2020届四川省广安遂宁资阳等七市高三上学期第一次诊断性考试数学(理)试题(解析版)

1、2020届四川省广安遂宁资阳等七市高三上学期第一次诊断性考试数学(理)试题一、单选题1 .已知集合 Axx2 3x 10 0 , B xx 2n,n N ,则AI B ()A.1,1,2B. 1,2C. 1,2,4D. 0,1,2,4【答案】C【解析】解一元二次不等式化简集合A,集合B中的元素都是正整数，再根据集合的交集的概念进行运算即可，【详解】因为 Axx2 3x 10 0x| 2 x 5,所以 A B 1,2,4.故选:C【点睛】本题考查了解一元二次不等式，考查了集合的交集运算，属于基础题.2 .已知i为虚数单位，复数 z 1 i 2 i ,则其共轲复数Z ()A. 1 3iB. 1 3

2、iC.1 3iD.1 3i【答案】B【解析】先根据复数的乘法计算出z ,然后再根据共轲复数的概念直接写出Z即可.【详解】由z 1 i 2 i 13,所以其共轲复数z 1 3i .故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轲复数的概念，难度较易443.在平面直角坐标系中，右角的终边经过点 P sin ,cos ,则cos33( )A. 3B. -C.1D 2222【答案】A【解析】先计算出 P点坐标，然后即可知cos的值，利用诱导公式即可求解出cos的值.因为角、3的终边经过点P 2所以cos,所以cos2cos故选：A.本题考查任意角的三角函数值计算以及诱导公式的运用,难度较易（非轴线角）

3、的终边经过点一 一一x 二P x,y，则 c0s，22 9nx y222 2-y1 a b 0的左顶点为Aa2b2且 OA V3|ob(o为坐标原点）,则该椭圆的离心率为（B .6B.3C -22【解析】根据题意得a = J3b 以及 a2b2c2,消去b ,结合离心率的定义可得答案依题意可知a = J3b ,即b3又 c . a2 b2. a2(33所以该椭圆的离心率 e故选:B本题考查了求椭圆的离心率，关键是由OAJ3|ob得到a = J3b ,属于基础题.【解析】根据函数值恒大于等于 0,排除A,根据函数不是偶函数，排除C ,根据x趋近于正无穷时,函数值趋近于0,排除D ,故选：B .【

4、详解】2r x因为f x - 0,所以A不正确； e 12x函数f x 不是偶函数,图象不关于y轴对称,所以C不正确；e 1当 x 0时，f(x)2-x 0，当x趋近于正无穷时 ex 1x2和ex 1都趋近于正无穷，但2是ex1增大的速度大于x2增大的速度，所以f x趋近于0,故D不正确.ex1故选:B【点睛】本题考查了利用函数性质识别函数的图象，考查了偶函数图象的对称性，考查了极限思想，根据函数的性质排除选项是解题关键.6.执行如图所示的程序框图， 若输入x的值分别为 2 , 1 ,输出y的值分别为a , b ,9则 a b ()A.4B.2C.7D. 144【答案】C1. 八【解析】根据程

5、序框图得到 a b 2,再相加即可得到答案4【详解】 由程序框图可知：程序框图的功能是计算分段函数的函数值, 一 211当x 2时，y 2,所以a ,44-1当x 一时，y92,所以b 2,17所以a b2-.44故选:C本题考查了利用程序框图计算分段函数的函数值,搞清楚程序框图的功能是解题关键属于基础题uUr 1 UHTUULTUUUD为AB的中点，AE AC,若DE AB3UUUTBC ,7.如图，已知 ABC中,C.D.UuUr uuu uuut【解析】利用向量的线性运算将dE用AB,AC表示，由此即可得到，的值，从而可求的值.【详解】231 uuu1uuiruuu1 uuurBA BC

6、 BA BA2 36所以 , 一.故 63因为 uuir unn unn 1 uuu 1 umr DE DA AE -BA -AC1 uun- uur1 uuur-BC-AB BC,3631.6故选：C.【点睛】.向量在几何中的应本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般 用可通过基底的表示形式进行分析.8 .圆x2 y2 2x 2y 2 0上到直线l : x y J2 0的距离为1的点共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】通过计算可知：圆心到直线的距离等于圆的半径的一半，由此可得结论.【详解】圆 x2 y2 2x 2y 2 0 可化为（x 1）2

7、（y 1）2 4,所以圆心为（1,1）,半彳至r为2,圆心（1,1）到直线l:x y 垃0的距离为：d | 1 J1 1, ,1 11所以d r, 2 ,所以圆x2 y2 2x 2y 2 0上到直线l : x y 尬 0的距离为1的点共有3个.故选:C【点睛】本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.9 .部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式， 即一种基于递归的反馈系统.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.如图，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915年

8、提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形， 沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形.若在图中随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为（A.928B. 1928c. 2764D.3764【解析】根据图，归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得答案【详解】依题意可得：图中阴影部分的面积等于大三角形的面积图中阴影部分的面积是大三角形面积的图中阴影部分的面积是大三角形面积的916归纳可得，图中阴影部分的面积是大三角形面积的2764则此点取自阴影部分的概率所以根据几何

9、概型的概率公式可得在图中随机选取-点, 出27 为一.64故选:C本题考查了归纳推理，考查了几何概型的概率公式，属于基础题.10 .关于函数f x 3sin 2x 1 x R有下述四个结论：若3_2 一f xif用 1,则x X2 k kZ；y f x的图象关于点,1对3称；函数y f x在0,- 上单调递增；y f x的图象向右平移 行个单位长度后所得图象关于 y轴对称.其中所有正确结论的编号是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据对称中心进行分析；根据对称中心对应的函数值特征进行分析；根据y sin x的单调性进行分析；利用函数图象的平移进行分析，注意诱导公式的运用.【详解】由f x1

10、f x21 知 X1,1 , x2,1 是 f x 3sin 2x 1图象的两个对称中心, 则X x2是T 的整数倍（T是函数f x的最小正周期），即2 2 kx1 x2k Z ,所以结论错误；2一，2，2因为f 3sin 1 1 ,所以 ,1是f x的对称中心，所以结论正确; 335由2k 领2x - 2k - k Z解得k 一领x k k Z , 2321212一5 一5当k 0时，f x在-,5-上单调递增，则 f x在0, 上单调递增，在512上单调递减，所以结论错误;y f x的图象向右平移 一个单位长度后所得图象对应的函数为12y 3sin 2 x 1 3cos2x 1 ,123是

11、偶函数，所以图象关于y轴对称，所以结论正确故选：D.【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合应用，难度一般.（1） f x Asin x 的对称中心对应的函数值为0,对称轴对应的函数值为庆；（2）分析£ x Asin x的单调性，可令x 满足y sin x的单调区间，从而可求f x的单调区间11 .四面体P ABC的四个顶点坐标为 P 0,0,2 , A 0,0,0 , B 0,2出,0C 3, J3,0 ,则该四面体外接球的体积为（）A. 3220 5B. C. 20c 64 . 2D.【答案】B【解析】计算出线段长度，分析出四面体的形状，从而可确定出外接球的球心，根据球心求解出球

12、的半径即可求解出外接球的体积【详解】由题意知 PA 2,PB 4,PC 4, AB 2 串,AC 273, BC 2第,所以 PA2 AB2 PB2, PA2 AC2PC2,所以 PA AB,PA AC,所以该四面体侧棱 PA底面ABC ,且底面是边长为2 J3的正三角形，侧棱PA 2,所以底面正三角形的外接圆半径为2*2 ,球心必在过2sin 60PA中点且平行于底面的平面上,所以球半径R 在不 几，所以球的体积为20.53故选：B.本题考查空间几何体的外接球体积计算，难度一般.求解空间几何体的外接球的问题,首先要确定出球心所在的位置，然后根据线段长度求解出外接球的半径，最后即可求解 出球的

13、体积或表面积12 .已知直线y 2x与曲线f x ln ax b相切，则ab的最大值为（）A. eB. -C. eD. 2e42【答案】C【解析】根据切点处切线斜率等于导数值、切点处直线对应的函数值等于曲线对应的函构造新函数分析ab的数值，得到b关于a等式，由此将ab表示成关于a的函数形式,最大值.设切点 x0,ln ax0 b ，则由fx°a c1右 2得 a% b 2aa又由ln ax0 b2xo，得 x° - ln ax01aab- ln，则 bax0222aa, aln22 2有 ab 1a2 1a2ln a 0 令 ga 2221aa 一 ln 一 ，22故当0

14、a 2 je时g a 0 ；当a 2 je时g a 0 ,故当a2je时g a取得极大值也即最大值 g 2 . e e.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义以及构造函数求解最值，难度较难.（1）分析导数的切线问题,注意两个点：切线的斜率等于切点处曲线的导数值、切线对应的y值等于曲线对应的函数值；（2）构造函数求解最值时，注意分析新函数的单调性以及定义域，然后分析最值 即可.二、填空题13 .已知圆柱的底面半径为 2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD （如图）.若底面圆的弦AB所对的圆心角为.，则圆柱被分成两部分中较大部【答案】103,35【解析】据题意：较大部分的底

15、面积可以看成是一个三角形加上圆的5 ,且两部分柱3体同高，因此可求解出较大部分的底面积，然后直接柱体体积公式求解即可【详解】因为弦AB所对的圆心角为所以圆柱截掉后剩余部分的底面面积为312 .2 sin 103所以剩余部分的体积为 V 33 103.3.3故答案为：103，、3.本题考查柱体体积的计算，难度较易.对于被切割的几何体体积或者表面积的计算，注意借助未切割之前几何体的几何特征去分析.14 .某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进人了男子羽毛球单打决赛，2 一一，假设甲每局获胜的概率为一，则由此估计甲获得冠军的概率为 .3-20【答案】2027【解析】分析甲获胜的方式：(1

16、)前两局甲都获胜；(2)前两局甲获胜一局，第三局甲获胜，由此计算出甲获得冠军的概率.【详解】因为甲获胜的方式有 2:0和2:1两种，22“21220所以甲获得冠军的概率p2c；21220.333327,20故答案为：20.27【点睛】本题考查独立事件的概率计算，对问题分析的能力要求较高，难度一般.若事件A,B互相独立，则P AB P A P B .15 .已知函数f x ex x2 e,则满足不等式f m 2 1的m取值范围是 .【答案】1 m 3【解析】先用偶函数的定义彳#函数为偶函数，可得f(x) f(|x|),再利用x .0时，函数为增函数，可将不等式化为|m 2| 1,从而可解得结果.

17、【详解】因为 f xex x2 e,所以 f( x) e|x| ( x)2 e e|x| x2 e f (x),所以f(x)为偶函数，所以f (x)f(|x|),x 2当x 0时，f(x) e x e为增函数，所以 f m 21 等价于 f(|m 2|) 1 f(1),所以|m 2| 1,所以1 m 3,故答案为：1 m 3【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，利用f(x) f(|x|)将不等式化为f(|m 2|) 1f(1)是解题的关键，属于中档题16 .某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4

18、次，乙型车每次最多能运 10吨且每天能运3次，甲型车每天费用 320元，乙型车每天费用 504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为 元.【答案】2560【解析】根据题意设出关于车辆数的未知数，得到对应的不等式组，由此作出可行域,利用平移直线法分析运送费用的最小值.【详解】设安排甲型车x辆，乙型车y辆，由题意有目标函数z 320x 504y ,作出不等式组2.5,4 , 8,4 , 8,0 , 7.5,0围成的梯形及其内部，如下图所示：4 6x 3 10yT80,4x 5y30,0赛女8,0蒯x8,0轰卯4,0蒯y4,x,yN,x,yN,4x 5

19、 y 30,°：女8,所表示的平面区域为四点0轰卯4,x, y N,包含的整点有 8,0 , 7,1 , 8,1 , 5,26,3 , 7,3 , 8,3 , 3,4 , 4,4 ,作直线320x 504y 0并平移，分析可得兰6,2 , 7,2 , 8,2 , 4,3 , 5,3 , ,6,4 , 7,4 , 8,4 .过点 8,0时z最小，即Zmin 8 320 2560 (元).故答案为：2560.【点睛】本题考查线性规划的实际应用，难度一般.计算线性目标函数的最值，采用平移直线法,将目标函数的最值与直线的斜率联系在一起，从而利用可行域解决问题 三、解答题17 .已知数列 an

20、的前n项和为Sn,首项为ai,且4, an, Sn成等差数列.(1)求数列 an的通项公式；(2)若a2 2b1 ,求数列bn的前n项和Tn .n 1_ _2【答案】(1) an 2 n N ； (2) Tn n 3n.【解析】(1)根据4, an, Sn成等差数列，可得2an Sn 4 ,再利用加 Sn & 1可an得 2,从而可得数列 an是以4为首项，2为公比的等比数列，由此可得数列 anan 1的通项公式；(2)由a2 2bl可彳# bn 2n 2 ,再根据等差数列的前 n项和公式可得结果.【详解】(1)由题意有2an Sn 4,当 n 1 时，2a1 a1 4 ,所以 a1

21、4,当 n 2时，Sn 2an 4, &1 2am 4,an-两式相减得an Sn Sn 1 2a 2an 1 ,整理得2 , an 1所以数列 an是以4为首项，2为公比的等比数列，所以数列 an的通项公式an 4 2n 1 2n 1n N(2)由 2bn a2 22n 2,所以 bn 2n 2 ,所以数列bn是以4为首项,2为公差的等差数列所以Tn4n 2n2 3n .【点睛】,考查了等比数本题考查了等差中项的应用，考查了用an和Sn的递推关系求通项公式 列的通项公式，考查了等差数列的前 n项和的公式，属于中档题.118 .在 ABC中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c

22、,且acosC c b. 2(1)求角A的大小；(2)若a . 3,求b c的最大值.【答案】(1)a ；(2)2击3【解析】(1)利用正弦定理完成边化角，然后根据 ABC得出对应的等式，从而计算出A的值；a b c(2)根据正弦te理 ，将b,c表示为sinB,sinC的形式，然后根据 sin A sin B sinCB C的结果将b c表示为关于C的三角函数，根据 C的范围求解出b c的最大值 即可.另解：根据余弦定理以及基本不等式求解出b c的最大值，注意取等号的条件(1)由 acosC所以 sin AcosC11 .-c b ,根据正弦定理有：sin AcosC -sinC sin B

23、221 .-sinC sin A C sinAcosC cosAsinC,所以21A -sinC cos Asin C . 2因为C为三角形内角，所以sin C 0 ,所以cosA1因为2A为三角形内角，所以(2)由a 石，A根据正弦定理有:3bsin BcsinC所以 b 2sin B , c 2sin C .所以b c 2sin B 2sin C 2sin23-C2sin C3cosC 3sin C当C 一时，等号成立.所以b 3c的最大值为2/3.另解：（2）由a 串,A根据余弦定理有:3小b2 c2 2bccos ,即3 b2 c2 bc.因为22,2222 b c b cb c bc

24、 b c 3bc b c 3 242所以3. b c .即b c, 2，3,当且仅当b c J3时，等号成立 4所以b c的最大值为2J3.【点睛】本题考查解三角形的综合问题，难度一般.（1）解三角形时注意隐含条件ABC 的使用；（2）利用正弦定理求解边之和的最值，主要利用三角函数的有界性进行计算;利用余弦定理计算边之和的最值，主要利用余弦定理以及基本不等式进行计算19.已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （°C）的7组观测数据，其散点图如所示:根据散点图，结合函数知识,可以发现产卵数 y和温度x可用方程y ebxa来拟合，令z ln

25、 y ,结合样本数据可知z与温度x可用线性回归方程来拟合. 根据收集到的数据,xyz7一 2为 xi 17 - 2 zi zi 17xiXzizi 127743.53718211.946.418计算得到如下值:表中(1)求z和温度x的回归方程（回归系数结果精确到0.001）;(2)求产卵数y关于温度x的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26oC36oC之间(包括26oC与36°C),估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.(参考数据:3.2823.7925.8326.0876.342e 27，e 44， e 341，e 440，e 568 )附：对于一组数据1,M ,2,v2 ,n,Vn

26、 ,其回归直线。的斜率Vi和截距的最小二乘估计分别为【答案】(1) ? 0.255x 3.348; (2) y e0.255x 3.348, 27.341.(1)根据公式计算出b?和？,可彳导Z 0.255x 3.348;(2)根据z ln y可得ln y 0.255 x 3.348 ,再根据函数ye0.255x 3.348为增函数可得答案.【详解】(1)因为z与温度x可以用线性回归方程来拟合，设 夕台bx .b?X x J zi 172xixi 146.4181820.255 ,3.348，所以 Z z b?< 3.537 0.255 27故z关于x的线性回归方程为 ? 0.255x

27、3.348.(2)由(1)可得 ln y 0.255x 3.348 ,于是产卵数y关于温度x的回归方程为ye0.255x 3.3480.255 26 3.3483.282 cr当 x 26 时，y ee 27 ；当 x 36 时，ye0.255 36 3.348e5.832341；因为函数y e0.255x 3.348为增函数，所以，气温在26oC36oC之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是27.341内的正整数.本题考查了求线性回归方程，考查了利用线性回归方程对变量进行分析，属于中档题20 .如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形，PA 底面ABCD ,PA AB, E

28、为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点(不含 B)请证明；如果不是，请说明理由;八.13 °三(1)平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果是,(2)求二面角B AF E的余弦值的取值范围【答案】(1)平面AEF 平面PBC ,理由见解析;【解析】(1)利用线面垂直的判定定理证明AE，平面PBC ,根据线面关系即可证明平面AEF与平面PBC垂直；(2)建立空间直角坐标系，根据平面BAF与平面AEF法向量的夹角的余弦的取值范围，计算出二面角 B AF E的余弦值的取值范围.【详解】(1)因为PA AB, E为线段PB的中点.所以AE PB .因为PA 底面ABCD , BC 平面AB

29、CD,所以BC PA,又因为底面 ABCD为正方形，所以BC AB, PAI AB A,所以BC，平面PAB , 因为AE 平面PAB,所以AE BC .因为PB BC B ,所以AE ±平面PBC , 因为AE 平面AEF ,所以平面 AEF 平面PBC .(2)由题意，以 AB, AD所在直线分别为x, y轴建立空间直角坐标系如图所示，令 PA 2 ,r则 A 0,0,0 , B 2,0,0 , E 1,0,1 , F 2,t,0 (其中 0 t, 2).易知平面 BAF 的 ur一个法向量 m 0,0,1 .r设平面AEF的法向量nx, y, z ,由v Auv ov uuv

30、即v AE 0.2x ty 0, x z 0.r 2令 z 1 ,则 n1,-,1t是平面AEF的一个法向.ur rcos;m, n量.ir rm nirm由0 t, 2 ,所以忘点故若F为线段BC上的动点(不含B ),二面角 B AFE的余弦值的取值范围是【点睛】本题考查空间中的面面垂直关系的证明以及二面角余弦值的取值范围.(i)面面垂直的证明可通过线面垂直的证明来完成；(2)利用空间向量计算二面角的余弦值时，可根据平面法向量的夹角余弦值以及几何图形中面与面夹角是钝角还是锐角，确定出二面角的余弦值大小.x21.已知函数 f x xe alnx ax a e.(1)若f x为单调递增函数，求

31、a的取值范围；(2)若函数f x仅一个零点，求a的取值范围.【答案】(1),0 ; (2) a 0或a e.xxe a【解析】(1)先求导得到f x 1 x -一a-,将f x为单调递增函数转化为xxa xex对于x 0恒成立，构造函数u x xe ,利用导数求出其最值即可解决 ；(2)因为f 10,所以x 1是f x的一个零点，所以只需f(x) 0在(0,)内无另外实根即可，通过讨论a得到f(x)的单调性，根据单调性可得答案.【详解】(1)由 f xxex alnx ax a ex 0 ,xxe a1 xx因为f x为单调递增函数，所以当 x 0时f x 0,由于x 1 1,于是只需a xe

32、x对于x 0恒成立,xx令 u x xe,贝 Uux x 1 e ,x当x 0时，u x 0,所以u x xe为增函数，所以u x u 00.当a u 0 ,即a 0时，a xex恒成立，所以f x为单调递增函数时，a的取值范围是,0(2)因为f 10,所以x 1是f x的一个零点.由(1)知，当a 0时，f x为0, 的增函数，此时关于x的方程f x0仅一解x1 ,即函数f x仅一个零点，满足条件.当a 0时，由f 10得a e,x xxe e(i)当 a e 时，f x xe eln x ex,贝 u f x x x令 v x xex e,易知v x在0, 的增函数，且v 10,所以当0

33、x 1时，v x 0,则f x 0, f x为减函数，当x 1时，v x0,则f x 0, f x为增函数,所以f x 0在0,上恒成立，且仅当f 10,于是函数f x仅一个零点所以a e满足条件.x(ii )当a e时，由于v x xe a在1,为增函数，则v 1 e a 0,又当x时，v x则存在x01，使得v x°0 ,即使得f %0 ,当 x1, x0 时，v(x) v(x0) 0,则 f x 0 ,当 XXo,时，v(x) V(Xo)o, f Xo0所以f (X)在(1,Xo)上递减,在(Xo,所以f Xof 10 ,且当X时，f X于是当XXo,时，存在f X o的另一解，不符合题意，舍去.(iii )当o a e时，则v xXeX a在1, 为增函数，又 vo a o,v1 e a o,所以存在o Xo 1,使得v Xoo,也就使得f % o,当 x o,Xo 时，v(x) o , f x o,当 Xo,1 时，v(x) o, f x o,所以f(x)在(o,Xo)上递减，在(Xo,1)上递增,所以f Xof 1 o,且当X o时，f X于是在o,Xo时存在f x o的另一解