫作方差，即：n n对上式求平方根，就是证券收益率的标准差。对上式求平方根，就是证券收益率的标准差。3. 3. 证券组合收益和风险的度量证券组合收益和风险的度量n（1 1）两种证券组合收益和风险的度量。）两种证券组合收益和风险的度量。 我们令两种证券为我们令两种证券为A A和和B B，投资者将

9、一笔资金按一定比例投资，投资者将一笔资金按一定比例投资于这两种证券，允许卖空。并在到期时，可计算出这一证券组合的期于这两种证券，允许卖空。并在到期时，可计算出这一证券组合的期望收益率和收益率的方差：望收益率和收益率的方差： （2 2）多种证券组合收益和风险的度量。）多种证券组合收益和风险的度量。3.1.2 马克维兹资产组合理论的基本模型n马克维兹资产组合选择的原则是：在既定的风险水马克维兹资产组合选择的原则是：在既定的风险水平上选择最大的收益，或者在既定的风险水平上选择平上选择最大的收益，或者在既定的风险水平上选择最小的风险。根据他的这一思路，对于任意给定的期最小的风险。根据他的这一思路，对于

10、任意给定的期望收益率水平，选择具有最小方差水平的资产组合就望收益率水平，选择具有最小方差水平的资产组合就是最优的资产组合。是最优的资产组合。n 两种证券组合收益和风险在不同资产配比下的不同收益与风险情况：两种证券组合收益和风险在不同资产配比下的不同收益与风险情况：n 建立一个以均值作为纵轴，标准差作为横轴的均值建立一个以均值作为纵轴，标准差作为横轴的均值标准差平标准差平面，每一个最优资产组合收益率所对应的均值（预期收益率）和标准差面，每一个最优资产组合收益率所对应的均值（预期收益率）和标准差（风险）都是该平面中的一点，这些点组成的集合构成了资产组合的有效（风险）都是该平面中的一点，这些点组成的

11、集合构成了资产组合的有效边界，如下图所示：边界，如下图所示：n n n FG FG就是一个最优的或有效的资产组合边界。同时，马克维兹也提出就是一个最优的或有效的资产组合边界。同时，马克维兹也提出了一个标准的均值了一个标准的均值- -方差模型来对其理论进行模型说明。方差模型来对其理论进行模型说明。n 资产定价模型：资产定价模型：E(R)=RE(R)=RF F+ +E(RE(RM M)-)-R RF F 阿尔法n 资产定价模型：资产定价模型：E(R)=RE(R)=RF F+ +E(RE(RM M)-)-R RF F n 理论收益：理论收益：R RF F+ +RRM M- -R RF F n 实际收

12、益：实际收益：R Rp pn 当当R Rp p R RF F+ +RRM M- -R RF F 时，便出现了正的阿尔法时，便出现了正的阿尔法n =R=Rp p-R-Rf f+ +E(RE(Rm m- -R Rf f)、投资策略简介n R=+Rf+(Rm-Rf)n1、n当市场处于牛市时，寻找值更大的股票。然后买入持有，你会获得比整体市场更高的收益率。n2、n当某些股票表现超过其应有的收益时，那么这些股票存在，寻找出其中存在的，通过ETF或者股指期货等方法对冲的波动风险，从而获取稳定的收益。4、数学工具在量化投资中的运用n （1）、回归分析）、回归分析n 最小二乘法：最小二乘法：n 4 3 5 4

13、 6 8 7 9 8n yi=a+b*xi+ein MIN(ei2)n y=a+b*x的扩展研究n 资产定价模型公式： R=+Rf+(Rm-Rf)n 历史数据回归公式： y=a+b*xn 对比两式中的和b以及+Rf和a。n 1、a和b为实际数据拟合出来的参数，相当于市场的真实情况。n 2、为资产定价模型计算出来的参数，相当于预测。n 3、将实际情况与预测情况进行对比，寻找市场存在的真实规律（2）、统计学n例子商品期货跨期统计套利期货远月合约的价格=期货近月的合约价格+持仓费其中持仓费是仓储费用、商品过户费用、交易手续费、交割手续费、利息、增值税之和。现象：远月期货合约价格高于近月合约期货价格价

14、差=远月期货合约价格-近月期货合约价格n 1、统计历史价差分布情况，做出价差分布图。、统计历史价差分布情况，做出价差分布图。n 2、针对价差分布情况，取不同的价差点位当进出场点位。当价差到达该点位、针对价差分布情况，取不同的价差点位当进出场点位。当价差到达该点位时进行相应操作时进行相应操作Page 27 灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，即灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。vG表示grey（灰色），M表示mode

15、l（模型）灰色模型(1,1)灰色预测 灰色系统理论认为，尽管客观表象复杂，但总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘和利用它。灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻求数据的现实规律的途径，即为灰色序列的生成。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。（1）累加生成）累加生成 把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生成过程（成过程（AGO ）。由累加生成过程所得的数列称为）。由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列

16、。设原始数列为累加生成数列。设原始数列为 ，令令称所得到的新数列为数列称所得到的新数列为数列 的的1次累加生成数列。类似次累加生成数列。类似地有地有称为称为 的的r次累加生成数列。次累加生成数列。)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx, 2 , 1, )()(1)0()1(nkixkxki)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxx)0(x1, 2 , 1, )()(1)1()(rnkixkxkirr)0(x累加生成计算示例例：例：x (0)=(x (0) (k) k=1，2，3，4，5) =x(0)(1)，x(0)(2)，x(0)(3)，x(0)(4)，x(

17、0)(5) =(3.2，3.3，3.4，3.6，3.8) 求求 x(1)(k)解：解：21) 0 () 0 () 0 () 1 () 0 () 1 (5 . 63 . 32 . 3) 2 () 1 () () 2 (, 22 . 3) 1 () 1 (, 1ixxixxkxxk51)0() 1 ()0() 1 ()0() 1 (41)0() 1 ()0() 1 (31)0() 1 (3 .178 . 35 .13) 5 () 4()() 5 (, 55 .136 . 39 . 9) 4() 3 ()() 4(, 49 . 94 . 35 . 6) 3 () 2()() 3 (, 3iiixxi

18、xxkxxixxkxxixxk累加生成的特点 一般经济数列都是非负数列。累加生成一般经济数列都是非负数列。累加生成能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转化为非减的、递增的。化为非减的、递增的。 原始数列作图原始数列作图 1AGO1AGO作图作图 某市的汽车销售量 递增的规律 n 设设 为原始数列，其为原始数列，其1次累次累n 加生成数列为加生成数列为 ，其中，其中n 定义定义 的灰导数为的灰导数为令令 为数列为数列 的邻值生成数列，即的邻值生成数列，即于是定义于是定义GM（1，1）的灰微分方程模型为）的灰微分方程模型为)(,),2(),1 ()0()0()

19、0()0(nxxxx)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxx, 2 , 1, )()(1)0()1(nkixkxki)1(x).1()()()()1()1()0(kxkxkxkd)1(z)1(x),1()1 ()()()1()1()1(kxkxkz,)()()1(bkazkd即或即或 （1）在式（在式（1）中，）中， 称为灰导数，称为灰导数，a称为发展系数，称为发展系数， 称为白化背景值，称为白化背景值，b称为灰作用量。称为灰作用量。将时刻表将时刻表 代入（代入（1）式有）式有引入矩阵向量记号：引入矩阵向量记号： ,)()()1()0(bkazkx)()0(kx)() 1 (kznk, 3 , 2,)()(,)3()3(,)2()2()1()0()1()0()1()0(bnaznxbazxbazx)() 3()2()0()0()0(nxxxYbau1)(1)3(1)2()1()1()1(nzzzB于是于是GM（1，1）模型可表示为）模型可表示为现在问题归结为求现在问题归结为求a,b在值。用一元线性回归，即最小二乘法求它们的估计值在值。用一元线性回归，即最小二乘法求它们的估计值为为注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准程序求解，如注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准程序求解，如matlab等。等。GM（1，1）