两个随机变量的函数的分布

1、二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 四、小结四、小结一、问题的引入一、问题的引入第五节两个随机变量的函数的分布.,),(,的的分分布布分分布布确确定定的的如如何何通通过过的的函函数数关关系系与与并并且且已已知知表表示示该该人人的的血血压压年年龄龄和和体体重重分分别别表表示示一一个个人人的的和和令令有有一一大大群群人人ZYXYXgZYXZZYX 为了解决类似的问题下面为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布我们讨论随机变量函数的分布.一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布 XY012 1 213123121

2、12101211221220122的的分分布布律律为为设设随随机机变变量量),(YX例例1.)2(,)1(的的分分布布律律求求YXYX 概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121) 0 , 1( 123 221,122 121,121)2, 3( 122)0 , 3(122XY012 1 21312312112101211221220122解解等价于等价于概率概率),(YX)2, 1( 121) 1, 1( 121)0 , 1( 123 2,21122 1,21121)2, 3( 122)0 , 3(122YX 3 2 1 23 21 13YX 101252353YX P3

3、2 1 23 21 13121121123122121122122YX P01252353124121122121122122的分布律分别为的分布律分别为所以所以YXYX ,结论结论的联合分布律为的联合分布律为若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量, 2, 1, jipyYxXPijji的的分分布布律律为为则则随随机机变变量量函函数数),(YXgZ ),(kkzYXgPzZP ., 2, 1 ,)( kpjikyxgzij例例2 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与 Y 的分布律为的分布律为XXP317 . 03 . 0YYP424 . 06 . 0求随机变量求随机变量 Z=X

4、+Y 的分布律的分布律.,jijiyYPxXPyYxXP 得得YX421318. 012. 042. 028. 0因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立, 所以所以解解可得可得),(YX)4,3()2,3()4,1()2,1(P18. 012. 042. 028. 0YXZ 3557所以所以YXZ P35718. 054. 028. 0YX421318. 012. 042. 028. 0例例3 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一具有同一分布律分布律,且且 X 的分布律为的分布律为XP105 . 05 . 0.),max(:的的分分布布律律试试求求YXZ ,j

5、YPiXPjYiXP 所所以以于是于是XY1010221221221221解解,相相互互独独立立与与因因为为YX),max(iYXP ,iYiXP ,iYiXP 0),max( YXP0 , 0P ,212 1),max( YXP1 , 11 , 00 , 1PPP 222212121 .232 的的分分布布律律为为故故),max(YXZ ZP104341XY1010221221221221的的分分布布函函数数为为则则的的概概率率密密度度为为设设YXZyxfYX ),(),()(zZPzFZ yxyxfzyxdd),( xyOzyx yux 三、连续型随机变量函数的分布 1. Z=X+Y 的分

6、布的分布yxyxfyzdd),( yuyyufzdd),( .dd),(uyyyufz 由此可得概率密度函数为由此可得概率密度函数为.d),()( yyyzfzfZ.d),()(xxzxfzfZ 由于由于 X 与与 Y 对称对称, 当当 X, Y 独立时独立时,也也可可表表示示为为)(zfZ,d)()()( yyfyzfzfYXZ.d)()()(xxzfxfzfYXZ 或或由公式由公式,d)()()(xxzfxfzfYXZ 解解,e21)(22 xxfxX由由于于,e21)(22 yyfyY例例4 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 都服从标准正都服从标准正态分布态分布,求求

7、 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.)2 , 0(分分布布服服从从即即NZ2zxt ttzdee21242 .e2142z xzfxzxZdee21)(2)(222 xzxzdee212242 得得说明说明).,(,).,(),(,222121222211NZYXZNYNXYX 且且有有仍仍然然服服从从正正态态分分布布则则相相互互独独立立且且设设一一般般 有限个有限个相互独立相互独立的正态随机变量的线性组合的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布. .的概率密度的概率密度求电阻求电阻其他其他它们的概率密度均为它们的概率密度均为相互独立相互独立设设串联联接串联联接和和两电阻两电阻

8、在一简单电路中在一简单电路中212121., 0,100,5010)(,RRRxxxfRRRR 解解的概率密度为的概率密度为由题意知由题意知 R.d)()()( xxzfxfzfR例例5 ,100,100 xzx当当,10,100时时即即 zxzxO1020zx10 zxzx 10 x.d)()()(中被积函数不为零中被积函数不为零 xxzfxfzfR)1(., 0,2010,d)()(,100,d)()()(10100 其其他他zzRzxxzfxfzxxzfxfzf ., 0,100,5010)(其其他他将将xxxf此时此时 ., 0,100,50)(10)(其他其他xzxzxzf ., 0

9、,2010,15000)20(,100,15000)60600()(332其其他他zzzzzzzfR式得式得代入代入)1(的概率密度分别为的概率密度分别为分布分布的的数为数为相互独立且分别服从参相互独立且分别服从参设设2122112121,),(),(,;,XXXXXX ., 0, 0,e)()()(1111其他其他xxxfxX, 0, 01 ., 0, 0,e)()()(1222其他其他yyyfyX, 0, 02 .,2121分分布布的的服服从从参参数数为为试试证证明明 XX例例6证明证明 xxzfxfzfXXZd)()()(21,0时时当当 z. 0)( zfZ易易知知的的概概率率密密度度

10、为为时时当当21,0XXZz xxzfxfzfXXZd)()()(21xxzxxzxzde)()(e)()()(1210121 ,d)()()(e101212121xxzxzz ,ztx 令令tttzzd)1(e)()()(11011212121 ,e)(121zzA .d)1()()(11012121tttA 其其中中,A得得由由概概率率密密度度的的性性质质可可求求zzfZd)(10 01)d(e)(21zzAz),(21A .)(21A 即即有有于是于是 ., 0, 0,e)()()(12121其他其他zzzfzZ.,2121分布分布的的服从参数为服从参数为因此有因此有 XX.的的情情况况

11、分分布布变变量量之之和和个个相相互互独独立立的的此此结结论论可可推推广广到到 n.,), 2 , 1(,12121分分布布的的服服从从参参数数为为则则分分布布的的服服从从参参数数为为且且相相互互独独立立若若 XXXniXXXXniiniin的分布的分布YXZ . 2分分布布函函数数为为的的则则的的概概率率密密度度为为设设YXZyxfYX ),(),()(zZPzFZ zYXP xyOzyx 1G2GyxyxfGdd),(1 yxyxfGdd),(2 yxyxfyzdd),(0 ,dd),(0yxyxfyz ,yxu 令令yxyxfGdd),(1 yxyxfyzdd),(0 yuyyuyfzdd

12、),(0 uyyyuyfzdd),(0 同理可得同理可得 zGuyyyuyfyxyxf0,dd),(dd),(2故有故有)(zZPzFZ yxyxfGdd),(1 yxyxfGdd),(2 yyyzyfyyyzyfzfd),(d),()(00 .d),(yyyzfy 当当 X, Y 独立时独立时,.d)()()(yyfyzfyzfYX 由此可得分布密度为由此可得分布密度为.dd),(d),(00uyyyuyfyyyuyfz ., 0, 0,e2)(, 0, 0,e)(,2的的概概率率密密度度函函数数试试求求其其他他其其他他它它们们的的概概率率密密度度分分别别为为相相互互独独立立寿寿命命的的灯灯

13、泡泡的的分分别别表表示示两两只只不不同同型型号号设设YXZyyfxxfYXYXyx ,d),(d),()(00yyyzyfyyyzyfzfZ 解解由公式由公式例例7 ., 0, 0, 0,ee2),(2其他其他yxyxfyxyyzyde2)2(0 ,)2(22z yyzfyyzZdee2)(20 得所求密度函数得所求密度函数)0(时时当当 z)0(时时当当 z, 0)( zfZ得得 . 0, 0, 0,)2(2)(2zzzzfZ的的分分布布及及),min(),max(. 3YXNYXM 则有则有)(maxzMPzF ,zYzXP zYPzXP ).()(zFzFYX )(minzNPzF 1z

14、NP ,1zYzXP 1zYPzXP ),()(,yFxFYXYX和和的分布函数分别为的分布函数分别为它们它们变量变量是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机设设).(1)(11zFzFYX 1 1 1zYPzXP 故有故有),()()(maxzFzFzFYX ).(1)(11)(minzFzFzFYX 推广推广的的分分布布函函数数分分别别为为及及则则),min(),max(2121nnXXXNXXXM ),()()()(21maxzFzFzFzFnXXX ), 2, 1()(,21nixFnXXXiXni 它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为量量个相互独立的随机变个相互独立的随机变是是设

15、设).(1)(1)(11)(21minzFzFzFzFnXXX 则则分分布布函函数数相相互互独独立立且且具具有有相相同同的的若若,)(,21xFXXXn,)()(maxnzFzF .)(11)(minnzFzF .),(iii),(ii),(i),2121如图所示如图所示开始工作开始工作系统系统损坏时损坏时当系统当系统备用备用并联并联串联串联连接的方式分别为连接的方式分别为联接而成联接而成统统由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系设系统设系统LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L例例8度分别为度分别为已知它们的概率密已知它们的概率密的寿命分别为的寿命分别为设设,21YXLL , 0,

16、 0, 0,e)(xxxfxX由由解解串联情况串联情况(i),21就停止工作就停止工作系统系统中有一个损坏时中有一个损坏时由于当由于当LLL的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,min(YXZ .0, 0的的概概率率密密度度的的寿寿命命接接方方式式写写出出试试分分别别就就以以上上三三种种联联且且其其中中ZL , 0, 0, 0,e1)(xxxFxX , 0, 0, 0,e)(xxxfxX , 0, 0, 0,e)(yyyfyY ; 0, 0, 0,e)(yyyfyY由由 . 0, 0, 0,e1)(yyyFyY)(1)(11)(minzFzFzFYX . 0, 0, 0,e1)(zzz .

17、 0, 0, 0,e )()()(minzzzfz的寿命为的寿命为所以这时所以这时 L).,max(YXZ 的分布函数为的分布函数为),max(YXZ )()()(maxzFzFzFYX . 0, 0, 0),e1)(e1(zzzz . 0, 0, 0,e )(ee)()(maxzzzfzzz并联情况并联情况(ii),21才才停停止止工工作作系系统统都都损损坏坏时时由由于于当当且且仅仅当当LLL,21才开始工作才开始工作系统系统损坏时损坏时由于这时当系统由于这时当系统LL即即两者之和两者之和是是的寿命的寿命因此整个系统因此整个系统,21LLZLYXZ 的的概概率率密密度度为为时时当当YXZz ,0yyfyzfzfYXd)()()( zyyzy0)(dee zyzy0)(dee备备用用的的情情况况(iii), 0)(,0 zfz时时当当的概率密度为的概率密度为于是于