chapter无穷级数小结PPT课件

1、第1页/共17页1、常数项级数级数的部分和定义级数的收敛与发散内容小结第2页/共17页性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质第3页/共17页正 项 级 数交错级数1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun一般项级数4.绝对收敛常数项级数审敛法第4页/共17页定义2

2、、正项级数及其审敛法审敛法(1) 比较审敛法第5页/共17页(2) 比较审敛法的极限形式第6页/共17页第7页/共17页设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时级数收敛时级数收敛;1 时级数发散时级数发散; 1 时失效时失效.设设 1nnu是正项级数是正项级数, ,如果如果 nnnulim)( 为数或为数或 , ,则则1 时级数收敛时级数收敛; ; 1 时级数发散时级数发散; ;1 时失效时失效. .第8页/共17页定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.3、交错级数及其审敛法第9页/共17页定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定义定义:

3、 :若若 1nnu收敛收敛, , 则称则称 0nnu为绝对收敛为绝对收敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .4、任意项级数及其审敛法第10页/共17页第11页/共17页Example 1.:,1下列级数是否收敛下列级数是否收敛收敛收敛设设 nnu.1)3( ;)2( ; )0001. 0()1(1110001 nnnnnnuuuSolution., 00001. 0)0001. 0(lim)1( nnu.)0001. 0(1发散发散 nnu,)2(111000同时敛散同时敛散与与 nnnnuu.11000收敛收敛 nnu,

4、1lim)3( nnu.11发散发散 nnu第12页/共17页Example 2.判别级数的敛散性：).0(11)4( ;2sin)3(11)2( ;)1(1)1(11121 aannnnnnnnn Solution.,11)1(1)1( nnn,111 nn发散发散而级数而级数所以原级数发散.,111)2(22nn ,112收敛收敛而级数而级数 nn所以原级数收敛.第13页/共17页nn22sin)3( ,21收敛收敛而而 nn 所以原级数收敛., 0111lim,1)4( nnaa时时当当所以原级数发散., 02111lim,1 nnaa时时当当所以原级数发散.,111,1nnaaa 时时

5、当当,)1(1收敛收敛而而 nna所以原级数收敛.注意: 比较审敛法中的比较级数通常是p-级数和几何级数.第14页/共17页Example 3.判别级数的敛散性：.2)1(3)4( ; )11ln()3(!3)2( ;)1(41951)1(32852)1(11211 nnnnnnnnnnnnnSolution., 1434132limlim)1(1 nnuunnnn所以原级数收敛.!3)1()!1(3limlim)2(111nnnnuunnnnnnnn , 13)1(3lim ennnn所以原级数发散.第15页/共17页, 011)11ln(limlim)3(22 nnvunnnn,112收敛收敛而级数而级数 nn所以原级数收敛.,)1(3)1(3lim21lim)4