傅里叶变换及拉普拉斯变换的比较研究

1、学号1109141006课题：拉氏变换和傅里叶变换的关系学生姓名：陈兴宇院系：电气工程学院专业班级：2011级电气工程及其自动化（1）班指导教师：董德智0一三年六月1傅里叶变换与拉普拉斯变换简介21.1 傅里叶变换21.1.1 傅里叶变换的历史由来21.1.2 傅里叶变换的定义21.1.3 傅里叶变换与逆变换的性质31.2 拉普拉斯变换41.2.1 拉普拉斯变换的历史由来51.2.2 拉普拉斯变换的定义51.2.3 拉普拉斯变换与逆变换的性质61.3 小结72傅氏变换与拉氏变换的比较研究72.1 两种积分变换在求解广义积分中的应用72.2 两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用102.3 两

2、种积分变换在求解偏微分方程中的应用122.4 两种积分变换在电路理论中的应用163总结20参考文献231傅里叶变换与拉普拉斯变换简介人们在处理与分析工程实际中的一些问题时，常常采取某种手段将问题进行转换，从另一个角度进行处理与分析，这就是所谓的变换。在数学、物理、工程技术等领域中应用最多的是傅里叶变换与拉普拉斯变换。下面对傅氏变换与拉氏变换进行简单的介绍。1.1 傅里叶变换1.1.1 傅里叶变换的历史由来17世纪和18世纪，在牛顿和莱布尼茨等科学巨人的推动下，数学获得了飞速的发展。随着函数、极限、微积分和级数理论的创立，法国数学家傅里叶在研究热传导问题时发表了热的解析理论的论文川，提出并证明了

3、将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶变换的理论基础。其后，泊松、高斯等人最早把这一成果应用到电学中去。时至今日，傅里叶分析法不仅广泛应用与电力工程、通信和控制领域中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中都得到了广泛而普遍的应用。1.1.2 傅里叶变换的定义由数学物理方法课程的知识可知，对于(*,")上的非周期函数f(t)有如下的傅里叶积分定理2:设f(t)在(-°0,")上有定义，且在任一有限区间上满足狄利克雷条件3(即连续或有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值点)；在无限区间(血,也)上绝对可积，即1f则有

4、傅里叶积分公式(1-1)2n皿在f(t)的连续点X处成立，而在f(t)的第一类间断点小处，右边的积分应以1 -2 /(X0+0)+f(X00”代替。在傅里叶积分公式(1-1)中，若令F=f(t)e1tdt(1-2)则f(t)=1：F()eitd.(1-3)2二-二从(1-2)、(1-3)两式可以看出f(t)和F(。)可以通过积分运算相互表达。(1-2)式叫做f(t)的傅里叶变换式，可记为：F(9=FfF(叫做f(t)的像函数。(1-3)式叫做F(的傅里叶逆变换式，可记为f(t)=FF(Mf(t)叫做F(的像原函数。1.1.3傅里叶变换与逆变换的性质下面来介绍傅里叶变换的几个基本性质(假定在这些

5、性质中，凡是需要求傅里叶变换的函数都满足傅里叶积分定理中的条件)：1)线性性质：设F1(=Ff1(t),F2(=Ff2(t),是常数，则Faf1(t)+Pf2(t)7FL(t)+即f2(t)=跖(一+年2(3)同样，对傅里叶逆变换也有类似的线性性质，即F：小).年2(必=：f1(t)f2(t)2)位移性质设to为任意常数，则Ff(t±to)=e.0Ff(t)同样，傅里叶逆变换也具有类似的位移性质，即F"F("由=f(t)e常3)延迟性质设为任意常数，则Fe/tf(t)=F(3_30)4)微分性质若limf(t)=0则Itr二Ff'(t)=SFf(t)一般地

6、，若limf(k)(t)=0(k=0,1,2|,n1),则|t|r二Ffn(t)=(inFf(t)同样，像函数的导数公式为吃F(=TFtf(t),般地，有dnUF(9=(T)nF-5)积分性质设g(t)=f(t)dt,若tt时g(t)=0,则-oO1,fg(t)一ff(t)iw6)卷积定理已知函数fl和f2(t),则定义积分厂fl*f2(t-7)dT为函数fi(t)和f2的卷积，记为fl(t)*f2(t),即fl(t)f2(t)=I")f2)5假定fi(t),f2都满足傅里叶积分定理中的条件，且Fi(3)=Ffi(t),Ff2(t)=F2(,则有Ffi(t)*f2(t)=Fi(“F2

7、(3,££1Ffi(t)依)=丁'(叶2(3)L.2n上式称之为卷积定理4。1.2拉普拉斯变换1.2.1 拉普拉斯变换的历史由来19世纪末，英国工程师赫维赛德发明了“运算法”(算子法)解决电工程计算中遇到的一些基本问题。他所进行的工作成为拉普拉斯变换方法的先驱。赫维赛德的方法很快地被许多人采用，但是缺乏严密的数学验证，曾经受到某些数学家的谴责。而赫维赛德以及另一些追随他的学者(例如卡尔逊、布罗姆维奇等人)坚信这一方法的正确性，继续坚持不懈地深入研究。后来，人们终于在法国数学家拉普拉斯的著作中为赫维赛德运算法找到了可靠的数学依据，重新给予严密的数学定义，为之取名拉普拉

8、斯变换(简称拉氏变换)方法。1.2.2 拉普拉斯变换的定义从数学物理方法课程中我们知道，任意函数f(t)(在t<0时f三0),的拉普拉斯变换为6:其逆变换为:F(s);Lf(t)=0"f(t)etdtf(t)=LF(s)=_stF(s)eds(1-4)(1-5)函数F(s)称为f(t)的像函数，f(t)称为F(s)的像原函数。函数f(t)(t>0)的拉普拉斯变换实际上是一种特殊的傅里叶变换7o拉氏变换的存在条件，要满足下述拉普拉斯变换的存在定理8:若函数f(t)满足下列条件：1) 当t<0时，f(t)=0;2)当tX0时，f(t)及f'(t)除去有限个第一类

9、间断点以外，处处连续；3)当tt-时，f(t)的增长速度不超过某一个指数函数，亦即存在常数M及年之0,使得f(t)|WMe*(0<t<f其中，电称为f(t)的增长指数。则f(t)的拉氏变换F(s)在半平面Res>因上存在、解析，且当args<-6(S是任意小的正数)时，有2limF(s)=0s，二1.2.3 拉普拉斯变换与逆变换的性质1)线性性质设Lfi(t)=Fi(s),Lf2(t)=F2(s),若"P是常数，则有；L«fi(t)+Pf2(t)=ULfi(t)+PLf2(t)=aFi(s)+PF2(s)LaFi(s)+即2(切=aLFi(s)+配,

10、产2(砌=afi(t)+Pf?。)2)位移性质若Lf(t)=F(s),to>0,则Lf(t-t0)-etLf(t)-et0F(s)3)延迟性质若Lf(t)=F(s),则有at_Lef(t)=F(s-a),Re(s-a)c4)微分性质若Lf(t)=F(s),则有Lf'(t)=sF(s)-f(0)Lf''(t)=s2F(s)-sf(0)-f'(0)5)积分性质若Lf(t)=F(s),则有tiLf(t)dt=-F(s)0s此外，由拉普拉斯变换存在定理，还可以得到像函数的积分性质：若Lf(t)=F(s),则有f(t)L=$F(s)dsts6)卷积定理拉氏变换中的卷

11、积还存在着如下的卷积定理9:假定fi(t)、f2(t)满足拉普拉斯变换存在定理中的条件，且Lfi(t)=Fi(s),Lf2(t)=F2(s),则fi(t)*f2(t)的拉氏变换一定存在，且Lfi(t)f2(t)=Fi(s)F2(s)一般地，有Lfi(t)f2(t)-|l|fn(t)=Fi(s)F2(s)川Fn(s)i.3小结由以上可以看出，傅氏变换与拉氏变换有许多相似之处。但从(i.2)中我们也可以看出，用傅里叶变换在求解问题时，要求所出现的函数必须在S*)内满足绝对可积(fjf(t)这个条件。该条件的限制是非常强的，以致于常见的函数，如常数、多项式以及三角函数等，都不能满足这个条件。另一方面

12、，从(2.2)的拉氏变换存在定理可以看出，拉氏变换所要求的条件是很弱的，常见的函数都能进行拉氏变换，这使得拉氏变换在许多领域中的应用极其广泛。下文我们将对两种变换的应用做一介绍。2傅氏变换与拉氏变换的比较研究傅立叶变换与拉普拉斯变换在数学、物理以及工程技术等领域中有着极其广泛的应用。由(一)可知两种变换的性质有很多相似之处，故两者在求解问题时也会有许多类似。另外，由于傅氏变换的积分区间为)，拉氏变换的积分区间为(0,+8),两者又会在不同的领域中有着各自的应用。下面我们通过一些具体的例子对两种变换的应用做一些比较研究。2.i两种积分变换在求解广义积分中的应用傅氏变换与拉氏变换都可以用来求解一些

13、用普通方法难以求解的广义积分，下面举例说明：.，t<i例i求函数f(t)=4的傅里叶积分表达式。(0其它解：由(i-i)式有f(t)=1i、i«豆Jf()ed:1f(.)ed.ed.joO2二-二1二sin一(cos3t+isinwt)dw1二sinwcoswt,-dw2二sin3coswt二.0当t=±1时，傅里叶积分收敛于3十0)十“±-叽2,根据以上的结果可以写2二sincocoscotjif(t),dw=1.2,t=二1t:二1由此可以看出,t=0则有二sinwcoswtCl)d=一40,t=1用傅里叶积分表达式可以推证一些广义积分的结果。本题中，取

14、二sinw这个就是著名的狄利克雷积分。同样，拉普拉斯变换也可以用来求解狄利克雷积分例2求狄利克雷积分10一皿出t解：引进参变量x,设f(x)=。*型/dt,对其求拉普拉斯变换并交换积分次序，得sinxtsxLf(x)=°°丁dte-dx二1二sx=°-°sin(xt)edxdt由积分表可知Jsinat/dt二.二1tLf(x)=.°丁一2dt0tst二1=碇2dt0s2t2=1arctan(tss1二=-.一s2一1二Lf(x)=-s2一.1_二1二.1.1二f(x)=L=-L卜=一二sin(xt)2s2s2JI出=一2取x=1,则有二sint

15、二dt=一0t2这与(例1)中的结果是完全相同的。2例3求欧拉-泊松积分Iedx分析：该积分的积分区间是(0,十无)，用拉普拉斯积分变换求解会更加便利解：由达朗贝尔判别法可知欧拉-泊松积分收敛11。引进参变量t,使其成为t的函数，设f(t)=(Me>dx。对f(t)取拉氏变换并交换积分次序的，得.tx2stLf(t)=00eJxdxe"tdt-27t=00exs)tdtdx二12s1Is而1一2,t取t=1,则有二d>./,：edx=02由以上几个例子可以看出，两种变换都可以用来求解广义积分，和普通方法相比12该方法简单明了，具有很大的优越性。2.2两种积分变换在求解积分

16、、微分方程中的应用例4求解积分方程g(t)=h(t)：f()g(t-)d其中h(t),f(t)都是已知的函数，且g(t)、h(t)和f(t)的傅里叶变换都存在。分析：该积分方程中的积分区间是(-已收)，故首先应考虑用傅里叶积分变换法求解。积分项内是函数f(t)与g(t)的卷积，对方程两边取傅氏变换，利用卷10积性质便可以很方便的求解该问题。解：设Fg(t)=GWF),ffc(NF,F(3t3)H卷积定义可知产f(T)g(t-T)di=f(t)*g(t)。因此对原积分方程两边取傅里叶变换，可得J-odG(gj)=H(F(G(«)因此有G(cd)=H(.1-F(w)由傅里叶逆变换求得原积

17、分方程的解为g(t)=''G(w)eicdd3二H(w)i,edw-二1-F(心同样，应用拉普拉斯变换的卷积性质也可以用来求解积分方程。例5求积分方程2ty(t)=t-y(t-.)sintd.的解。分析：该积分方程中的积分区间是(0,t),考虑到拉氏变换卷积性质中函数的积分区间是Qt)13,故对原方程两边取拉普拉斯变换，应用相应的卷积性质便可求出该积分方程的解。21解：设Ly(t)=Y(s),则有，Lt2=彳，Lsint=4。对原方程两边取32ss1拉普拉斯变换，由卷积定理得21Y(s)71Y(s)整理得22Y(s)ss取其逆变换可得11此即原积分方程的解。例6求解线性方程组1

18、4t4y(t)=2(-)4!,214t412一,.tx+xy=e«y.+3x-2y=2etx(0)=y(0)=1分析：利用傅氏变换与拉氏变换性质中的微分性质，可以将微分方程转换为像函数的代数方程，使得问题得以解决。但是用傅里叶变换求解问题时，要求所一)这个条件。但是本出现的函数必须在(-°°,口)内满足绝对可积(f(t)题中的e：x、y都不满足这个条件，故不能用傅氏变换进行求解。我们采用拉氏变换对该方程组进行求解。解：设Lx(t)=X(s),Ly(t)=Y(s),对方程组进行拉氏变换得到1sX(s)-1X(s)-Y(s)=-s-11sY(s)-13X(s)-2Y(

19、s)-2s-1解得X(s)-Y(s)=s-1拉氏逆变换L，匚=e'，故s-1x(t)=ey(t)=6即为原方程组的解。2.3两种积分变换在求解偏微分方程中的应用利用傅里叶变换和拉普拉斯变换可以用来求解偏微分方程，下面以数学物理方法课程中常常碰到的几种方程进行举例说明。12例7求解无界弦的自由振动心-a%=0(-*<x<+*)uIt-0(x),utIt-0(x)分析：对于无界区域的定解问题，傅里叶变换是一种普遍使用的求解方法。本题中由于弦的区域是(-町)，可以用分离变量发进行求解，也可以用傅里叶变换发进行求解。解：对于u(t,x)将时间t看作参数，对x进行积分，求其傅氏变换并

20、应用傅里叶变换的性质得到Fu(t,x)=U%(t,x)ewxdx=U(t,)JjoaU'U-i.«xdi.wxdF=edx=-u(t,x)edx=U(t,)2t-二ftdtdt.22F22U(t,w)二tdtF=.：eJ"dx=icoFu(t,x)=icoU(t,)；x一：x-2二u22F-=(iU(t)U(t,ex另设FW(x)=6(,F悭(x)=里(3),对原定解问题作傅里叶变换得到CU(t,w),22.n-+awU(t,)=0盘U(t,3)tZ(3),：U(t,y=£(3)l沅方程的通解为U(t,3)=A(3)eia4+B(3)e*3t,将初始条件代

21、入可求得“aT>(T")22ai31,1彳(3)B(=-(-22aiw即13iat31：()iat3!e2aiw-iat31'J(3)-iat3e1U(t,3)=(融2+(w)e22ai出再对U(t,3)作傅里叶逆变换，应用傅里叶变换的性质可得方程的解为11zatu(t,x)=-(xat)(x-at)xJ()d22a这正是数学物理方法课程用行波法求解无界弦运动的达朗贝尔公式15。对于半无界弦的振动，一般来说用拉普拉斯变换法求解往往比较方便，下面举例说明：例8求解半无界弦的振动问题：2，八，八、Utt=aUxx(0<x<+.t>0)ux=0=<p(

22、x),limu(x,t)=0(t之0)utz0=0,Uttm=0,(0<x<+=c)解:对方程两边关于变量t作拉氏变换，记Lu(x,t)=U(x,s),L9(t)=G(s),利用拉普拉斯变换的微分性质及初始条件可得L=sU(x,s)-u(x,0)=sU(x,s)L-2Wx-c2ud2e"dt2U(x,s)dx2t这样，原定解问题转化为求解含有参数s的常微分方程的边值问题22d2sU(x,s)=a2U(x,s)dxx=0=:：J(s),xlim.U(x,s)-0这里，方程是U(x,s)关于x的一个二阶常系数齐次线性微分方程，该微分方程的通解为-(-)x(-)xU(x,s)=

23、Gea+c2ea,由其边界条件可得14d)xU(x,s)="s)ea得到原定解问题的解为4-)xa对上式去拉普拉斯逆变换，利用拉氏变换的延迟性质,u(x,t)=LU(x,s)=L：，(s)e(t<-)a(t-)a例9利用傅里叶变换求解上半平面无源静电场内电势的定解问题2_2_2Cu,Gu_/小2+2=0(-g<x<+笛,y>0)exyy£=f(x)二0分析：本题中的偏微分方程称为二维拉普拉斯方程，它是用来描述稳恒过程的，函数u(x,y)与时间t无关。由于x的变化范围是(-<x<+°o),故应该考虑用傅氏变换进行求解。解：对方程和

24、边界条件关于x取傅氏变换，记-2二u-=:x-2丹=二y2Wgy)u(x,y)=U(y)d21U(gy)dyf(x)=F(3)这样就把求解原定解问题转化为求解含有参数的常微分方程的边值问题吗一汽二。dyy+=F(，3叫U二=干！=0此二阶常系数线性齐次微分方程通解为15U(w,y)=c1(ct)ey+c2(3e川y代入边界条件有G(3)+C2(=F(3),由mU杷得G(3)=0,因止匕C2(=F(3)。y-；故边值问题的解为U(gy)=F"3y再对上式两端取傅里叶逆变换，借助于傅里叶积分公式5一二=±e则，Re(a)<0,可知F,e书y=，J。再利用傅里叶ata二xy

25、变换的卷积性质，可得原定解问题的解为u(x,y)旺灿3y)=f(x)777y7yTl-0°由以上几个例题可以看出，傅里叶变换与拉普拉斯变换都可以用来求解偏微分方程，由于在求解偏微分方程时两者都可以将方程化为某个变量的代数方程，使得问题得以简化，故两种积分变换法在求解偏微分方程时有着重大的意义。2.4两种积分变换在电路理论中的应用例10如图所示的RL电路中，u=e",R=1C,L=1H,求开关S闭合后回路中的电流i(t)图1解：由基尔霍夫电压定律17可得回路方程为-1皿Ri(t)=u(t)dt代入数值，化简为i(t)i(t)=-e该方程是一阶非齐次线性微分方程，用高等数学的知

26、识进行求解的话，要先求出与之对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解。求解步骤比较繁琐，这里我们先采用傅里叶变换法进行求解。设Fi(t)=ig),由傅氏变换的微i分性质可得Fi，(t)=isI(s)。又Fu(t)=-(在t<0时电压为0)18,代1i-入上述方程中得111l()()21i.-1i.整理得1l()=2(e)对上式取傅氏逆变换得此即电路中的电流。该方程也可以用拉氏变换法进行求解。设Li(t)=l(s),同理由拉氏变换的微分性质可得Li'(t)=sl(s)(t=0时电流i(t)=0)。对化简后的方程两边去sl(s)-l(s)=拉氏变换，得到1s-1整理得11l(s)-

27、2s-(-1)再对上式取拉氏逆变换，得到电路中的电流为i(t)=(e'-et)2可以看出用傅氏变换与拉氏变换两种方法求解的结果是完全相同的。信号与系统、电路分析等课程中常常会碰到各种信号的问题，一般来说傅里叶变换法适用于对连续时间系统的分析，这种方法也被称为频域分析法；而拉普拉斯变换法被称为系统的复频域分析19,这种方法的适用范围更加广泛,以致于在相当长的时期内，人们几乎无法把电路理论与拉普拉斯变换分开来讨17论。下面我们再举两个用拉氏变换法解决电路问题的例子:例11如图所示，电路为完全耦合互感电路，互感量M=L1=L2=1H,电阻R=R2=1夏，电压E=1V,开关S闭合前ii（0=i

28、2（0）=0o求开关闭合后电路中的电流ii（t）和i2（t）。解：由基尔霍夫电压定律可列出电路的微分方程如下:L1dMdR1i1（t）=Edtdtdi2（t）di1（t）L22MR2i2（t）=0dtdt代入数据，得ii（t）=1i2（t）=0di1（t）十di2（t）十dtdtdi2（t）+di1（t）+工dtdt此方程组为二元一阶微分方程组，采用高等数学的知识很难得出结果来，这里采用拉氏变换法求解。令Li1（t）=l1（s）,Li2（t）=l2（s）,对上述微分方程组两边取拉氏变换，考虑到初始条件1,（01=12（01=0,可得sl（s）sl2（s）l1（s）-1ss闾2（s）+sl（s）

29、+l2（s）=0解得18I1(s)=S1=-s(2s1)s2对其取拉氏逆变换，得到电路中的电流为14)附11(切=1-力2,211i2(t)=Ll2(s)=.2e2例12求如图所示的电路的零状态响应(即uc(0)=0V,iL(0)=0A)的电流i1(t)。其中E=10V,R=R=1建，C=1F,L=1H。图3解：由基尔霍夫电压定律可得到回路方程为1tE=uc(0370i1()di1(t)F(t)RCM(t)也<2(t)R2Lddt代入数据，整理后得到t/()d阳也=10挈-i1=0L.dt此方程组中既有积分项又有微分项，若用一般的方法进行求解会很难得出结果，此处采用拉氏变换法进行求解。设

30、Li1(t)=I1(s),L山=I2(s)。对上述方程组两边取拉氏变换，整理得19L(s)10Ii(S)(S)一sssI2(s)-I1(s)2I2(s)=0解得10I1(s)=10WtttKI2(s)=2s2(s1)1(s1)1对11(s)取拉氏逆变换可得到电路的零状态响应电流为i(t)=10(sintcost)eJA由以上两个例题可看出，用拉普拉斯变换法解决电路问题简洁、明了，和一般方法相比显得十分便捷。3总结本文以上内容举例分析了傅里叶变换与拉普拉斯变换在解决问题中的应用，两种变换存在许多相似的地方，也存在一些不同的地方。从(1.2)中我们可以看出，用傅里叶变换在求解问题时，要求所出现的函

31、数必须在(-°°,")内满足绝对可积(广0f(t)<一)这个条件。该条件的限制是非常强的，以致于常见的函数，如常数、多项式以及三角函数等，都不能满足这个条件。我们按如下方式对傅氏变换进行改造：对于任何函数f(t),我们假定在t<0时f(t)三0,联想到指数衰减函数e平(吐0)所具有的特点，那么，只要B足够的大,函数f(t)e4的傅氏变换就有可能存在，即-i-cotFIfd=£J(t)e-.dt=f-f(t)eiw)tdt0根据傅氏逆变换得到f(t)eT=*1；Ff(t)e'$%记s=0+i5F(s)=Ff(t)e一制并注意到ds=id

32、320于是便可得到一注.stF(s)=10fedtI1.stf(t)=kkF(s)eds*2nlp皿j以上两式便是(2.2)中的拉普拉斯变换及其逆变换。由此可以看出，拉氏变换可以看成是一种特殊的傅里叶变换7o傅氏变换与拉氏变换存在许多类似之处，如文中所述，都能够在解决广义积分、微分积分方程、偏微分方程、电路理论等问题中得到应用。但是两者之间也存在着差异。从另一个角度讲，傅氏变换与拉氏变换相对于两种不同的积分变换200所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数f(x),乘上一个确定的二元函数K(x,p),然后计算积分，即bF(p)=f(x)K(x,p)dxa这样，便变成了另一个函数类B中的函数F(p

33、),其中的积分域是确定的。F(p)称为f(x)的像函数，f(x)称为F(p)的像原函数；K(x,p)是p和x的已知函数，称为积分变换的核，K(x,p)的不同形式决定着变换的不同名称。下面我们列表说明两者的不同：积分变换名称积分域积分核定义公式逆父换公式傅里叶变换(°0,+20)eF®)=.产f(t)e-dt-oO1,f(t)-J2n;F(0)髀dm拉普变换0,收)_steF(s)=.:f(t)e%t1f(t)25stF(s)edsiB-iQO'1两者之间的差异首先表现在积分域上，积分域的不同限制了拉氏变换在某些问题中的应用，在处理问题时首先应考虑到这一点。两者之间的差异在信号处理中的表现得尤为显著：傅里叶变换将时域函数f(t)变换为频域函数F(«),时域中的变量