(选修2-3)1.2.1排列

1、1.2.1 排列排列 肥城一中高二数学组肥城一中高二数学组分类加法计数原理分类加法计数原理: :完成一件事完成一件事, ,有有n n类不同的方类不同的方案案, ,在第在第1 1类方案中有类方案中有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2类方类方式中有式中有m m2 2种不同的方法种不同的方法, , ,在第在第n n类类方案方案中有中有m mn n种不同的方法种不同的方法, ,那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法分步乘法计数原理分步乘法计数原理: :完成一件事完成一件事, ,需要分成需要分成n n个步骤个步骤, ,做第一步有做第一步有m m1 1种不同的

2、方法种不同的方法, ,做第做第2 2步有步有m m2 2种不同的种不同的方法方法, , ,做第做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法, ,则完成这件则完成这件事共有事共有 种不同的方法种不同的方法温故而知新1.两个计数原理两个计数原理:n n2 21 1m mm mm mN N 12nNmmm2.运用两个原理解题时需要要注意运用两个原理解题时需要要注意3点：点：要明确完成要明确完成“一件事一件事”是什么；是什么；要明确是要明确是“分类分类”还是还是“分步分步”；分类时做到分类时做到“不重不漏不重不漏”，分步时做，分步时做到到“步骤完整步骤完整”.探究：探究：问题问题1：从甲、乙

3、、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？午的活动，有多少种不同的选法？分析：分析：把题目转化为从甲、乙、丙把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名，名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？顺序排列，求一共有多少种不同的排法？ 上午上午下午下午相应的排法相应的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙第一步：确定参加上午活动的同学即从第一步：确定参加

4、上午活动的同学即从3 3名中任名中任 选选1 1名，有名，有3 3种选法种选法. .第二步：确定参加下午活动的同学，有第二步：确定参加下午活动的同学，有2 2种方法种方法根据分步计数原理：根据分步计数原理：3 32=6 2=6 即共即共6 6种方法。种方法。把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,于是问于是问题就可以叙述为：题就可以叙述为： 从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一定个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb问题问题2.2.

5、从从4 4个不同的元素个不同的元素a,b,c,da,b,c,d中取出中取出3 3个元素，个元素，按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？第第1 1步：步：先确定第一个元素，在先确定第一个元素，在4 4个元素中任取个元素中任取1 1个，有个，有4 4种取法；种取法；第第2 2步：步：再确定第二个元素，在剩下的再确定第二个元素，在剩下的3 3个元素个元素中任取中任取1 1个，有个，有3 3种取法；种取法；第第3 3步：步：最后确定第三个元素，在余下的最后确定第三个元素，在余下的2 2个元个元素中任取素中任取1 1个，有个，有2 2种取法；种取法；由分步计数原理可

6、知，共有由分步计数原理可知，共有4 3 224 种不同的排法。种不同的排法。分分3 3步步4 43 32 2ab c dc dbdcbbac dc da dcacab dbda dbadab cbc a cbaabcabdacbacdadbadcbacbadbcabcdbdabdccabcadcbacbdcdacdbdabdacdbadbcdcadcb树状图：树状图：列举：列举：基本概念基本概念1、排列：、排列：一般地，从一般地，从n个不同中取出个不同中取出m (m n)个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元个不同元素中取出素中取出m个元素的一个

7、排列。个元素的一个排列。说明：说明：1 1、元素不能重复。、元素不能重复。n n个中不能重复，个中不能重复，m m个中也不能重复。个中也不能重复。2 2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。否是排列问题的关键。3 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。而且元素的排列顺序也完全相同。4 4、m mn n时的排列叫选排列，时的排列叫选排列，m mn n时的排列叫全排列。时的排列叫全排列。5 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也

8、不遗漏，可以采用、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用“树形图树形图”。练习：判断下列问题是否属于排列问题练习：判断下列问题是否属于排列问题.（1）从）从1，2，3三个数字中每次取出三个数字中每次取出2个数相乘个数相乘，有多少不同的积？有多少不同的积？ （2）从从1，2，3三个数字中每次取出三个数字中每次取出2个数相除，个数相除，有多少不同的商？有多少不同的商？ 5人互通一次电话人互通一次电话,共需通多少次电话？共需通多少次电话？从从40人中选人中选5人担任班长，团支书，副班长，人担任班长，团支书，副班长，学习委员，体育委员，共有多少种选法。学习委员，体育委员，共有多少种选法。不

9、是不是不是不是是是是是2、排列数：、排列数： 从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n n个不同的元素中个不同的元素中取出取出m m个元素的排列数。用符号个元素的排列数。用符号 表示。表示。mnA“排列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联有什么区别和联系？系？排列数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；mn“排列数”是指从 个不同元素中，任取个元素的mnA所以符号只表示nm“一个排列”是指：从个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素233 26A 问题中是求从个不同元素中取出个

10、元素的问题中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为排列数，记为 ,已经算得已经算得23A344 3 224A 问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的个元素的排列数，记为，已经算出排列数，记为，已经算出34A探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？2nA呢呢？mnA呢呢？3nA 第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位n种种(n-1)种种(n-2)种种(n-m+1)种种2(1)nAn n3(1)(2)nAn nn(1)(2)(1)mnAn nnnm(1)(1)排列数公式（排列数公式（1 1）：）

11、：)*,)(1() 2)(1(nmNnmmnnnnAmn当当m mn n时，时，123) 2)(1(nnnAnn正整数正整数1 1到到n n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n n的阶乘，用的阶乘，用 表示。表示。! nn n个不同元素的全排列公式：个不同元素的全排列公式：! nAnn(2)(2)排列数公式（排列数公式（2 2）：）：)!(!mnnAmn说明：说明：1 1、排列数、排列数公式公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。的第一个常用来计算，第二个常用来证明。为了使当为了使当m mn n时上面的公式也成立，规定：时上面的公式也成立，规定：1! 0 2 2、对于、对于 这个条件要留意，往往是

12、解方程时的这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条隐含条件件。nm全排列全排列mn=n(n-1)(n-2)(n)A-m+1n(n-1)(n-2)(n-m+1)(n-m)21(n-m)2=1mnn!A =(n-m)!n!(n-m)!nnn-mn-mAA2534581 : 123.( )A ; ()A ; ( )A例计算8 88 85 55 5A A(4)(4)A A根据例根据例1的的能否归纳出一般的结论吗能否归纳出一般的结论吗?n nm mn nn nn- mn- mn- mn- mA An!n!A=A=(n - m )!(n - m )!A A1818181813131313A A(5)(5)A

13、 A练习练习1证明：证明：mmm-1n+1nnA=A +mA证明：右边证明：右边!()!(1)!nnmnmnm !(1)! (1)!(1)nnmnmnmnmnm(1) !(1)!nnnm(1)!(1)!nnm1mnAmnn!A =(n-m)!(1)!(1nnnmmnm左边左边例例2 2、某年全国足球甲级、某年全国足球甲级A A组联赛共有组联赛共有1414个队参加，个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？共进行多少场比赛？解：解：14个队中任意两队进行个队中任意两队进行1次主场比赛与次主场比赛与1次次客场比赛，对应于从客场比赛，

14、对应于从14个元素中任取个元素中任取2个元素的个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是一个排列，因此，比赛的总场次是1821314214A例 3(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ = 5= 54 43= 603= 6035 A被选元素可重复选取，不是排列问题！被选元素可重复选取，不是排列问题！5 55 55= 1255= 125“从从5个不同元素中选出个不同元素中选出3并按顺序排列并按顺序排列”【例【例4】用】用0到到9这这10个数字可以组成多少个没有个数字可以组成多少个没有重

15、复数字的三位数？重复数字的三位数？ 特殊位置“百位”，特殊元素“0”百位十位个位6488992919AA法1：64822939AA法2：百位百位 十位十位个位个位A390百位百位 十位十位个位个位A290百位百位 十位十位个位个位A29【例【例4】用】用0到到9这这10个数字可以组成多少个没有个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？重复数字的三位数？ 特殊位置“百位”，特殊元素“0”64889891029310AA法3：3 3、对于有限制条件的排列问题，必须遵循、对于有限制条件的排列问题，必须遵循“特殊元素优特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排先考虑，特殊位置优先安排”，并注意，并注意“合理分

16、类，准合理分类，准确分步确分步”，做到，做到“不重不漏，步骤完整不重不漏，步骤完整” ” ，适当考虑，适当考虑“正难则反正难则反” ” 。方法总结：方法总结：1 1、排列数、排列数公式公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。的第一个常用来计算，第二个常用来证明。2 2、对于、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。nm课堂小结课堂小结一、两个定义：一、两个定义：“一个排列一个排列”与与“排列数排列数”的的定义定义二、两个重要公式：二、两个重要公式：三、两种图形：三、两种图形：计算与证明计算与证明树形图与框图树形图与框图“一个排列一个排列”“排

17、列数排列数”与与两者的区别两者的区别n nm mn nn nn- mn- mn- mn- mA An!n!A=A=(n - m )!(n - m )!A AmnA =n(n-1)(n-2)(n-m+1)0！=1（n+1）！）！=（n+1）n!四、方法技巧：四、方法技巧：定位问题优先法定位问题优先法(特殊位置法、特殊元素法特殊位置法、特殊元素法)； 复杂问题复杂问题“排除法排除法”(间接法间接法)排排 列列(2)(2) 肥城一中高二数学组肥城一中高二数学组 从从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m( )m( )个元素（个元素（m m个元素不可重复个元素不可重复取）取）按照一定的顺序排成一

18、列按照一定的顺序排成一列，叫做，叫做从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个个元元素的一个排列素的一个排列. . nm 1、排列的定义：、排列的定义：2.2.排列数的定义：排列数的定义： 从从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m( )m( )个元素的个元素的所有排列的个数所有排列的个数叫做从叫做从n n个元素中取出个元素中取出m m个元素的排列数个元素的排列数n nm m mnA!nAnn3.3.有关公式：有关公式：n n1 1) )( (n n3 32 21 1 . .阶阶乘乘：n n! !1 1（2）排列数公式）排列数公式:n)n)m mN*,N*,(m、n(m、nm)！

19、m)！(n(nn！n！ 1)1)m m(n(n1)1)(n(nn nA Am mn n 解排列问题的常用技巧解排列问题的常用技巧 解排列问题，首先必须认真审题，明确问解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解使一些看似复杂的问题迎刃而解. 总的原则总的原则合理分类和准确分步合理分类和准确分步 解排列问题，应按元素的性质进行分类，解排

20、列问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。确，分步层次清楚，不重不漏。（一）特殊元素的（一）特殊元素的“优先安排法优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。素，再考虑其它元素。 例例1 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（的三位数，其中偶数共有（ ）A.24 B.30 C.40 D.60 分析：分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，由于该三位

21、数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为又因为0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，应优元素，应优先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；排在末尾和不排在末尾分为两类；0排在末尾时，有排在末尾时，有 个；个；0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有十位有 个；个；由分类计数原理，共有偶数由分类计数原理，共有偶数 30 个个.2A4111233A A AB解题技巧分类讲解：解题技巧分类讲解： （1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数？复数

22、字的五位数？4515AA （2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字的五位奇数？字的五位奇数？341413AAA 练练 习习 13）用数字）用数字1, 2, 3可写出多少个没有重复数字可写出多少个没有重复数字且小于且小于1000的正整数？的正整数？15332313AAA 例例2 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中数字的三位数，其中1不在个位的数共有不在个位的数共有_种。种。（二）间接法（排除法）（二）间接法（排除法） 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。35A 分

23、析分析：五个数组成三位数的全排列有五个数组成三位数的全排列有 个，个，0排在首位的排在首位的有有 个个 ，1排在末尾的有排在末尾的有 ，减掉这两种不合条件的排，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为法数，再加回百位为0同时个位为同时个位为1的排列数的排列数 （为什么？）（为什么？）故共有故共有 种。种。24A24A35A13A392132435AAA24A24A种排法。各不能排某位，则有、个位，个不同元素排若22112mnmnmnAAAbamn13A（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不）三个男生，四个女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？在最左，乙不在最右，有几种不同方法？

24、5566772AAA （2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（乙不站第二个位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72782334455AAA间接4113433378AA A A种直接练练 习习 2（三）相邻问题（三）相邻问题捆绑法捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素的元素“捆绑捆绑”在一起，看作一个在一起，看作一个“大大”的元的元素素（组），（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行与其它元素排列，然后再对相

25、邻的元素（组）内部进行排列。排列。例例3 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？别有多少种站法？分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余与其余4人共有人共有5个元素做全排列，有个元素做全排列，有 种排法，然后种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全排列。对甲，乙，丙三人进行全排列。55A由分步计数原理可得：由分步计数原理可得： 种不同排法。种不同排法。5353A A（四）不相邻问题（四）不相邻问题插空法插空法 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它对于某几个元素不相邻的排

26、列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。之间及两端的空隙之间插入即可。例例4 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分别有多少种站法？分析：分析：可先让其余可先让其余4人站好，共有人站好，共有 种排法，再在种排法，再在这这4人之间及两端的人之间及两端的5个个“空隙空隙”中选三个位置让甲、中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有乙、丙插入，则有 种方法，这样共有种方法，这样共有 种不种不同的排法。同的排法。44A35A3544AA（1）三个男

27、生，四个女生排成一排，男生、女）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？生各站一起，有几种不同方法？2三个男生，四个女生排成一排，三个男生，四个女生排成一排，男生之间、男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？女生之间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：捆绑法：443322AAA 4433AA 插空法：插空法：3如果有两个男生、四个女生排成一排，要如果有两个男生、四个女生排成一排，要 求男求男生之间不相邻，有几种不同排法？生之间不相邻，有几种不同排法？2544AA 插空法：插空法：练练 习习 3例例5 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互

28、不等，将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？（五）顺序固定问题用（五）顺序固定问题用“除法除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有所以共有 种。种。 473377AAA分析：分析：先在先在7个位置上作全排列，有个位置上作全排列，有 种排法。其中种排法。其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮到高”

29、排，只有一种顺序故排，只有一种顺序故 只只对应一种排法，对应一种排法，33A77A（1） 五人排队，甲在乙前面的排法有几种？五人排队，甲在乙前面的排法有几种？练练 习习 42三个男生，四个女生排成一排，其中三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？三人的顺序不变，有几种不同排法？473377AAA分析：若不考虑限制条件，则有分析：若不考虑限制条件，则有 种排法，而甲，种排法，而甲，乙之间排法有乙之间排法有 种，故甲在乙前面的排法只有一种种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故符合条件，故符合条件的排法有符合条件的排法有 种种.55A22A5522AA

30、35A即（六）分排问题用（六）分排问题用“直排法直排法” 把把n个元素排成个元素排成若干排若干排的问题，若没有其他的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.例例6 七人坐两排座位，第一排坐七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？人，则有多少种不同的坐法？ 分析：分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无个人，可以在前后排随意就坐，再无其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以不同的坐法有不同的坐法有 种种.77A（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？后排四人，有几种不同排法？或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，所以所以两排可看作一排来处理两排可看作一排来处理不同的坐法有不同的坐法有 种种77A774437AAA （2）八个人排成两排，有几