几何辅助线之截长补短总结+例题

1、截长补短专题知识导航戳长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有abc”的条件，需要添加辅助线时可以考虑戳长补短”的方法。截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。补短法：延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。即延长a,得到b,证：abc。延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。即延长a,得到c,证：bc-a。知识梳理靛任法：id过某一屿作长边的垂线段：在长边上栽取一桀与某一短边相同的怪

2、段.再证明利下的处西与分一短边相等一补短法：(I)延长短边：(2)通过旋转等方式使两短边拼合到一起.证明与长边相等.【核心考点11角平分线相关截长补短1.如图，BP平分ABC,D为BP上一点，E,F分别在BA,BC上，且满足DEDF,若BED140，贝UBFD的度数是（）A.40B.50C.60D.70【分析】作DGAB于G,DHBC于H,根据角平分线的性质得到DHDG,证明RtDEGRtDFH,得到DEGDFH,根据互为邻补角的性质得到答案.【解答】解：作DGAB于G,DHBC于H,.D是ABC平分线上一点,DGAB,DHBC,DHDG,在RtDEG和RtDFH中，DGDHDEDFRtDEG

3、RtDFH(HL),DEGDFH,又DEGBED180,BFDBED180,BFD的度数18014040,2. 已知，如图，ABC中，C2B,12,求证：ABACCD.【分析】在AB上截取AEACSAS”可证ADEADC,可证DEDC,CAED,可证BBDE,可得BEDEDC,即结论可得.【解答】证明：如图，在AB上截取AEAC,VAEAC,12,ADADADEADC(SAS)DEDC,CAED,C2B,AEDBBDE,BBDEBEDEDC,'ABAEBE,ABACDCoDCEECB.求证:3. 如图，AD/BC,点E在线段AB上，ADECDECDADBC.【分析】延长DE交CB的延长

4、线于M，根据平行线的性质和已知求出CDEM,推出CDCM,根据等腰三角形性质求出DEEM,证ADEBME,求出ADBM即可.【解答】证明：延长DE交CB的延长线于M,AD/BC,ADEM,'/ADECDE,CDEM,CDCM,DCEECB,DEEM,在ADE和BME中ADEMDEEMAEDBEMADEBME,ADBM,即CDCMADBC.4. 如图所示，在五边形ABCDE中，ABAE,BCDECD,ABCAED180,求证：DA平分CDE.【分析】连接AC,延长DE到F,使EFBC,连接AF,易证ABCAEF,进而可以证明ACDAFD,可得ADCADF即可解题.【解答】解：连接AC,延

5、长DE到F,使EFBC,连接AF,*BCDECD,EFDEDF,CDFD,YABCAED180,AEFAED180,ABCAEF,在ABC和AEF中，ABAEABCAEF,BCEFABCAEF(SAS),ACAF,在ACD和AFD中，ACAFCDFD,ADADACDAFD(SS§ADCADF,即AD平分CDE.5. 如图，已知ABC中，AHBC于H,C35,且ABBHHC,求B度数.3HC【分析】在CH上截取DHBH,通过作辅助线，得到ABHADH,进而得到CDAD,则可求解B的大小.【解答】解：在CH上截取DHBH，连接AD,如图BHDH,AHBC,ABHADH,ADAB'

6、'ABBHHC,HDCDCHADCDCDAC,又C35BADB70.6.如图，正方形ABCD中，F是CD边的中点，E是BC边上一点，且AF平分DAE.BE3,求EF的长;(2)求证：AEECCD.【分析】(1)由条件可知C90,CF2,CE1,根据勾股定理就可以求出EF的值.(2)作FGAE于G,由AF平分DAE可以得出ADAG,DFGF,AGF通过证明FGEFCE,可以得出GECE,进而可以得出结论AEECCD.【解答】(1)解：在正方形ABCD中，DCBCAD4,CD90,，1F是CD边中点，_1_CF-CD2,2CEBCBE1,在RtEFC中，由勾股定理得EF2EC2CF2,EF

7、娓.90，(2)证明：过点F作垂线FG垂直AE与点G,vAF平分DAE,DAFGAF,在ADF和AGF中,DFGA90DAFGAFAFAFFGA90,ADFAGF(AAS),AGADDC,GFDF,GFCF,在RtFGE和RtFCE中,GFCFEFEFFGEFCE(HL),EGECAEGEAEECCD.7,已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD,CEAB于E,且BD180,求证：AEADBE.【分析】D,再根据CMBC,MEBE,首先在AE上截取AMAD,连接CM,再证明AMCADC,可得3BD180,34180,可以证出4B,根据等角对等边可证出再根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边

8、上的高线与底边上的中线重合可得到再利用等量代换可证出AEADBE.【解答】证明：在AE上截取AMAD,连接CM,AC平分BAD,1 2,ACAC在AMC和ADC中12,ADAMAMCADC(SAS),3 D,BBD180,34180,4 B,CMCB,/CEAB,MEEB(等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合),-AEAMME,AEADBE.8. 如图1,ABC中，AD是BAC的平分线，若ABACCD,那么ACB与ABC有BA边上取点E,使怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：在AEAC,连接DE.经过推理能使问题得到解决:请回答:(1)有一个角是的等腰三角形是等边三角形.

9、(3)如图3,四边形ABDE中，C是BD边中点，AC平分参考小明思考问题的方法，解决问题:BAE,ACE90,找出(2)如图2,四边形ABDE中，C是BD边中点，AC平分线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系，并加以证明;BAE,EC平分AED,【分析】(1)根据等边三角形的判定可得；(2)在AE上取一点F,使AFAB,及可以得出ACBACF,就可以得出BCFC,ACBACF,就可以得出CEFCED.就可以得出结论；(3)在AE上取点F,使AFAB,连ZCF,在AE上取点G,使EGED,连结CG.可以求得CFCG,CFG是等边三角形，就有FGCG1BD,进而得出结论；2【解答】解：(1)有一

10、个角为60的等腰三角形是等边三角形答案为：60AEABDE;理由：在AE上取一点F,使AFAB,、'AC平分BAE,BACFAC.在ACB和ACF中，ABAFBACFAC,ACACACBACF(SAS),BCFC,ACBACF.CC是BD边的中点.BCCD,CFCD.丁ACE90,ACBDCE90,ACFECF90ECFECD.在CEF和CED中，CFCDECFECD,CECECEFCED(SAS),EFED./AEAFEF,AEABDE;1(3)猜想：AEABDE-BD.2连结CG.证明：在AE上取点F,使AFAB,连结CF,在AE上取点G,使EGED,C是BD边的中点，1CBCD-

11、BD.2AC平分BAE,BACFAC.在ACB和ACF中，ABAFBACFACACACACBACF(SAS),CFCB,BCAFCA.同理可证：CDCG,DCEGCE.CBCD,CGCF/ACE120,BCADCE18012060FCAGCE60.FCG60.FGC是等边三角形.1FGFCBD.2AEAFEGFG.1AEABDEBD.2【核心考点2】半角模型相关截长补短9. 如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是DC上一点，EAF45.(1)如图1,若BEDF1,求ECF的面积；(2)如图2,求证：BEDFEF;(3)如图3,点E为CB延长线上一点，点F为DC延长线上一点，EAF45

12、.请直接写出线段BE、DF、EF的数量关系.【分析】(1)如图，延长EB至H，使BHBE1,连接AH,由SAS”可证ADFABH,可得AFAH,DAFBAH,由SAS”可证AEFAEH,可得HEEF2,由勾股定理和三角形面积公式可求解；(2)将ADF绕着点A按顺时针方向旋转90，得ABF，可得ABFD,AFAF,BAFDAF,由SAS”可证AFEAFE,可得EFEF,可得结论；(3)在DC上截取DHBE,连接AH,由SAS”可证ADHABE,可得DAHBAE,AEAH,由SAS”可证AEFAHF,可得EFHF,可得结论.【解答】解：(1)如图，延长EB至H,使BHBE1,连接AH,丁四边形AB

13、CD是正方形，ADABBCCD,ABCADFC90,-DFBEBH1,ECCF,HE2,BHDF,ABHADF,ABAD,ADFABH(SAS),AFAH,DAFBAH,'/EAF45,DAFBAE45BAHBAEHAEEAF,又'/AEAE,AEFAEH(SAS),HEEF2,丁C90,ECCF,222CFECEF4,2CE2,12ECF的面积1EC1;2(2)将ADF绕着点A按顺时针方向旋转90,得ABF,则ABFD,AFAF,BAFDAF,:四边形ABCD是正方形，DABC90,ABF90,FBC180,F、B、E在一直线上，EAF45,DAFBAE45FABBAEFAE

14、又'/AEAE,AFEAFE(SAS),EFEF,EFFEBEDF;(3)如图3,在DC上截取DHBE,连接AH,-ABAD,ABEADH90,BEDH,ADHABE(SAS),DAHBAE,AEAH,AEF45,BAEBAF45DAHBAF,FAH90DAHBAF45EAF,又，.AFAF,AEAH,AEFAHF(SAS),EFFH,EFFHDFDHDFBE.10.如图，在四边形ABCD中，ABAD,BD90,E、F分别是边BC、CD上1.的点，且EAFBAD,求证：EFBEFD.2S£C【分析】可通过构建全等三角形来实现线段间的转换.延长EB到G,使BGDF,连接AG.目

15、的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE,那么这样EFBEDF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键.三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE,我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BGDF,ABAD,因此两三角形全等，那么AGAF,12,那么11323EAFBAD.由此就构成了二角形ABE和AEF全等的所有条件2(SAS),那么就能得出EFGE了.【解答】证明：延长EB到G,使BGDF,连接AG.毋弋?丁ABGABCD90,ABAD,!37ABGADF/IL，AGAF,12.*二1I 323EAFBAD.2GAEEAF.在AEG与

16、AEF中AGAFGAEEAF,AEAEAEGAEF.EGEF.EGBEBG.EFBEFD.ACBD以D为顶点作MDN,II .把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形交边AC、BC于M、N.(1)若ACD30,MDN60,当MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当ACDMDN90时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图，在(2)的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3,其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论，不必证明)【分析】(1)延长CB至iJE证MDNEDN(2)延长C

17、B到E证MDNEDN(3)在CB截取BE使BEAM,证DAM推出MNNE即可；使BEAM,证DAM推出MNNE即可；AM,连接DE,证DAMDBE,推出BDEDBE,推出BDEDBE，推出BDEMDA,DMDE,MDA,DMDE,MDA,DMDE,证MDNEDN,推出MNNE即可.D【解答】'-(1)AMBNMN,证明：延长CB到E,使BEAM,ACBD90,AEBD90,在DAM和DBE中AMBEADBE,ADBDDAMDBE,BDEMDA,DMDE,MDNADC60,ADMNDC,BDENDC,MDNNDE,在MDN和EDN中DMDEMDNNDE,DNDNMDNEDN,MNNE,N

18、EBEBNAMBN,AMBNMN.AMBNMN,证明：延长CB到E,使BEAM,连接ACBD90,ADBE90,CDAACD90,MDNACDMDNCDA,MDNBDC,MDACDN,CDMNDB,在DAM和DBE中AMBEADBE,ADBDDAMDBE,BDEMDACDN,DMDE,MDNACD90,ACDADCNDMADCCDBADMCDNBDECDMNDBMDNNDE在MDN和EDN中90,DMDEMDNNDE,DNDNMDNEDN,MNNE,NEBEBNAMBN,AMBNMN.(3)BNAMMN,证明：在CB截取BEAM，连接DE,CDAACD90,MDNACD90,MDNCDA,'/ADNADN,MDACDN,BCAD90,BDAM90,在DAM和DBE中AMBEDAMDBE,ADBDDAMDBE,BDEADMCDN,DMDE,ADCBDCMDN,MDNEDN,在MDN和EDN中DMDEMDNNDE,DNDNMDNEDN,MNNE,NEBNBEBNAM,BNA