第九节 二元函数的泰勒公式

1、第九节 二元函数的泰勒公式第1页，共15页。一、二元函数的泰勒公式一、二元函数的泰勒公式一元函数)(xf的泰勒公式: 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(推广多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，共15页。记号记号(设下面涉及的偏导数连续): ),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpm

2、pmpmppm 一般地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示表示第3页，共15页。定理定理1 1.),(),(00yxyxfz在点设的某一邻域内有直到 n + 1 阶连续偏导数 ,),(00kyhx为此邻域内任 一点, 则有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn) 10(nR其中 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，共15页。证证

3、: 令),10(),()(00tktyhtxft则 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元复合函数求导法则可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(002yxfkhyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，共15页。),(C)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地, ),()()0(00)(yxfkhmyxm由 )(t的麦克劳林

4、公式, 得 ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10(将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. )0()0()0()0()(!1!21nn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，共15页。),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn说明说明:(1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭邻域其绝对值必有上界 M , ,22kh 令则有1)(! ) 1(nnkhnMRsincoskh11)sincos(! ) 1(nnnM)1(max2 1 , 0 xx利用11)2(! ) 1(nnnM)(no2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页，共15页。

5、(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(3) 若函数),(yxfz 在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零, .),(常数yxf由中值公式可知在该区域上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，共15页。例例1. 求函数)0 , 0()1ln(),(在点yxyxf解解: yxyxfyxfyx11),(),(的三阶泰勒公式. 2)1 (1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1 (!2yxyxfpp)3,2, 1 ,0(p444)1 (!3yxyxfpp)4,3

6、,2, 1 ,0(p因此,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，共15页。)0, 0()(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh)0 , 0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0, 0(f又代入三阶泰勒公式得将ykxh,)1ln(yxyx2)(21yx33)(31Ryx其中),()(43khfkhRyx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，共15页。时, 具有极值二、极值

7、充分条件的证明二、极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令则: 1) 当A 0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC定理定理2 (充分条件)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，共15页。证证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx则有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhx

8、fxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00连续的二阶偏导数在点由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(00机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，共15页。22221kCkhBhA其中其中 , , 是当h 0 , k 0 时的无穷小量 ,于是z),(21khQ)(22kh ,很小时因此当kh.),(确定的正负号可由khQz(1) 当 ACB2 0 时, 必有 A0 , 且 A 与C 同号, )()2(),(222221kBACkBkhBAhAkhQA)()(2221kBACkBhAA可见 ,0),

9、(,0khQA时当从而z0 , 因此),(yxf;),(00有极小值在点yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(2o22221kkhh第13页，共15页。,0),(,0khQA时当从而 z0,在点因此),(yxf;),(00有极大值yx(2) 当 ACB2 0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A0, 则 )(),(221kkBhAkhQA)(2BAC ),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直线当时, 有,0kBhAAkhQ与故),(异号;),(yx当,),(0000时接近沿直线yxyy,0k有AkhQ与故),(同号.可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, 在点因此),(yxf;),(00无极值yxxy),(00yxo机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页，共15页。+xy),(00yxo若 AC 0 , 则必有 B0 ,不妨设 B0 ,此时 222),(kCkhBhAkhQ),(00kyhx对点,同号时当kh,0),(khQ,异号时当kh,0),(khQ可见 z 在 (