垂直练习习题

1、7.设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题（ ） 若若 其中正确的命题的个数是（ ）A0个B1个C2个D3个B 解析：注意中b可能在上；中a可能在上；中b1，+ B.(1，) C.( ，) D.，+)解析：本题考查直线与直线所成的角，直线与平面所成的角的概念。线面垂直的判定和性质，以及空间想象能力和几何计算.解 如图所示，过D作DAAB交平面于A.由，故DAAB2，DA与成30°角，由已知DCAB，可得DCDA，所以DC在过DC且与DA垂直的平面内，令l，在内，DCl时为最短，此时DCDA·tan30°.故CD.应选D.如图9-50，点A在锐

2、二面角a -MN-b 的棱MN上，在面a 内引射线AP，使AP与MN所成的PAM为45°，与面b 所成的角为30°，求二面角a -MN-b 的大小解析：如图答9-44，取AP上一点B，作BHb 于H，连结AH，则BAH为射线AP与平面b 所成的角，BAH=30°，再作BQMN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面b 内的射影由三垂线定理的逆定理，HQMN，BQH为二面角a -MN-b 的平面角图答9-44设BQ=a，在RtBAQ中，BQA=90°，BAM=45°，在RtBAH中BHA=90°，BAH=30°，在RtBHQ

3、中，BHQ=90°，BQ=a，BQH是锐角，BQH=45即二面角a -MN-b 等于45°如图9-46，二面角a -AB-b 的棱AB上有一点C，线段CDa ，CD=100，BCD=30°，点D到平面b 的距离为，则二面角a -AB-b 的度数是_解析：60°作DHb 于H，DEAB于E，连结EH，则EH是DE在平面b 内的射影由三垂线定理的逆定理，HEAB，DEH为二面角a -AB-b 的平面角在RtDCE中，CD=100，BCD=30°，DE=CDsin30°=50，在RtDEH中，DEH=60°，即二面角a -AB-b

4、 等于60°立体图形A-BCD中，AB=BC=CD=DB=AC=AD，相邻两个面所成的二面角的平面角为q ，则（）AB C D解析：A任取一个二面角，如A-BC-D，取BC中点E，可证AEBC，DEBC，AED是二面角A-BC-D的平面角，设AB=1，则 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为、.求证：cos2+cos2+cos21解析：证明三角恒等式，可用从左边推出右边的方法.证明：设对角线B1D与长方体的棱AD、DC、D1D所成的角分别为、，连结AB1、CB1，D1B1，则B1DA、B1DC、B1DD1都是直角三角形.cos,cos,coscos2+cos2+cos

5、21.设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a、b都垂直B.有一平面与a、b都垂直C.过直线a有且仅有一平面与b平行D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交解析： 因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对；若有平面与a、b都垂直，则ab不可能，所以B不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行，则过点与a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故选C.在下列命题中，真命题是( )A.若直线m、n都平行平面，则mn;B.设l是直二面角，若直线ml，则mn，m；C.若直线m、n在平面内的射

6、影是一个点和一条直线，且mn，则n在内或n与平行；D.设m、n是异面直线，若m和平面平行，则n与相交.解析：对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确；平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而B中m不一定在内，故不正确；对D来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确；应选C.如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 (要求：把可能的图的序号都填上)解 四边形BFD1E在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中点，四边形的投影图形为，在左右侧面上，E

7、、F的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为，在前后侧面上四边形投影图形也为.故应填.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求A1C1和平面AB1C间的距离.解法1 如图所示，A1C1平面AB1C，又平面BB1DD1平面AB1C.故若过O1作O1EOB1于E，则OE1平面AB1C，O1E为所求的距离由O1E·OB1O1B1·OO1，可得：O1E解法2：转化为求C1到平面AB1C的距离，也就是求三棱锥C1AB1C的高h.由 VV，可得ha.解法3 因平面AB1C平面C1DA1，它们间的距离即为所求，连BD1，分别交B1O、DO1与F、G(图中未画出)。易证BD1垂直于上述两

8、个平面，故FG长即为所求，易求得FG.点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.平面内有一个半圆，直径为AB，过A作SA平面，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影，图中有（ ）个线面垂直关系，图中有（ ）个面面垂直关系A4 空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，PBA45°，PBC60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB平面PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系

9、及计算、发现解题思路.解 PAAB，APB90°在RtAPB中，ABP45°，设PAa，则PBa,ABa,PBPC，在RtPBC中，PBC60°,PBa.BC2a,PCa.APPC 在RtAPC中，AC2a(1)PCPA,PCPB,PC平面PAB，BC在平面PBC上的射影是BP.CBP是CB与平面PAB所成的角PBC60°，BC与平面PBA的角为60°.(2)由上知，PAPBa,ACBC2a.M为AB的中点，则ABPM，ABCM.AB平面PCM.已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交SC于F(1)求证

10、：AFSC(2)若平面AEF交SD于G，求证：AGSD解析： 如图，欲证AFSC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC平面AEF，由已知，欲证SC平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE平面ABC，再由已知只需证AEBC，而要证AEBC，只需证BC平面SAB，而这可由已知得证证明 (1)SA平面AC，BC平面AC，SABC矩形ABCD，ABBCBC平面SABBCAE又SBAE AE平面SBCSC平面AEFAFSC(2)SA平面AC SADC，又ADDCDC平面SAD DCAG又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEFSCAG AG平面SDC AGSD给出以下命题：平行于同一条直线的两条

11、直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行；平行于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一个平面的两条直线平行；平行于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；平行于同一个平面的两个平面平行其中正确的命题是_（把你认为正确的命题的序号都写上）解析：、由公理4知正确由直线与平面垂直的性质定理知正确由两个平面平行判定定理可以推导出、正确垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同一条直线的两个平面的位置关系是平行或相交在直三棱柱ABCABC中，BAC90°，ABBB1，直线BC与平面ABC成30&#

12、176;的角.(如图所示)(1)求点C到平面ABC的距离；(2)求二面角BBCA的余弦值.解析：(1)ABCABC是直三棱柱，ACAC，AC平面ABC，AC平面ABC，于是C到平面ABC的距离等于点A到平面ABC的距离，作AMAB于M.由AC平面ABA得平面ABC平面ABA，AM平面ABC，AM的长是A到平面ABC的距离.ABBB1，BCB30°，BC2，BC，AB，AM.即C到平面ABC的距离为；(2)作ANBC于N，则AN平面BBCC，作NQBC于Q，则AQBC，AQN是所求二面角的平面角，AN，AQ1.sinAQN,cosAQN.如图所示，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，A

13、BBC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E.又SAAB，SBSC.求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数.解法一：由于SBBC，且E是SC中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SCBE.又已知SCDE，BEDEE，SC平面BDE，SCBD， 又SA底面ABC，BD在底面ABC上，SABD.而SASCS，所以BD平面SAC.DE平面SAC平面BDE，DC平面SAC平面BDC，BDDE，BDDC.EDC是所求二面角的平面角.SA底面ABC，SAAB，SAAC.设SAa,则ABa,BCSBa.又ABBC，所以ACa.在RtSAC中tgACS，所以ACS30

14、6;.又已知DESC，所以EDC60°，即所求的二面角等于60°.设两个平面互相垂直，则（）A一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面B过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上C过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D分别在两个平面内的两条直线互相垂直解析：B如图答9-38，在正方体中，平面平面ABCD，其中平面，但不垂直平面ABCD，故A不正确点D在交线AD上，但不垂直平面ABCD，故C不正确平面，AC平面ABCD，但与AC不垂直，故D不正确下列命题中正确的是（）A平面a 和b 分别过两条互相垂直的直线，则a b B若平面a 内的一条直线垂直于平面b

15、内的两条平行直线，则a b C若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的两条相交直线，则a b D若平面a 内的一条直线垂直于平面b 内的无数条直线，则a b 解析：Ca 内的直线l垂直b 内的相交直线a、b，则lb la ，a b 正方形ABCD中，以对角线BD为折线，把ABD折起，使二面角A-BD-C 为60°，求二面角B-AC-D的余弦值解析：要求二面角B-AC-D的余弦值，先作出二面角的平面角，抓住图形中AB=BC，AD=DC的关系，采用定义法作出平面角BED（E为AC的中点）然后利用余弦定理求解解：连BD、AC交于O点则AOBD，COBDAOC为二面角A-BD-C的平面角AO

16、C=60°设正方形ABCD的边长为aAO=OC=1/2AC=AOC=60°AOC为正三角形则AC=取AC的中点，连DE、BEAB=BCBEAC同理DEACDEB为二面角B-AC-D的平面角在BAC中BE=同理DE=在BED中，BD= cosBED= = =-二面角B-AC-D的余弦值为-如图: ABC的ÐABC= 90°, V是平面ABC外的一点, VA = VB = VC = AC, 求VB与平面ABC所成的角。解析：1、要求VB与平面ABC所成的角, 应作出它们所成的角。2、要作出VB与平面ABC所成的角, 只要找出VB在平 面ABC内的射影就可以了

17、。3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然找V点, V点在平面内的射影在何处由条件可知, 射影为ABC的外心。解: 作VO平面ABC于O, 则OB为VB在平面ABC内的射影,ÐVBO为VB与平面ABC所成的角。连OA、OB、OC, 则OA、OB、OC分别为斜线段VA、VB、VC在平面ABC内的射影。VA = VB = VCOA = OB = OCO为ABC为外心ABC为直角三角形, 且AC为斜边O为AC的中点设VA = a, 则VA = VC = AC = a, 在RtVOB中, ÐVBO = 60°VB与

18、平面ABC所成的角为60°。已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，APB=APC=60°，BPC=90 °求证：平面ABC平面PBC解析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可证明： 取BC中点D 连结AD、PD PA=PB；APB=60° PAB为正三角形 同理PAC为正三角形 设PA=a 在RTBPC中，PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD为直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC已知菱

19、形ABCD边长为a，且其一条对角线BDa，沿对角线BD将折起所在平面成直二面角，点E、F分别是BC、CD的中点。 (1)求AC与平面AEF所成的角的余弦值 (2)求二面角AEFB的正切值。 (1) 解析：菱形ABCD的对角线，中位线EF1C （）求证：直线BC1（）证明：CD1C1C又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直线BC15分（）解：过B作BEAD于E，连结EB1， B1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是二面角B1ADB的平面角， BD=BC=AB， E是AD的中点， 在RtB1BE中，B1EB=60°。即二面角B1ADB的大小为60°10分（）解法一：过A

20、作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱锥C1ABB1的体积为15分 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中， 即为三棱锥C1ABB1的体积设ABC内接于O，其中AB为O的直径，PA平面ABC。如图求直线PB和平面PAC所成角的大小如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知P，Q，R，S分别为棱A1D1，A1B1，AB，BB1的中点，求证：平面PQS平面B1RC.(12分)证明：连结BC1交B1C于O，则O为BC1的中点 连结RO，AC1，R是AB的中点 ROAC1P,Q分别为A1D1，A1B1的中点，易知A1C1PQAC1PQ（三

21、垂线定理） 在正方体AC1中，E为BC中点（1）求证：BD1平面C1DE；（2）在棱CC1上求一点P，使平面A1B1P平面C1DE；（3）求二面角BC1DE的余弦值。P是ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，G为PAB的重心，E、F分别是BC、PB 上的点，且BEEC=PFFB=,求证：平面GEF平面PBC解析：G为PAB的重心， GFPA.PAPB PAPC，PA面PBC.GF面PBC，面GFE面PBC.204. 如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将ABD和ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD平面ABE.解析：过D作DFAB交AB于

22、F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，DFE； 231.如图235：在空间四边形ABCD中，已知BCAC，ADBD，引BECD，E为垂足，作AHBE于H，求证：AH平面BCD。ABDCEFH图235解析： 要证AH平面BCD，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直于平面BCD中两条相交直线即可。证明:取AB中点F，连结CF、DF，ACBC，CFAB，又ADBD，DFAB，AB平面CDF，又CD平面CDF，CDAB又CDBE，CD平面ABE，CDAH又AHBE，AH平面BCD。PACBEO图236232.如图：已知PAO所在的平面，AB是O的直径， C是异于A

23、、B的O上任意一点，过A作AEPC于E，求证：AE平面PBC。 证明：PA平面ABC，PABC，又AB是O的直径，BCAC而PAACA，BC平面PAC又AE平面PAC，BCAEPCAE且PCBCC，AE平面PBC。46.如图，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，（1）证明： ； （II）假定CD=2，记面为，面CBD为，求二面角 -BD -的平面角的余弦值；（III）当的值为多少时，能使请给出证明. 解析：（I）证明：连结、AC，AC和BD交于.，连结， 四边形ABCD是菱形，ACBD，BC=CD， 可证， 故，但ACBD，所以，从而；（II）解：由（I）知ACBD，是二面角BD的平面角，

24、在中，BC=2，OCB=60°，故C1O=，即C1O=C1C，作，垂足为H，点H是.C的中点，且，所以;（III）当时，能使证明一：，所以，又，由此可得，三棱锥是正三棱锥.，16正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）BC1与底面ABCD所成角为 ；（2）A1C与底面ABCD所成的角的正切值为 ；（3）BC1与对角面BB1D1D所成的角为 。16.(1)450 （2） （3）30015已知直线AB和平面M所成的角是，AC在平面M内，AC和AB在平面M内的射影所成的角是，且BAC=，那么、三个角满足的关系式是 （ B ）Acos=coscosB. cos=coscos =coscos

25、=sinsin11. P是ABC所在平面外一点，O是点P在平面内的射影，若P点到ABC的三个顶点等距离，那么O点是ABC的 心；若P点到ABC的三边等距离，且O在ABC内部，那么O点是ABC的 心；若PA、PB、PC两两互相垂直，那么O点是ABC的 心；若PA=PB=PC，那么O点是AB的 点；若PA=PB=PC，AB=AC，那么O点在 线上；若PA、PB、PC与平面所成的角相等，那么O是ABC的 心。11. 内;垂;中点;外,A的平分线;外9已知斜线l与平面所成的角为，在平面内，任意作l的异面直线l/，则l/与l成 的角 ( A ) A 有最小值，最大值 B 有最大值，无最小值C 有最小值，无最大值 D 既无最小值，又无最大值线段AB所在的直线和平面成600的角，A、B与平面的距离分别为9和6，则AB在平面内的射影长是 ，线段AB的长是 。已知H为ABC的垂心，PH平面ABC，且APB=900，求证：PCPB。CBPH在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：(1)正方体对角线AC1面对角线B1C；(2)AC1截面CB1D。BDC1B1D1M7如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1A、AB上的点，若NMC1=900，那么NMB1的大小为 （ A ）