2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题03 函数模型

1、专题 03函数模型专题点拨随着新高考改革，函数模型的应用题越来越多，新的课程标准中 6 大学科素养中，其中 2 个是数学建模和创新能力，这在函数中体现的很明显。其中数学建模主要是指函数模型的解决，主要有一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型、指对数函数模型等。另外就是构造函数的能力。真题赏析ïî1(2017·上海) 定义在 (0, +¥) 上的函数 y = f ( x) 的反函数为 y 

2、;= f函数，则 f -1 ( x) = 2 的解为_【答案】89-1ìï3x - 1, x £ 0( x) ，若 g ( x) = í        为奇f ( x), x > 01【解析】f ( x)

3、 = -3- x + 1 Þ f (2) = -+ 1 =989， f -1 ( x) = 2 的解为 x =89 .2(2018·上海)已知 a Î-2, -1,-    ,   ,   ,1,2,3 ，若幂

4、函数 f ( x) = xa 为奇函数，且在 (0, +¥ ) 上递减，1 1 12 3 2则 a = _【答案】 -1【解析】 由题可得a < 0 ，则由 f (x) 为奇函数可得a = -1 .3(2018·上海)已知常数 a > 0 ，函数&

5、#160;f ( x) =则 a = _【答案】 62x                 6       1的图像经过点 P( p, ) ，Q(q, - ) ，若 2 p+q = 

6、36 pq ，2x + ax               5       5【解析】 由题可得 f ( p) + f (q) = 1 ，即2 p      2q+2

7、60;p + ap  2q + aq= 1 ，解得 2 p+q = a 2 pq = 36 pq ，则 a = 6 .例题剖析(3)在条件(2)下，试求满足不等式  g (-m) > (  )m 的实数 m 的取值范围m + 2, m 

8、;³ -   ,2g (m) = í-m -  , -  < m <-   ,2m   2       2【例 1】已知函数 f ( x) = 1 + x + 1 - 

9、x (1)求函数 f ( x) 的值域；( 2, 2 )(2)设 F ( x) = m 1 - x2 + f ( x) 的最大值为 g (m) ，求 g (m) 的表达式；94【解析】 (1)根据题意，得 f 2 ( x) = 2 + 2&

10、#160;1 - x2 .于是， f (x) 的值域为 2, 2 .(2)令 t = 1 - x2 ，可得 F (t ) = m(t + 1) +2 1 + t - m .进一步讨论，可得ì1ïïï121ïï2ï 2, 

11、m £ -î2(3)根据(2)，易求得 m <.12.【例 2】已知函数 f ( x) = 2x + k × 2- x ( x Î R )(1) 判断函数 f ( x) 的奇偶性，并说明理由；(2) 设 k > 0 ，问函数 f 

12、;( x) 的图像是否关于某直线 x = m 成轴对称图形，如果是，求出 m 的值；如果不是，请说明理由；(3)设 k = -1 ，函数 h( x) = a × 2x - 21- x -43a ，若函数 f ( x) 与 h( x) 的图像有且只有一个公共点，求实数 a 

13、;的取值范围【解析】(1) f (- x) = 2- x + k × 2 x ，若 f ( x) 是偶函数，则 f (- x) = f ( x) ，即 2- x + k × 2x = 2x + k × 2-&#

14、160;x ，所以 (k - 1)(2 x - 2- x ) = 0 对任意实数 x 成立，所以 k = 1 ；若 f ( x) 是奇函数，则 f (- x) = - f ( x) ，即 2- x + k × 2x

15、60;= -2x - k × 2- x ，所以 (k + 1)(2 x + 2- x ) = 0 对任意实数 x 成立，所以 k = -1 .综上，当 k = 1 时， f ( x) 是偶函数；当k = -1 时， f 

16、( x) 是奇函数；当 k ¹ ±1 时， f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数.2(2)当 k > 0 时，若函数 f ( x) 的图像是轴对称图形，且对称轴是直线 x = m ，则函数 f (m + x) 是偶函数，即对任意实数 x ， f (m 

17、- x) = f (m + x) ，故 2 m- x + k × 2 -(m-x) = 2 m+ x + k × 2 -(m+ x) ，化简得 (2 x - 2 - x )(2 m - k ×

18、0;2 -m ) = 0 ，因为上式对任意 x Î R 成立，所以 2 m - k × 2 -m = 0 ， m = 1 log k 2所以，函数 f ( x) 的图像是轴对称图形，其对称轴是直线 x =12log k 2(3)由 f

19、60;( x) = h( x) 得， (a - 1) × 2x - 2- x -4                  4a = 0 ，即 (a - 1) × 22 x&#

20、160;- a × 2x - 1 = 0 ，此方程有且只有一个3                  3实数解令 t = 2x ，则 t > 0 ，问题转化为：方程 (a - 1)t 2 -43a

21、t - 1 = 0 有且只有一个正数根当  a = 1 时， t = -，不合题意  当 a ¹ 1 时，(i)  若 = 0 ，则 a = -3 或，若  a = -3 ，则 t =  ，331442符合题意；若

22、60;a =3                                            3，则 t = -

23、2 ，不合题意 (ii)  > 0 ，则 a < -3 或 a > ，由题意，方程有一个正4                              

24、              4根和一个负根，即- 1a - 1< 0 ，解得 a > 1 综上，实数 a 的取值范围是 - 3  U (1 , + ¥) 【变式训练 2】已知函数 y = f

25、0;( x) ，若在定义域内存在 x ，使得 f (- x ) = - f ( x ) 成立，则称 x 为函数 f ( x) 的局部对0000称点.(1) 若 a, b Î R 且 a ¹ 0 ，证明：函数 f ( x) =

26、60;ax 2 + bx - a 必有局部对称点；(2) 若函数 f ( x) = 2x + c 在区间 -1,2 内有局部对称点，求实数 c 的取值范围；(3) 若函数 f ( x) = 4x - m × 2x+1 + m2 - 3 在 

27、R 上有局部对称点，求实数 m 的取值范围.【解析】(1) 由 f ( x) = ax 2 + bx - a 得 f (- x) = ax 2 - bx - a ，+代入 f (- x) + f ( x) = 0 得， (ax&#

28、160;2 + bx - a )(ax 2 - bx - a )= 0 ，得到关于 x 的方程 ax 2 - a = 0 ( a ¹ 0 )，其中 D = 4a 2 ，由于 a Î R 且 a ¹&#

29、160;0 ，所以 D > 0 恒成立，所以函数 f ( x) = ax 2 + bx - a ( a ¹ 0 )必有局部对称点.(2) 方程 2 x + 2 - x + 2c = 0 在区间 -1,2 上有解，于是 - 2

30、c = 2 x + 2 - x ， 设 t = 2 x( - 1 £ x £ 2 )，1                 1       &

31、#160;  1  17         17£ t £ 4 ， - 2c = t +  其中 2 £ t + £ ， 所以 -2         &

32、#160;       t          t  4          8£ c £ -1(3) f (- x) = 4 - x - m ×

33、0;2 - x+1 + m 2 - 3 ，由于 f (- x) + f ( x) = 0 ，所以 4 - x - m × 2 - x+1 + m 2 - 3 = -(4 x - m × 2&

34、#160;x+1 + m 2 - 3) ，于是 (4 x + 4 - x ) - 2m(2 x + 2 - x ) + 2(m 2 - 3) = 0 (*)在 R 上有解令 2 x + 2 - x = t

35、60;( t ³ 2 )，则 4 x + 4 - x = t 2 - 2 ，所以方程(*)变为 t 2 - 2mt + 2m 2 - 8 = 0 在区间2,+¥) 内有解，需满足条件：ìD = 4m 2 - 8(m 2&

36、#160;- 4) ³ 0ïí 2m + 4(8 - m 2 )ï³ 2î2ìï- 2 2 £ m £ 2 2，  即 íîï1 - 3 £ m £ 2 2，化简得1&#

37、160;- 3 £ m £ 2 2 .【例 3】(2019·宝山区一模)某温室大棚规定：一天中，从中午 12 点到第二天上午 8 点为保温时段，其余 4小时为工人作业时段.从中午 12 点连续测量 20 小时，得出此温室大棚的温度 y (单位：度)与时间 t (单位：小时， t Î 0,20 )近似地满足函数

38、 y = t - 13 +bt +2关系，其中， b 为大棚内一天中保温时段的通风量.(1)若一天中保温时段的通风量保持 100 个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到 0.10C )；(2)若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17 0C ，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.【解析】(1) y = t - 13 +100t +2， D =

39、0,13) ， D = 13,20 ，1 2t + 2t +2100当 t Î D 时， y = 13 - t +是减函数，1100当 t Î D 时， y = t - 13 +是增函数，2所以， ymin= y (13) » 6

40、.7 0 ，因而，大棚一天中保温时段的最低温度是 6.70C .(2)由题意 y = t - 13 +b³ 17 ，所以 b ³ (t + 2) (17 - t - 13 ) ，t +2g (t ) = (t + 2) (17 - t

41、60;-13 )= í(t + 2)(30 - t ), t Î Dî令ì(t + 2)(4+t ), t Î D12，只需求 g (t ) 的最大值，当 t Î D 时， g (t ) 递增， g (t ) <&

42、#160;g (13)=255 ，1当 t Î D 时， t + 2=30 - t ，即 t =14 ， g2max(t ) = g (14) = 256 ，故， gmax(t ) = g (14) = 256 ，所以，大棚一天中保温时段通风量的最小值为 256

43、0;个单位.【变式训练 3】(2019·静安区二模)某文化创意公司开发出一种玩具(单位：套)进行生产和销售.根据以往经验，每月生产 x 套玩具的成本 p 由两部分费用(单位：元)构成：𝑎.固定成本(与生产玩具套数 x 无关)，总计一百万元；100  𝑥2𝑏.生产所需的直接总成本50𝑥 +1(1)问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？(2)假设每月生产出的玩具能全部售出

44、，但随着 x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着 x 的增大而适当增加.设每套玩具的售价为 q 元，𝑞 = 𝑎 + 𝑥 (𝑎， 𝑏  𝑅).若当产量为 15000 套时利润最𝑏大，此时每套售价为 300 元，试求 a、b 的值. (利润=销售收入成本费用)

45、100  𝑥2，【解析】解：(1)由题意知，生产成本为𝑝 = 1000000 + 50𝑥 +1100   1000000 + 50 = 250，100  + 1000000 + 50  2= 𝑥𝑝𝑥𝑥 𝑥𝑥当且仅当ү

46、09;100= 1000000 时，即𝑥2 = 100000000，解得𝑥 = 10000；𝑥答：该公司生产 1 万套玩具时，使得每套平均所需成本费用最少，且每套的成本费用为 250 元；100  𝑥2)(2)利润𝑞𝑥  𝑝 = 𝑥(𝑎 + 𝑥 )&

47、#160; (1000000 + 50𝑥 +𝑏1= (1 𝑏1100)𝑥2 + (𝑎  50)𝑥  1000000；根据题意，有1 𝑏1100< 0，𝑎 + 15000 = 300，且𝑏𝑎502(1 1 )𝑏 

48、; 100= 15000，解得𝑎 = 250，b=300.巩固训练一、填空题1. 已知偶函数 f ( x) = ln( x - a)2 在区间 (0,b 上的最大值为 2 ，则 a + b = _【答案】 e【解析】因为 f(x)是偶函数，则 f(x)f(x)，ln(xa)2ln(xa)2，(xa)2(xa)2，即

49、0;x22axa2x22axa2，4ax0，a0，所以 f(x)lnx2，因为 ylnx 和 yx2 在区间(0，)上是增函数，则 f(x)lnx2 在区间(0，b上的最大值为 f(b)lnb22，则 be，所以 ab0ee.2. 若函数 f (a) = ( x + a)(bx + 2a) (常数 a, b Î R )是偶函数，

50、且它的值域为 (-¥,4 ，则该函数的解析式f ( x) = _.【答案】 -2 x 2 + 4【解析】由于 f(x)的定义域为 R ，值域为(，4，可知 b0，f(x)为二次函数，f(x)(xa)(bx2a)bx2(2aab)x2a2.2b0，2aab0，a0 或 b2.若 a0，则 f(x)bx2aabf(x)为偶函数，其对称轴为 x0，24b×2a2与值域是(，4矛盾，a

51、0，若 b2，又其最大值为 4，4b4，2a24，f(x)2x24.故答案为2x24.3. 若函数 f ( x) = x ln(x + a + x2 ) 为偶函数，则 a = _.【答案】1【解析】因为函数 f(x)xln(x ax2)为偶函数，所以 f(x)f(x)，即xln(x ax2)xln(x ax2)，解得 a1.4.已知函数 f

52、0;( x) = x2 + ax + b ( a, b Î R )的值域为0, +¥) ，若关于 x 的不等式 f ( x) < c 解集为 (m ，m + 6) ，则实数 c 的值为_ 【答案】9+【解析】由值域为0 ， ¥)

53、60;，当 x2 + ax + b=0 时有V = a2 - 4b = 0 ，即 b =a24，=ç x + ÷  f ( x) = ç x + ÷  < c 解得+ ax + b = x

54、60;f ( x) = x22 + ax +a2  æ   a ö2 æ a ö24  è   2 ø è 2 ø- c < x +a       

55、60;       a         a< c ， - c -  < x < c -2               2   

56、60;     2 不 等 式 f ( x) < c 的 解 集 为 (m ，m + 6) ， (  c -   ) - (-   c -   ) = 2  c =

57、 6 ，解得 c = 9 .aa22ìæ 1 ö x( )f (x) = íè 2 ø     且方程 f  x  = x 恰有两解，则实数 a 的取值范围是5. 函数ïç ÷ + 

58、;a, x £ 0,î,ï f (x - 1) x > 0.【解析】当 0 < x £ 1 时， - 1 < x - 1 £ 0 ， f (x ) = f (x - 1) = 

59、31;è 2 ø(0) > 0 ，即 æç 1 ö÷-1 + a > 0  a > -2 .【答案】 a > -2如图所示， fè 2 ø1   2æ 1 ö÷x-1+ a&#

60、160;，二、选择题5 sin 𝜋 𝑥0  𝑥  26.(2019· 浦东新区三模)已知函数𝑦 = 𝑓(𝑥)是定义域为 R 的偶函数，当𝑥  0时，𝑓(𝑥) = 44，(1)𝑥 + 1𝑥 > 22若关于

61、60;x 的方程𝑓(𝑥)2 + 𝑎𝑓(𝑥) + 𝑏 = 0(𝑎，𝑏  𝑅)有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a 的取值范围是()A. ( 5 ，  1)2C. ( 5 ，  9)  ( 9

62、60;，  1)244【答案】C【解析】解：作出函数𝑓(𝑥)的图象如图：B. ( 5 ，  9)2      4D. ( 9 ，  1)4则𝑓(𝑥)在(，  2)和(0，2)上递增，在(2，0)和(2， + )上递减，当𝑥 = ±2时，函数取得极大值𝑓(

63、2) = 5；4当𝑥 = 0时，取得极小值 0要使关于 x 的方程𝑓(𝑥)2 + 𝑎𝑓(𝑥) + 𝑏 = 0，a，𝑏  𝑅有且只有 6 个不同实数根，设𝑡 = 𝑓(𝑥)，则当𝑡 <

64、60;0，方程𝑡 = 𝑓(𝑥)，有 0 个根，当𝑡 = 0，方程𝑡 = 𝑓(𝑥)，有 1 个根，当0 < 𝑡  1或𝑡 = 5，方程𝑡 = 𝑓(𝑥)，有 2 个根，4当1 < 

65、𝑡 < 5，方程𝑡 = 𝑓(𝑥)，有 4 个根，4当𝑡 > 5，方程𝑡 = 𝑓(𝑥)，有 0 个根4则𝑡2 + 𝑎𝑡 + 𝑏 = 0必有两个根𝑡1、𝑡2，则有两种情况符合题意：44&#

66、119905;1 = 5，且𝑡2  (1， 5)，此时𝑎 = 𝑡1 + 𝑡2，则𝑎  ( 5 ，  9)；244𝑡1  (0，1，𝑡2  (1， 5)，此时同理可得𝑎  ( 9 ，  1)，4综上可得 

67、a 的范围是( 5 ，  9)  ( 9 ，  1)，244故选：C7. 函数 f ( x) =ax + b( x + c) 2的图像，如图所示，则下列结论成立的是(   )y0，axb0，所以 x  0，所以 a0  故 a0，b0，c0.选 C.Aa0，b0，c0B

68、a0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c0【答案】Caxbb       【解析】由 f(x)（xc）2及图像可知，xc，c0，则 c0；当 x0 时，f(0)c20，所以 b0；当baA ç -, 2 ÷    B ç -, 2 ÷    C ç&

69、#160;-, 2 ÷    D ç -   ,3 ÷8. 若关于 x 的不等式 x 2 < 2 - x - a 至少有一个负解，则参数 a 的取值范围为()æ5öæ7öæ9öæ 7öè4ø&#

70、232;4øè4øè 4ø【答案】C【解析】Q x2 - 2 < - x - a Û x - a < 2 - x2 ，令 f (x ) = 2 - x2 , g (x ) = x - a 

71、，在同一直角坐标系中，作出它们的图像，则 f (x)与 g (x)在 y 轴左侧至少有一个交点，由 2 - x 2 = x - a 有等根 D = 1 + 4 (a + 2 ) = 0 Þ a = - 94，若 y = g (x 

72、)中， a = 2 ，其图像其好过点 (0,2)，如图所示，可得 -94< a < 2 ，故选 C .三、解答题9.共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.   据市场分析，每辆单车的营运累计利润 y (单位：元)与营运天数 x (x Î N *)满足1y = -x2 + 60x&

73、#160;- 800 .2(1)要使营运累计利润高于 800 元，求营运天数的取值范围；令 -x2 + 60 x - 800 > 800 ，(2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润【解析】（1） 要使营运累计收入高于 800 元，12解得 40 < x < 80 .yx的值最大？(2)  y所以营运天数的取值范围为 4

74、0 到 80 天之间1800=-x -+ 60x2x£ -2 400 + 60 = 20当且仅当  1800x =2x时等号成立，解得 x = 400所以每辆单车营运 400 天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为 20 元每天 .10. 若函数 f (x)的定义域为 R ，且对任意 x ,&#

75、160;x12R 都有 f (x + x )? f (x1 2 1) f (x )，则称 f (x)为“V 形2函数”(1) 当 f (x)= x2 时，判断 f (x)是否为“V 形函数”，并说明理由；x(2) 当 f (x)= lg( 2 + 2)时，证明： f (

76、x)是“V 形函数”；(3) 如果函数 f (x)= lg(2x + a)为“V 形函数”，求实数 a 的取值范围【解析】(1) f ( x) = x2 不是V 形函数令 x = 1, x = 2 ，则 f ( x + x ) = 9 ，f ( x&

77、#160;) + f ( x ) = 1 + 4 = 5 < 9 ，121212即 f ( x) = x2 不满足V 形函数的定义(2) 当 f ( x) = lg( x 2 + 2) 时， f ( x) 定义域为 R

78、60;对任意 x , x Î R 有 f ( x ) + f ( x ) = lg( x 2 + 2) + lg( x1212122+ 2) = lg( x 2 x 2 + 2 x 2 + 2 x 2

79、 + 4)1 2 1 2由 x 2 + x122³ 2 x x 可知： f ( x + x ) = lg( x 2 + 2 x x + x 2 + 2) £ lg(2 x 2 + 2 x&#

80、160;2 + 2)1 2 1 2 1 1 2 2 1 2< lg( x 2 x 2 + 2 x 2 + 2 x 2 + 4) = f ( x ) + f ( x ) ，从而 f ( x)

81、60;= lg( x 2 + 2) 是V 形函数121212(3) 由 f ( x) = lg(2 x + a) 为 V 形函数可知， f ( x) 定义域为 R ，故必有 a ³ 0 又任取 x , x Î R ，有 

82、lg(2 x1 + x2 + a) £ lg(2 x1 + a) + lg(2 x2 + a) ，12即 0 < 2x1 + x2 + a £ (2 x1 + a)(2 x2 + a) = 2 x1 +x2 +&#

83、160;a(2 x1 + 2 x2 ) + a 2化 简 得 ： a(2 x1 + 2 x2 + a - 1) ³ 0 对 x , x Î R 恒 成 立  当 a = 0 时 ， 显

84、60;然 成 立 ； 当 a > 0 时 ， 要 求122 x1 + 2 x2 + a - 1 ³ 0 恒成立，即 a ³ 1  综上所述，实数 a 的取值范围是 a = 0 或 a ³ 1 1

85、1. 对于函数 y = f ( x) 与常数 a,b ，若 f (2 x) = af ( x) + b 恒成立，则称 (a, b) 为函数 f ( x) 的一个“ p 数对”；若 f (2 x) ³ af ( x) + 

86、b 恒成立，则称 (a, b) 为函数 f ( x) 的一个“类 P 数对”设函数 f ( x) 的定义域为 R+ ，且f (1) = 3 (1) 若 (-2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对”，且当 x Î1,2) 时 f ( x)

87、0;= k - 2 x - 3 ，求 f ( x) 在区间 1,2n ) (n Î N*) 上的最大值与最小值；(2) 若 f ( x) 是增函数，且 (2, -2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对”，试比较 f (2-n ) 与&

88、#160;2-n +2 (n Î N*) 的大小，并说明理由【解析】(1)当 x Î1,2) 时， f ( x) = k - | 2 x - 3| ，令 x = 1 ，可得 f (1) = k - 1 = 3 ，解得 k =

89、60;4 ，即 x Î1,2) 时， f ( x) = 4- | 2 x - 3| ，故 f ( x) 在 1,2) 上的取值范围是3,4 又 (-2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对”，故 f (2 x) = -2 f 

90、( x) 恒成立， 当 x Î2k -1,2 k ) (k Î N*) 时，xxxxÎ1,2)， f ( x) = -2 f ( ) = 4 f ( ) =  = (-2)k -1 f () ，2k -1242k -1故

91、 k 为奇数时， f ( x) 在 2k -1,2 k ) 上的取值范围是3 ´ 2k -1,2 k +1  ；当 k 为偶数时， f ( x) 在 2k -1,2 k ) 上的取值范围是-2k +1, -3 ´ 2k -1 &#

92、160;所以当 n = 1 时， f ( x) 在 1,2n ) 上的最大值为 4 ，最小值为 3；当 n 为不小于 3 的奇数时， f ( x) 在 1,2n ) 上的最大值为 2n+1 ，最小值为 -2n ；当 n 为不小于 2 的偶数时， f 

93、( x) 在 1,2n ) 上的最大值为 2n ，最小值为 -2n+1 (2) 由 (2, -2) 是 f ( x) 的一个“类 P 数对”，可知 f (2 x) ³ 2 f ( x) - 2 恒成立，即 f ( x) £12f 

94、(2 x) + 1恒成立，令 x =12k(k Î N*) ，可得 f (1   1   1) £  f (2k 2  2k -1) + 1，) - 2 £    f (即 f ( 111 

95、) - 2 对一切 k Î N * 恒成立，2k22k -1所以 f (1      1    1       1    1           1 

96、         1) - 2 £  f (   ) - 2 £  f (   ) - 2 £  £  f (1)- 2 =2n     2

97、   2n-1      4   2n-2          2n         2n，𝑓 (𝑥)，𝑓1(𝑥)  𝑓2(𝑥)𝑓2(𝑥

98、;)，𝑓1(𝑥) > 𝑓2(𝑥)故 f (2-n ) £ 2-n + 2 (n Î N*) 12.(2019· 徐汇区二模)已知函数𝑦 = 𝑓1(𝑥)，𝑦 = 𝑓2(𝑥)，定义函数𝑓(𝑥)&#

99、160;=  12(1)设函数 1 () =  ， 2 () = (1)1( 0)，求函数 = ()的值域；222(2)设函数 1 () = lg(| + 1)(0 <1 ，p 为实常数)， 2 () = lg1 (0 <1 )，当0 <1时，恒有()=1 ()

100、 ，求实常数 p 的取值范围；(3)设函数   ()  =  2| ，   ()  =  3   2|  ，p 为正常数，若关于 x 的方程()  =  (  为实常数)恰有三个不12同的解，求 p 的取值范围及这三个解的和(用 p 表示)

101、【解析】解：() 注意到 1 (1) =2 (1) = 1，2 1 () =  在0， + )上单调递增， 2 () = (1)1在0， + )上单调递减，当0  1时， 1 ()  2 () ，此时()=1 () =  0，1，当 > 1时， 

102、;1 () >2 () ，此时() =22 () = (1)1 (0，1)，综上所述，函数 = ()的值域是0，1   +1    +  12(2)由题意 1 ()  2 () ，即lg(| + ) lg1在0  1恒成立，| 111时恒成立，11在0 <1

103、21   11     令()=+11，(0 <  1)，()  =21+ 1，(0 <  1)，2问题等价为 ()且 ()，2  ，()   =  (  1) =2 ，故()= ( 1) =2321     

104、;   12 3，2(3)由题意  1 ()  =  2，  2 ()  =            ，其中   >  0，20> 03 2   ，   3 2 

105、;  ，   > 1 () > 0， 2 () > 0，2 > 1，()=当 0时， 1 () =22        132 32< 1，  1 ()  2 () ， () =1 

106、() = 2 ，()=假设2 3，则当0 < 时， 1 () =2322      1322  1 2 1，3 1 ()  2 () ，()=1 () = 2 ，()=当 >时， 1 () =2322     

107、; 231，  1 ()  2 () ， () =1 () = 2 ，综上可知，()=1 () = 2| ，此时() 在( ，0上单调递减，则0， + )上单调递增，这与方程()=恰有三个不同的解矛盾，不符合题意，故2 > 3，32𝑝𝑥     = 1 

108、; 22𝑥𝑝  ，由1  22𝑥𝑝 1得𝑥  𝑙𝑜𝑔23𝑝  ，当0 < 𝑥  𝑝时，𝑓1(𝑥) =𝑓2(𝑥)2𝑥3 3 2 𝑓(ү

109、09;) =                        ，2𝑥 ，0 < 𝑥  𝑙𝑜𝑔23𝑝2𝑙𝑜𝑔23𝑝3  

110、;2𝑝𝑥 ，< 𝑥  𝑝2当𝑥 > 𝑝时，𝑓1(𝑥) =𝑓2(𝑥)2𝑥32𝑥𝑝3122= 2𝑝 > 1，𝑓 (𝑥) > 𝑓 (𝑥)， &#

111、160;𝑓(𝑥) = 𝑓 (𝑥) = 3  2𝑥𝑝 ，2𝑥 ，𝑥  0则由此可知，𝑝 > log23，𝑓(𝑥) =2𝑥 ， 0 < 𝑥  𝑙𝑜

112、19892;23𝑝2𝑙𝑜𝑔23𝑝3  2𝑝𝑥 ，       < 𝑥  𝑝2， 3  2𝑥𝑝 ，𝑥 > 𝑝故𝑓(𝑥)在( ，0上单调递减，此时

113、19891;(𝑥)  1，)𝑓(𝑥)在0， 𝑙𝑜𝑔23𝑝 上单调递增，此时𝑓(𝑥)  1，3  2𝑝 ，2𝑓(𝑥)在𝑙𝑜𝑔23𝑝 ，𝑝上单调递减，此时𝑓(𝑥)  3，3

114、0; 2𝑝 ，2𝑓(𝑥)在𝑝，)上单调递增，此时𝑓(𝑥)  3，)，关于 x 的方程𝑓(𝑥) = 𝑚(𝑚为实常数)恰有三个不同的解， 𝑚 = 3或𝑚 = 3  2𝑝 ，当𝑚 = 3时，由w

115、891;(𝑥) = 3得𝑥 = log23或𝑥 = log23或𝑥 = 𝑝，三个解的和为 p，2   或𝑥 = 𝑙𝑜𝑔23𝑝  或𝑥 = 3𝑝𝑙𝑜𝑔2  

116、60;，三个解的和为3𝑝𝑙𝑜𝑔当𝑚 = 3  2𝑝 时，由𝑓(𝑥) = 3  2𝑝 ，得𝑥 = 𝑙𝑜𝑔23𝑝2   3  2𝑝 ，2 32 32新题速递1(20

117、20虹口区一模)已知函数 f ( x) =| x + 2 | ， g (x) =| x + t | ，定义函数 F ( x) = íì f ( x)î g ( x)f ( x) g ( x)f ( x) >

118、; g ( x)，若对任意的 x Î R ，都有 F ( x) = F (2 - x) 成立，则 t 的取值为 ()A -4B -2C0D2【分析】根据条件得到 F ( x) 关于 x = 1 对称，结合绝对值函数的图象特点进行求解即可【解答】解：若对任意的 x Î&#

119、160;R ，都有 F ( x) = F (2 - x) 成立，则函数 F ( x) 关于 x = 1 对称，作出函数 f ( x) 的图象，则 f ( x) 关于 x = -2 对称，由 F ( x) 的对应值则 g ( x)&

120、#160;关于 x = -t 对称，即 -2 - t = 1 ，得 -2 - t = 2 ，2得 t = -4 ，即 t 的值为 -4 ，故选： A 2(2020徐汇区一模)已知函数 f ( x) = íx2 + 6x + 10, 

121、;x  - 1ì-4x + 1, x > -1î关于 x 的不等式 f (x) - mx - 2m - 2 < 0 的解集是 ( x ，1x ) È ( x ， +¥) ，若 x x x >&

122、#160;0 ，则 x + x + x 的取值范围是231 23123【分析】作出 y = f ( x) 的图象，由题意可得 f (x) < m( x + 2) + 2 ，作出直线 y = m(x + 2) + 2 ，其恒过定点 (-2,2) ，结合题意

123、可得 m < 0 ，考虑直线经过点 (0,1) 和与直线 y = 1 - 4x 平行的情况，再通过旋转即可得到 m 的范围当 x - 1时和当 x > -1 时，分别解方程， x2 + 6x + 10 - mx - 2m - 2 = 0 

124、，即 x2 + (6 - m) x + 8 - 2m = 0 的两个实根 x ， x ； x + x = m - 6 ；方程-4x + 1 - mx - 2m - 2 = 0 的实根是 x ；用m 表示

125、0;x + x + x ，根据m 的12123123取值范围解出即可【解答】解：画出函数 y = f ( x) 的图象，x 的不等式 f (x) - mx - 2m - 2 < 0 ，即为 f (x) < m( x + 2) + 2 ，作出直线&#

126、160;y = m(x + 2) + 2 ，其恒过定点 (-2,2) ，由解集是 ( x ， x ) È ( x ， +¥) ，123若 x x x > 0 ，1 23可得 x < 0 ， x < 0 ，

127、0;x > 0 ，123当 x - 1时， x ， x ，是方程 x2 + 6x + 10 - mx - 2m - 2 = 0 的两个实根；12解得 m = -；-4 < m < - x1 + x2 + x3 =

128、 m - 6 +  -2m - 1= m + 4 +     - 122  (m + 4)g    - 12 = 2  7 - 12 ；即 x2 + (6 - m) x + 8&#

129、160;- 2m = 0 的两个实根， x + x = m - 6 ；12当 x > -1 时， x 是方程 -4x + 1 - mx - 2m - 2 = 0 的实根；3 x = -2m - 1 ；3m + 4 结合图象可得 m < 0 ，当直线 y = m(x + 2) + 2 经过 (0,1) 时，可得 2m + 2 = 1 ，12当直线 y = m(x + 2) +&#