机械振动学习题解答(三)ppt课件

1、 习题解答三习题解答三2021-05-151;.1 力法力法 牛顿第二定律牛顿第二定律/动量矩定理动量矩定理2 视察法视察法 对链式系统，直接写出结果对链式系统，直接写出结果3 刚度法刚度法/柔度法柔度法刚度法刚度法要使第要使第j个广义坐标发生单位位移而其他广义坐标的位移为个广义坐标发生单位位移而其他广义坐标的位移为0，需求在第，需求在第i个广义坐标上个广义坐标上施加的力，即为刚度矩阵施加的力，即为刚度矩阵K中的元素中的元素kij柔度法柔度法在第在第j个广义坐标上施加单位力，使第个广义坐标上施加单位力，使第i个广义坐标发生的位移，即为柔度矩阵个广义坐标发生的位移，即为柔度矩阵A中的中的元素元素

2、aij4 Lagrange方程方程多自在度系统列微分方程多自在度系统列微分方程 MxKxF21 2iiiiiiidLLDQLVUDc xdtxxx惯性力惯性力保守力保守力阻尼力阻尼力动能动能势能势能 A MxxAFmx kxcx 212mx 212kx2Ok2xk1J0T2T1T1mg解法一解法一 (力法力法) ：设：设m相对平衡位置的位移为相对平衡位置的位移为x，向下为正；，向下为正；J0相对平衡位置相对平衡位置的转角为的转角为，顺时针为正。，顺时针为正。对对m：对对J0 ：11mxkRk x214 如下图，固定滑车力学模型中，起吊物质量量为如下图，固定滑车力学模型中，起吊物质量量为m，滑轮

3、绕中心，滑轮绕中心O的转动惯量为的转动惯量为J0，假定绳，假定绳索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。整理可得微分方程：220112Jk xRkRkR1121120000kk Rmxxk RkkRJ 注：重力项和弹簧静伸长抵消，由于注：重力项和弹簧静伸长抵消，由于mg = k。参见习题。参见习题2-5由由单独引起的弹簧弹单独引起的弹簧弹力弹簧被压短力弹簧被压短由由x单独引起的弹簧弹单独引起的弹簧弹力弹簧被拉长力弹簧被拉长3解法二解法二Lagrange方程：设方程：设m相对平衡位置的位移为相对平衡位置的位移为x；J0相对平衡位置相对平衡位置的转角为的转角

4、为。系统动能：系统动能：系统势能：系统势能：2201122VmxJOk2x将以上各式代入Lagrange方程：即得微分方程。k1J02221211()22Uk xRkRLVU2110112, , , ()LLLLmxk xkRJk xRkkRxx 0, 0dLLdLLdtxxdt注：重力势能和弹簧静变形的弹性势能抵消。注：重力势能和弹簧静变形的弹性势能抵消。m4解法三刚度法：设解法三刚度法：设m相对平衡位置的位移为相对平衡位置的位移为x，向下为正；，向下为正；J0相对平衡相对平衡位置的转角为位置的转角为，顺时针为正。，顺时针为正。先令先令x = 1， = 0，要使系统受力平衡，须在，要使系统受

5、力平衡，须在m上施加向下的力上施加向下的力k1 ，在，在J0上施加逆时针力矩上施加逆时针力矩k1R，即，即再令再令x = 0， = 1，要使系统受力平衡，须在，要使系统受力平衡，须在m上施加向上的力上施加向上的力k1R，在，在J0上施加顺时针力矩上施加顺时针力矩即即因此微分方程为因此微分方程为111211, kkkk R Ok2xk1J0m21212212, ()kk RkkkR 1121120000kk Rmxxk RkkRJ 212()kkR5解法四柔度法：设解法四柔度法：设m相对平衡位置的位移为相对平衡位置的位移为x，向下为正；，向下为正；J0相对平衡相对平衡位置的转角为位置的转角为，顺

6、时针为正。，顺时针为正。假设假设m遭到一个向下的单位力，那么弹簧遭到一个向下的单位力，那么弹簧k1相对平衡位置伸长相对平衡位置伸长1/k1，弹簧，弹簧k2相对平衡位置伸长相对平衡位置伸长1/k2，所以，所以x = 1/k1+1/k2， = 1/(k2R)，即，即假设假设J0遭到一个顺时针方向的单位力矩，那么弹簧遭到一个顺时针方向的单位力矩，那么弹簧k1相对平衡位置无变形，相对平衡位置无变形，弹簧弹簧k2伸长伸长1/k2R，所以，所以x = 1/k2R， = 1/(k2R2)，即，即因此微分方程为因此微分方程为1121122111+, aakkk ROk2xk1J0m122222211, aak

7、 Rk R122202201/1/1/()001/()1/()mkkk RxxJk Rk R 6215 用视察法建立图示链式系统的振动微分方程。用视察法建立图示链式系统的振动微分方程。解：微分方程为解：微分方程为1233111111334221122000kkkkmxccxxkkkmxccxx与与m1相连的一切弹簧相连的一切弹簧衔接衔接m1和和m2之间的一之间的一切弹簧的负数切弹簧的负数对角阵对角阵对称阵对称阵 (规那么规那么与刚度阵一样与刚度阵一样)对称阵对称阵与与m2相连的相连的一切弹簧一切弹簧m1k4k1k2k3c1m27216 绳索绳索-质量系统的参数如下图，设质量系统的参数如下图，设

8、m1 = 2m2，各段绳索中的张力均为，各段绳索中的张力均为T。试用柔度法建立系。试用柔度法建立系统作微振动的微分方程。统作微振动的微分方程。解法一：柔度法把解法一：柔度法把m1和和m2竖直方向的位移作为竖直方向的位移作为广义坐标，向下为正。对广义坐标，向下为正。对m1施加一竖直向下的单位力，施加一竖直向下的单位力，使使m1和和m2产生的位移即为柔度系数产生的位移即为柔度系数a11和和a21 。同理，对m2施加一竖直向下的单位力，得柔度系数a12和a22。于是微分方程：Tm1m2T1121211111211sinsin12sin/, sin/ 23TTLaaLaLTLLL21122220210

9、0123mxxLmxxT2111123LaaT1122241 0223xxm LxxT即8解法二：刚度法把解法二：刚度法把m1和和m2竖直方向的位移作为竖直方向的位移作为广义坐标，向下为正。使广义坐标，向下为正。使m1产生竖直向下的单位位移，产生竖直向下的单位位移， m2位置不变，需求对位置不变，需求对m1和和m2施加的竖直向下的力，施加的竖直向下的力，即为刚度系数即为刚度系数k11和和k21 。同理，使m2产生竖直向下的单位位移，m1位置不变，得刚度系数k12和k22 。于是微分方程：Tm1m2T11111112 sin2sin1/TkTkLLLLL21122220210012mxxTmxx

10、Lk11Tk21T121211sinsin1/TkTkLL 9217 如下图系统中，如下图系统中，k1 = k2 = k3 = k，m1 = m2 = m，r1 = r2 = r，J1 = J2 = J。求系统的振动微。求系统的振动微分方程。分方程。解：力法设解：力法设J1和和J2分别沿顺时针方向旋分别沿顺时针方向旋转了转了1和和2。那么弹簧内力分别为均为拉。那么弹簧内力分别为均为拉伸伸对对J1和和J2受力分析：受力分析：k2于是微分方程：k1F1F2F2F3k3J1, r1J2, r2121220210012JkrJ11 1 1221 12 2332 2, , FkrFkrrFkr121 1

11、1 1 1121 12 212221 12 2232 22Jkr rkrrrJkrrrkr r 注：还可以用刚度注：还可以用刚度法列方程。法列方程。10218 行车载重小车运动的力学模型如下图，小车质量为行车载重小车运动的力学模型如下图，小车质量为 m1，遭到两根刚度为，遭到两根刚度为 k 的弹簧的约束，的弹簧的约束，悬挂物质量量为悬挂物质量量为m2，悬挂长度为，悬挂长度为 L，摆角，摆角很小，求系统的振动微分方程。很小，求系统的振动微分方程。解：解： Lagrange方程以方程以m1程度方向的位移和程度方向的位移和m2的摆角为广的摆角为广义坐标。义坐标。由于由于m2相对相对m1的速度为的速度

12、为 ，m1的速度即牵连速度为的速度即牵连速度为 ，故故m2的绝对速度为的绝对速度为系统的动能为系统的动能为势能为势能为kkLm1m2Lx 2222cosLxx L222212112cos22Tm xmLxx L2211 cos2Ukk xm gL11令 L = T - U，列Lagrange方程：可得于是微分方程：d0dd0dLLtxxLLt0sin2sin2sin2cos22202sin22cos221gLmLxmLxmLxmLmkxLmLmxmm 0222202221gLmxLmLmkxLmxmm 12222222000mmm Lkxxm Lm Lm gL 略去 高阶项，且 ，方程可化简为

13、2sincos1，122/cosLxmmxmL 222/cosLmLm xL22/sinsinLm gLm x L /2Lxkx 12微分方程令 ，代入方程得线性方程组要使方程有非零解，须 ，从而得固有频率 。将 代回线性方程组，得对应的振型 。于是振型矩阵振型具有正交性：正那么振型多自在度系统自在振动多自在度系统自在振动 0MxKx i txX e 20KMX 2det0KMiiXi 0 TijXMXijTiiiXMXM12 .uXX 12(,.)TuMuMdiag M M将M换成K也成立1122 / /.uXMXM 2212 , .TTuMuIuKudiag13微分方程令 ，方程可解耦令

14、，方程可解耦1 直接解令 ，得 ，解得2 模态综合法先分析自在振动，得到振型和主坐标，使方程解耦，再解方程多自在度系统受迫振动多自在度系统受迫振动 0MxKx xuy11112222000000MyKyMyKy 211122220000yyyy xuy MxKxF i txX e 2KMXF X1438 求图示系统的固有频率和主振型杆为刚性，不计质量。求图示系统的固有频率和主振型杆为刚性，不计质量。解：解：(刚度法刚度法) 以以m和和2m竖直方向的位移为广义坐标，向下为竖直方向的位移为广义坐标，向下为正。正。使使m产生竖直向下的单位位移，产生竖直向下的单位位移，2m位置不变，需求对位置不变，需

15、求对m和和2m施加的竖直向下的力，即为刚度系数施加的竖直向下的力，即为刚度系数k11和和k21 。k于是微分方程：kLm2mLL1121112220kkkkkLkLk L力平衡：力矩平衡：12224 , 5kkkk 得同理可得：112205400245xxmkkxxmkk11215 , 4kkkk 1k11k212kk15微分方程线性方程组特征方程解得固有频率将固有频率代入线性方程组，得振幅比于是振型矩阵：112205400245xxmkkxxmkk22540452kmkkkm242221590mkmk2212153 17153 17, 44kkmm21112222553 171.086416

16、553 170.461416BkmAkBkmAk 111.0860.461u22540452AkmkBkkm 2212注： !1639 如下图均质杆的质心如下图均质杆的质心 c 点向下挪动的位移点向下挪动的位移 x 及杆顺时针方向转角及杆顺时针方向转角 为广义坐标，求系统的固为广义坐标，求系统的固有角频率和主振型。有角频率和主振型。解：设杆的质心向下挪动解：设杆的质心向下挪动 x 且向顺时针方向旋转且向顺时针方向旋转 。分别分析杆的受力平衡和力矩平衡：分别分析杆的受力平衡和力矩平衡：k于是微分方程：kL/4mcL/4L/2 224424LLxkLLxkJLxkLxkxm/p>

17、60200mkkLxxmLkLkL 17微分方程线性方程组特征方程解得固有频率将固有频率代入线性方程组，得振幅比于是振型矩阵：1422511124160200mkkLxxmLkLkL 2142225114161220kmkLkLkLmL2142225114161220AkmkLBkLkLmL 221223972397, 88kkmm2111222227971.424/ 4227978.424/ 42BkmALkLLBkmALkLL 111.4248.424uLL2212 !18310 如下图改动振动系统中，如下图改动振动系统中，kt1 = kt2 = kt，J1 = 2J2 = 2J。求系统的

18、固有频率和主振型；。求系统的固有频率和主振型；设设1(0) = 1 rad，2(0) = 2 rad， ，求系统对初始条件的呼应。，求系统对初始条件的呼应。解：设解：设J1和和J2的转角分别为的转角分别为1和和2 ，分析其力矩平衡，分析其力矩平衡kt2于是微分方程：特征方程固有频率12(0)(0)0kt1J11J221 11 122122221tttJkkJk 112220210011tJkJ 22220ttttkJkkkJ 2211u振型矩阵：22122222, 22ttkkJJ也可用视察法19由振型矩阵得系统呼应为代入初始条件解得即 1122u1111222211coscos22AtAt1

19、11222112211112222111222(0)coscos1(0)2cos2cos2(0)sinsin0(0)2sin2sin0AAAAAAAA 12121.207,0.207,0AA 1122111.207cos0.207cos22tt1122cos(12)/ 2cos(12)/ 2AA1122sinsin0AA20311 求图示系统的振型矩阵求图示系统的振型矩阵 、正那么化振型矩阵、正那么化振型矩阵 和主坐标。和主坐标。解：用视察法可得微分方程解：用视察法可得微分方程特征方程特征方程固有频率 u ukmkmk112202002xxmkkxxmkk224222204302kmkmkmk

20、kkm22123, kkmm 1111u振型矩阵主质量： 11011201101102TmmMuMumm 122MMm主质量矩阵21主坐标 112111122220.50.50.50.50.50.5xxyxxuxxyxx正那么化的振型矩阵(p.63 式3-79) 1211221/1/111112m/MMuMM或 11211122212/ 211112/ 2mxxyxxmuyxxmxx注：据此，微分方程可改写为如下的解耦方式：11112222000000MyKyMyKy 211122220000yyyy 1200TKuKuK其中22312 如下图系统中，轴的抗弯刚度为如下图系统中，轴的抗弯刚度为

21、EI，它的惯性矩不计，圆盘的转动惯量，它的惯性矩不计，圆盘的转动惯量 J = mR2/4，R = L/4，静平衡时轴在程度位置。求系统的固有频率。，静平衡时轴在程度位置。求系统的固有频率。解：以圆盘竖直向下的位移解：以圆盘竖直向下的位移 x 和转角和转角 为广义坐标。为广义坐标。方法一：柔度法方法一：柔度法微分方程：LR32112132LLaaEIEI在梁端点施加单位力时，挠度，转角212222LLaaEIEI在梁端点施加单位弯矩时，挠度，转角322LL03200LL2mxxEIEIJEIEI 23方法二：刚度法当梁端点的挠度为1，转角为0时，遭到的力为k11，力矩为k21。当梁端点的挠度为0

22、，转角为1时，遭到的力为k12，力矩为k22。LR32112111321121212L121326LL02k LkEIkEIEILEIkkkLEIEI3212221222122222L60324LL12k LkEIkEIEILEIkkkLEIEI32212600064EIEImxxLLJEIEILL 微分方程：24计算固有频率特征方程固有频率LR26432222687680m LEIL mE I12331.7021,16.2820EIEImLmL23222126064EIEImLLEIEIJLL25313 用用Rayleigh法和法和Dunkerley公式估算图示系统中质点在铅垂平面中作垂直于

23、绳索微振动时的公式估算图示系统中质点在铅垂平面中作垂直于绳索微振动时的基频，并与准确解相比较。基频，并与准确解相比较。解：由解：由2-16题知，微分方程题知，微分方程特征方程：m1m2LLL21122220210012mxxTmxxL22222202TTmLLTTmLL2122330.6342TTm Lm L解得基频的准确解：26Rayleigh法法Dunkerley法法 21221-121 12Rayleigh39Rayleigh14TTTTTXXXKXTm LXMXXKXTm LXMKMX 任意假设振型函数，但各元素必须同号，比如令则第一种商：第二种商： 1222222204210221233mmmLLDKMmmmTT 21222131422TTTr DLmmLm 21222021 , 0012mxMKmx已知27415 改动振动参数如下图，求系统在简谐鼓励下的稳态呼应。改动振动参数如下图，求系统在简谐鼓励下的稳态呼应。解：微分方程解：微分方程kt线性方程组：振幅稳态呼应kt2J1J2T sinttTtkJJsin021111221002 ,