小学奥数：奇数与偶数的性质与应用.专项练习及答案解析

1、目幽If 教学目标本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0,本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要 “先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单 独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。知识点拨一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类 .能被2整除的数叫做偶数，不能被 2整除的数叫做奇 数。通常偶数可以用 2k （k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意, 因为0能被2

2、整除，所以0是偶数。二、奇数与偶数的运算性质性质1:偶数土偶数=偶数，奇数土奇数=偶数性质2:偶数土奇数=奇数性质3:偶数个奇数的和或差是偶数性质4:奇数个奇数的和或差是奇数性质5:偶数X奇数=偶数，奇数X奇数=奇数，偶数X偶数=偶数三、两个实用的推论推论1:在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论2：对于任意2个整数a, b，有a+b与a-b同奇或同偶怅例题精讲模块一、奇偶分析法之计算法【例1】1 2 3 1993的和是奇数还是偶数？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【解析】在1至1993中，共有1993个连续自然数，其中 997个奇数，996个偶数

3、，即共有 奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数.【答案】奇数【例1】从1开始的前2005个整数的和是 数（填：“奇”或“偶”）。【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，5题【解析】1+2+3+ - +2004+2005=（1+2005） X 2005+2=1003 X 2005 是奇数5-6-1.奇数与偶数的，性质与应用.题库page 1 of 16教师版【答案】60【巩固】29 30 3187 88得数是奇数还是偶数？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【解析】偶数。原式中共有60个连续自然数，有 30个奇数，为偶数个。【答案】偶数【巩

4、固】1 2 3 4 5 6 7 L 99 100 99 98 97 96 L 7 6 5 4 3 2 1 的和是奇数还是偶数？为什么？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】1星 【题型】解答【解析】略【答案】偶数，在算式中，199者B出现了 2次，所以 12 34 L99 99 98 97 96 L 432 1 是偶数，而100也是偶数，所以12 34 56 7 L 99 100 99 989796 L 7 65 4 3 2 1的和是偶数.【巩固】(200 201 202 288) (151 152 153 233)得数是奇数还是偶数？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星 【题型】解答【解析】2

5、00至288共89个数，其中偶数比奇数多1, 44个奇数的和是偶数；151至233共83个数，奇数比偶数多 1, 42个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。【答案】偶数【例2】1 2 3 4 5 6 7 L 98 99的计算结果是奇数还是偶数，为什么？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【解析】特殊数字：“1”.在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有1是奇数，又因为奇数 偶数=奇数，所以这个题的计算结果是奇数.【答案】奇数【例3】 东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038 13 75 64,他做得对吗？【考点】奇

6、偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【解析】等式左边是偶数，13 75是奇数，64是偶数，根据奇数偶数 奇数，等式右边是奇数，偶数不等于奇数，因此东东写出的等式是不对的.【答案】不能做对【例4】一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150,那么这个数是多少？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【解析】由定义知道，相邻两个奇数相差2,那么说明150是这个未知自然数的两倍，所以原自然数为75.【答案】75【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80,那么这三个偶数的和是多少？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【解析】由定义知道

7、，相邻两个偶数相差2,那么80恰好是原偶数的4倍，即原来的偶数是20。而由题意知道原来的三个偶数分别18,20,22 ,它们的和是60。【例5】 能否在下式的“口”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请 说明理由。(1)1 口 2 口 3 口 4 口 5 口 6 口 7 口 8 口 9=10(2)1 口 2 口 3 口 4 5 口 6 7 口 8 口 9 =27【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶 性质“

8、先定性分析后定量计算的题目"(2)可以。123456789 27或 123456789 27【例6】 能否从四个3,三个5,两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.【考点】奇偶分析法之计算法【难度】2星【题型】解答【解析】略【答案】不能。因为不论如何选，选出的5个数均为奇数，5个奇数的和还是奇数，不可能等于22。【巩固】能否从、四个6,三个10,两个14中选出5个数，使这5个数的和等于44.【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】从性质上看，选出 5个偶数的和仍然是偶数。而从计算层面上考虑，假设等式可以 成立，那么可以把题目中的数都除以2.那么本题相当

9、于：能否从、四个3,三个5,两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.因为3, 5, 7都是奇数，而且5个 奇数的和还是奇数，不可能等于偶数22,所以不能.【例7】一个偶数的数字和是 40,这个偶数最小是 。【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 8题【解析】 这个偶数的数字和是 40,应让其各个位数尽量的大， 首先让个位为8,则让其前面 尽量为9,则这个偶数最小为 59998。【答案】59998【例8】 多米诺骨牌是由塑料制成的1 X 2长方形，共28张，每张牌上的两个 1 X 1正方形中刻有“点”，点的个数分别为0, 1, 2,，6个不等，其

10、中7张牌两端的点 数一样，即两个0,两个1,，两个6;其余21张牌两端的点数不一样，所谓 连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连， 例如：现将一副多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为6点，那么在链的另一端为多少点？并简述你的理由.【考点】奇偶分析法之计算法【难度】5星【题型】解答5-6-1,奇数与偶数的，性质与应用.题库page 3 of 16教师版【答案】1,2,3,5【解析】略【答案】6,由连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而6点的个数为8,所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为6.【巩固】一条线段上分布着

11、 n个点，这些点的颜色不是黑的就是白的，它们将线段分为n+1段，已知线段两端的两个点都是黑的，而中间的每一个点的两边各有一黑一白.那么白点的数目是奇数还是偶数？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4星【解析】略【答案】因为中间的每一个点的两边各有一黑一白, 点依次相邻（除了首尾可能出现一个黑点） 个数为偶数.【题型】解答所以所有的点一定是两个黑点、 两个白 ,所以白点都是成对出现的.所以白点的【例9】 沿着河岸长着 8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个.问：8丛植物上能否一共结有 225个浆果？说明理由.【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4星【题型】解答【关键词】俄罗斯，小学奥林匹克【

12、解析】略【答案】不能。相邻的两个植物果实数目差 1个意味着相邻2个植物的奇偶性不同， 所以一 定有4棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为225.【例10】有一批文章共15篇，各篇文章的页数是 1页、2页、3页、L L、14页和15页 的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章 的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4星【题型】解答【解析】先将偶数页的文章（2页、4页、L L、14页）编排，这样共有7篇文章的第一页都 是奇数页码.然后将奇数页的文章 （1页、3页、5页、7页、9页、11页、13页和 15页）依次编排，这样编排的

13、 1页、5页、9页和13页的4篇文章的第一页都是奇 数页码.因此每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是7 4 11 （篇）.【答案】11【巩固】一本故事书共有30个故事，每个故事分别占 1、2、3、30页（未必按这个顺 序）。第一个故事从第 1页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有 个故 事是从奇数页开始的。【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4星 【题型】解答【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 9题【解析】前15个故事让其均为偶数页，这样前15个故事均为奇数页开始，后面 15个奇数页的故事，有8个是从奇数页开始的，所以最多有15+8=23个。【答案】23个【例11】有四个互不相等的自然数，最

14、大数与最小数的差等于4,最小数与最大数的乘积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数.求这四个数.【考点】奇偶分析法之计算法【难度】3星【题型】解答【解析】入手点：最小的两位奇数是 11,最小数与最大数的乘积是一个奇数可得最小数和 最大数都是奇数.首先由这四个数的和是最小的两位奇数，可知这四个自然数的和是11.其次，由最小数与最大数的乘积是一个奇数，可知最小数与最大数都是奇数.由 1 2 3 4 10 11, 2 3 4 5 14 11 ,可以推导出这四个互不相等的自然数 分别是：1, 2, 3, 5 .【例12】三个相邻偶数的乘积是一个六位数82,求这三个偶数.【考点】奇偶分析法之计算法【

15、难度】3星【题型】解答【解析】由三个相邻偶数的乘积是一个六位数，可以断定这三个数必须是两位数，并且它们的个位数字只能是 0, 2, 4, 6, 8中相邻的三个.又这三个数积的个位数字是2,所以，这三个相邻偶数的个位数字只能是4, 6, 8.由于三个100相乘等于一个最小的七位数字 1000000,三个90相乘等于729000,所以，这 三个相邻偶数的十位数字必须是 9,从而，这相邻三个偶数分别是 94 , 96, 98.经计算.94, 96, 98三个数满足题意.【答案】94, 96, 98【例13】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位

16、置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】不能。因为数码都小于5所以这两个四位数相加不会产生进位，所以这两个四位数的数码和等于7356的数码和，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，所以两个四位数的数码和为偶数，而7356的数码和是奇数， 所以不成立。【例14】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之 和能否等于999?【考点】奇偶分析法之计算法【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】不能。2个三位数的和为 999,说明在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生 进位说明两个三位数的数

17、字之和相加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常用结论。那么999的数字之和是27,而原来的2个三位数经调换数字顺序后数字之和是不会变的，若以a记为其中一个三位数的数字之和，那么另一个也为a,则会有2a=27的矛盾式子出现。说明原式不成立。模块二、奇偶分析法之代数法【例15】已知a,b,c是三个连续自然数， 其中a是偶数。根据下面的的信息： 小红说：“那 么a 1, b 2, c 3这三个数的乘积一定是奇数”；小明：“不对a 1, b 2, c 3 这三个数的乘积是偶数”。判断小红和小明两人的说法中正确的是 。【考点】【难度】星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 4

18、题，6分【解析】 三个连续自然数就是 a、a+1、a+2,则(a+1) (b+2) (c+3) = (a+1) (a+3) (a+5), 三个奇数相乘一定是奇数.【答案】小红【例16】试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999.如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由.【考点】奇偶分析法之代数法【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】因为两个数的和 a b与两个数的差a b的奇偶性相同，所以(a b) (a b)的和 是偶数.由结论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加 1000还是偶 数，所以它们的和不能等于奇数1999.【例17是

19、否存在自然数a和b,使得ab(a+b)=115?【考点】奇偶分析法之代数法【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】不存在。此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想，即2个自然数在奇偶性的组合上只有3种情况，“2奇0偶，1奇1偶，0奇2偶”，可以分别讨论发现均不成 立。【巩固】是否存在自然数a和b,使得a ba 5b) 15015?【考点】奇偶分析法之代数法【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】不存在.因为 15015是奇数，所以a、b、a 5b都应为奇数，但是当a和b均为奇 数时，a 5b却是偶数.【巩固】是否存在自然数 a、b、c,使得(a-b)( b-c)( a-c)=45327 ?【

20、考点】奇偶分析法之代数法【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】不存在。可以分情况来讨论：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。但是比较繁琐，可以根据45327是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以a-b、b-c、a-c都为奇数，再根据奇偶性进行判断。【例18】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中最多可以有几个奇数？【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4星【题型】解答【解析】 根据题目内容，可以列出所要讨论的式子为a b c abc。则接下来可以分类讨论3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶四种情况。经验证如果要满足上式结 果为奇数，那么可以发现最多只能有1个奇数。【答

21、案】1个奇数【例19】已知a,b,c中有一个是 511, 一个是622, 一个是793。求证：(a 1)(b 2)(c 3) 是一个偶数。【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】因为在 a, b, c中有2个是奇数，1个是偶数，那么说明 a, c两个数中至少有一个是 奇数，那么(a 1)和(c 3)中至少有一个是偶数，所以 (a 1)(b 2)(c 3)中至少有 一个因数是偶数，结果为偶数.【巩固】小红写了四个不同的非零整数a,b,c, d,并且说这四个整数满足四个算式:a b c d a b c d a b c d a b c d但是小明看过之后立刻说小红是错的，

22、 论吗？【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4星【解析】略【答案】由小红的提出的等式组，我们可以得到a 1991b 1993c 1995d 1997根不不存在这样的四个数，你能证明小明结【题型】解答a (bcd 1) 1991 , b (acd 1) 1993 ,c (abd 1) 1995 , d (abc 1) 1997,发现如果每个等式的结果都是一个奇数,5-6-1.奇数与偶数的，性质与应用.题库page 7 of 16教师版那么要求a,b,c,d四个数都是奇数，因为只有奇数与奇数相乘才能得奇数，这样a,b,c,d中任意三个数的乘积也为奇数，导致(abd 1)等四个差均为偶数，乘积结果只能

23、得偶数，发生矛盾。【例20】设a , b , c , d , e , f , g都是整数，试说明:在 a b,b c,c d, d e,e f, fg,g a中，必有奇数个偶数.【考点】奇偶分析法之代数法【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】加数中奇数的个数决定和的奇偶性， 所以我们考虑这 7个数的和.(a b) (bc)(c d)(de)(ef)是偶数，ab,b c ,cd ,de ,因而必有奇数个偶数.反过来，和的奇偶性由加数中奇数的个数决定，(fg) (ga)2(ab c d e f g),和ef , fg , ga中，必有偶数个奇数，模块三、奇偶分析法之图论【例21你能不能将自然数

24、1到9分别填入3X3的方格表中，使得每一行中的三个数之 和都是偶数。【考点】奇偶分析法之图论【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】不能。此题学生容易想到九宫格数阵问题，其实不是。1到9中共有5个奇数，分别分成3组后会分布在每一行里面，也就是说要想实现每一行都是偶数，就需要每一行都有偶数个奇数， 从而需要三行奇数的和是偶数，但是现在仅有5个奇数，所以无法填入。【巩固】你能不能将整数0到8分别填入3X3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都 是奇数？【考点】奇偶分析法之图论【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】不能。分析过程与例题类似。【例22】能否将116这16个自然数填入4 4的方格表

25、中(每个小方格只填一个数)，使得各行之和及各列之和恰好是 8个连续的自然数？如果能填，请给出一种填法； 如果不能填，请说明理由.【考点】奇偶分析法之图论【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】不能.将所有的行和与列和相加， 所得之和为4 4的方格表中所有数之和的 2倍.即 为：(1 2 3 L 15 16) 2 16 17而8个连续的自然数之和设为：k (k 1) (k 2) (k 3)(k 4) (k 5) (k 6) (k 7 8k 28若4 4的方格表中各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数，应有 8k 28 16 17,即2k 7 4 17显然这个式子左端为奇数，右端为偶数，得出矛

26、盾.所以不能实现题设要求的填数法.【例23】在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方 格中，例如a 5 3 8.问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多？12345678 9【解析】此题如果按步就班地把每个格子的数算出来， 后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论.再去数一数奇数和偶数各有多少.然显然花时间很多，不能在口试抢答中取胜.我们应该从整体上去比较奇偶数的多少.多1个.所以前8行中奇偶数一样，余下第易知奇数行偶数多一个，偶数行奇数 9行奇数行，答案可脱口而出.偶数多.【答案】偶数多【巩固】如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：a 5 3 1

27、5 .问填入的81个数中是奇数多还是偶数多？【考点】奇偶分析法之图论【难度】4星【题型】解答【解析】奇数行奇数多1个，偶数行全是偶数，显然偶数多。【答案】偶数多1枚棋子.若要求8行、8列、30条斜8 8”的方格中最多可以放多少枚【例24】在“8 8”的方格中放棋子，每格至多放线（如图所示）上的棋子数均为偶数.那么“【解析】如图，观察向左下倾斜的 15条斜线，其中的方格数依次是：1,2, 3, L , 7, 8,7, L , 3, 2, 1,其中有8个奇数，表明有8条斜线中必须至少缺一个棋子.同 理右下倾斜的斜线中，也有 8条必须缺一个棋子.这样，总共至少缺 16个子.下 图表明缺16个棋子的时

28、候是可以办到的，其中黑点占据的空格表示不放棋子的空 格.5-6-1.奇数与偶数的，性质与应用.题库page 11 of 16教师版【例25】有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字1,第二组相对的面上都写着数字2,第三组相对的面上都写着数字3（如图）.现在把这8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方体.。问：是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成 6个连续的自然【考点】奇偶分析法之图论【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】假设满足条件的大正方体ABCD EFGHT以拼成（见图2）,即它的每个面上的 4个数字之和恰好组成 6个连续

29、的自然数.那么这个大正方体的六个面上的24个数字之和S就等于这6个连续自然数之和.又因为，6个连续自然数之中必有三个偶数、 三个奇数，所以6个连续自然数之和必是奇数，即S是奇数.另一方面，考虑大正方体的8个顶点A B、C、D E、F、G H,它们分别是一个小正方体的顶点.由 于，交于这些顶点的小正方体的三个面互不相对，因此，在这三个面上所写的3个数字分别为 1、2、3.这样大正方体的六个面上的24个数之和 S=8X（1+2 +3）=48 .即S又应该是偶数.所以这是不可能的.模块四、奇偶分析法之生活运用【例26】甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置

30、共交换了 9次，则比赛的结果甲是第 名.【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3星【题型】血i【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 9题【解析】 三人的位置交换了奇数次，甲必然是在乙丙中间. 如果交换了偶数次，甲是第一或第三名.【答案】甲是第2名【例27】甲、乙两个哲人将正整数 5至11分别写在7张卡片上.他们将卡片背面朝上， 任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张.剩下的两张卡片，他们谁也没看，就 放到麻袋里去了.甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数.”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数？答 案是否唯一.【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】4星【题型】

31、解答【解析】甲手中的3张卡片上分别写了 6, 8和10.甲知道其余4张卡片上分别写了哪些数，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中.因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和都是偶数时，甲才能说出自己的断言.而这就意味着，这4张卡片上所写的数的奇偶性相同，亦即或者都是偶数，或者都是奇数.但是由于一共只有3张卡片上写的是偶数， 所以它们不可能都是偶数，从而只能都是奇数. 于是3张写着偶数的卡片全都落入甲的手中.答案是唯一的.【答案】甲手中的 3张卡片上分别写了 6, 8和10.答案是唯一的.【例28】甲同学一手握有写着 23的纸片，另一只手握有写着 32的纸片.乙同学请甲回答 如下一个问题：“请

32、将左手中的数乘以 3,右手中的数乘以2,再将这两个积相加， 这个和是奇数还是偶数？”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中.你能说出是什么道理吗？【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】甲的两张纸片，23是奇数，32是偶数.因此，只要能判断出甲的左手中握的是奇数，即可知左手的是 23.设甲左手握的数为 a,右手握的数为b,乙同学请甲计算 所得结果为c,则3 a 2 b c. 若c为奇数，则3 a为奇数，所以左手握的 数a是奇数. 若c为偶数，则3 a为偶数，所以左手握的数a是偶数.因此，从c的奇偶性就可以断定左手握的数a的奇偶性，从而确定左手

33、握的数是23还是32.在本题中，c为奇数，因此合于第（1）种情况，a是奇数，即左手中握的是 23.【例29】在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好.主人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个.”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3星【题型】解答偶数次人数偶数 即偶偶偶，而偶【解析】略【答案】 握偶数次手的人：不管奇数个人还是偶数个人.总次数握奇数次手的总次数握手总次数偶数次握手总次数,奇数次人数人数为偶数，由此证明.【巩固】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，

34、 那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3星 【题型】解答【解析】略【答案】此题初看似乎缺总人数. 但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关.由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数.送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数.另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数偶数偶数偶数.他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数.所以，

35、送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数【例30】四个人一道去郊游，他们年龄的和是97岁，最小的一人只有 10岁，他与年龄最大的人的岁数和比另外两人岁数的和大7岁.问： 年龄最大的人是多少岁？另外两人的岁数的奇偶性相同吗？【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3星 【题型】解答【解析】先将四个人的岁数暂时分为两组进行分析，如果将 97岁减去7岁，则两组人的岁 数和相等（可以按照和差问题求出大小数），然后再求出年龄最大的人的岁数，再说明另外两人的岁数的奇偶性.另外两人的岁数和是：（97 7） 2 45 （岁）年龄最大的人的岁数：45 7 10 42 （岁） 因为另外两人的年龄和是 45岁，是一个奇数，那么

36、他们中一个的岁数是奇数，另一个人的岁数是偶数，也就是他们的岁数的奇偶性不同.【答案】（1） 42岁，（2）奇偶性不同【例31】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和 k个化学家，并且其中有些人总说 真话，有些人则总说假话.今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一 样多.又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家.”那么请你证明：k为偶数.【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】由题目条件可发现不仅物理学家与化学家总人数相同，其中说真话与说假话的人数也分别相同，如果有a个物理学家说谎，同时也会有a个化学家说谎。所以总共有 2a个人说谎。而最后

37、发现有 k个物理学家的身份被说谎的人改变了，每一个人只 能影响有右邻的人，说明有 k个说谎的人，那么 k=2a,则说明k是偶数。【例32】一个图书馆分东西两个阅览室.东阅览室里每张桌子上有2盏灯.西阅览室里每张桌子上有3盏灯.现在知道两个阅览室里的总的桌子数和灯数都是奇数.问： 哪个阅览室的桌子数是奇数？【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3星【题型】解答【解析】根据两个阅览室里总的桌子数和灯数都是奇数，想一想可以确定哪个阅览室桌子数、灯数的奇偶性呢？由于东阅览室里每张桌子上有2盏灯，因此东阅览室的灯的总数一定是偶数.由于两个阅览室里灯的总数是奇数，因此西阅览室的灯的总数一定是奇数.又因为西阅

38、览室里每张桌子上有3盏灯，可知西阅览室的桌子数是奇数.由于两个阅览室里的总的桌子数是奇数，因此东阅览室的桌子数是偶数.所以，只有西阅览室的桌子数是奇数.【答案】东阅览室的桌子数是偶数，西阅览室的桌子数是奇数【例33】四年级一班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分.请你说明：该班同学的得分总和一定是偶数.【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】因为题目中没有说明该班的人数，说明该班人数的多少与总分的奇偶性无关，所以要说明总分是偶数，只需要说明每人得分必为偶数就可以了.对于一名参赛同学来说，如果他全部答对，他的成绩

39、将是 3 50 150,是偶数；有一道题未答，则他将 丢2分，也是偶数；答错一道题，则他将丢4分，还是偶数；所以不论这位同学答的情况如何，他的成绩将是150减一个偶数，还将是偶数.所以，全班同学得分总和一定是偶数.【例34】师傅与徒弟加工同一种零件，各人把产品放在自己的梦筐里，师傅的产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在 4只梦筐中，徒弟的产品放在 2只梦筐中，每只梦筐都 标明了产品的只数：78只，94只，86只，87只，82只，80只.根据上面的条 件，你能找出哪两只筐的产品是徒弟制造的吗？【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3星【题型】解答【解析】注意到所给出的6个数只有一个为奇数， 它肯定是徒

40、弟制造的. 原因是：师傅的产 量是徒弟的2倍，一定是偶数，它是4只梦筐中产品数的和， 在题目条件下只能为 四个偶数的和.徒弟的另一筐产品可以利用求解“和倍问题”的方法来得出，求出徒弟加工零件总数为：(78 94 86 87 82 80) (2 1) 169 ,那另一筐放有产品 169 87 82 (只).所以，标 明“82只”和“ 87只”这两筐中的产品是徒弟制造的.【答案】标明“ 82只”和“ 87只”这两筐中的产品是徒弟制造的【巩固】商店一次进货6桶，重量分别为15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、 31千克。上午卖出去2桶，下午卖出去3桶，下午卖得的钱数正好是上午的2倍。剩下

41、的一桶重千克。【考点】奇偶分析法之生疝！而【难度】3 【题型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 5题，六年级，第4题【解析】 根据奇偶性质特征，可知，下午卖出去的总重量应该是一个偶数，所以必为两个奇数与一个偶数，或者三个偶数，如三桶均为偶数，发现(16+18+20) + 2=27千克。无法构成；则必为两奇一偶，经过试验可知，三桶为：16+19+31=66千克，两桶为33千克，为15+18=33千克，所以剩下的一桶重 20千克。【答案】20千克【例35】李东到商店买练习本。 每本3角，共买9本。服务员问：“你有零钱吗？”李东说： “我带的全是5角一张的“。服务员说：“真不巧，您没有 2角一

42、张的，我的零钱 全是2角一张的，这怎么办 ？"你帮李东想一想，他至少应该给服务员 张5角币。【考点】奇偶分析法之生活运用【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第2题，8分【解析】 因为买本子的价钱是 3X9=27,为奇数，服务员找回的钱是若干个2元是偶数，所以他付给服务员的钱必须为奇数，奇数奇数=偶数，则他至少要给服务员 7张5角币。【答案】7张模块五、奇偶分析法之简单操作找规律【例36】在黑板上写（2, 2, 2）三个数，把其中的一个 2抹掉后，改写成其余两数的和 减1,得（2, 2, 3）,再把两个2中的一个2抹掉后，写成其余两数的和减 1, 得（2, 4, 3

43、）,再把2抹掉后写其余两数的和减 1,得（6, 4, 3）,继续这一过 程，是否能得到（859, 263, 597） ?【考点】奇偶分析法之简单操作找规律【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】观察每个上述过程中三数奇偶性变化规律，利用“奇奇偶，奇 奇偶”可以知道，（2, 2, 2）是三个偶数，抹掉 2换成3,得（2, 2, 3）是两偶一奇.从三数 （2, 2, 3）开始，如果把这三个数中的偶数抹掉，那么就得换成偶数，仍是两偶一奇；如果抹掉奇数；那么就得换成奇数，仍是两偶一奇.由此可知，题中的换数过 程继续下去，永远也不可能得到三个奇数，所以得不到（859, 263, 597）.【巩固】有一

44、串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7。从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字，那么在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？【考点】奇偶分析法之简单操作找规律【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】不会。观察前 4个数，奇偶性排列次序为奇奇偶奇，而一个数的奇偶性仅与它的个位数字有关，所以之后的第5个数为奇数，第 6个为奇数，第7个为奇数，第8个为偶数，整体的出现规律为奇奇偶奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇奇，所以不可能有两个连续的偶数，所以1、9、8、8不会出现。【巩固】在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去， 最后得到66, 88

45、, 154.问：原来写的三个整数能否为1, 3, 5?【考点】奇偶分析法之简单操作找规律【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】此题单从具体的数来，无从下手.但抓住其操作过程中奇偶变化规律，问题就变得 很简单了.如果原来三个数为1,3, 5,为三奇数，无论怎样，操作一次后一定为二奇一偶，再往后操作，可能有以下两种情况：一是擦去一奇数，剩下一奇一偶， 其和为奇，因此换上去的仍为奇数；二是擦去一偶数，剩下两奇，其和为偶，因此，换上去的仍为偶数. 总之，无论怎样操作，总是两奇一偶，而66, 88, 154是三偶， 这就发生矛盾.所以，原来写的不可能为1, 3, 5.【例37】数列1, 1, 2,

46、3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, L的排列规律是前两个数是 1, 从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列， 在斐波那契数列前 2009个数中共有几个偶数？【考点】奇偶分析法之简单操作找规律【难度】4星【题型】解答【解析】三个一组三个一组看， 可以发现奇数，偶数交替变化的规律. 可以发现有奇奇偶奇 奇偶奇奇偶奇奇偶这样的变化规律，因为 2009 3 669L 2 ,所以前2009个数 有669个偶数.【答案】669个偶数【巩固】八十个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行的最左边的几个数是这样的：0, 1,

47、 3, 8, 21,，问最右边的一个数是奇数还是偶数？5-6-1.page # of 16【考点】奇偶分析法之简单操作找规律【难度】4星【题型】解答【解析】根据题意，利用“奇 奇偶，奇偶奇，奇偶偶，奇奇奇”，从0, 1 开始的这列数的规律是偶，奇，奇，偶，奇，奇，也就是说这列数是按一偶两 奇一偶两奇的规律排成一行的.因80 3 26 2 ,所以，题中最右边的一个数是奇数，第七十九个数是偶数.【答案】是奇数【例38】黑板上写着两个数1和2,按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b,则增写axb+a+b这个数，比如可增写 5 （因为1X2+1 + 2= 5）增写11 （因为1X 5+ 1 + 5=

48、11）, 一直写下去，问能否得到 2008,若不能，说明理由，若能则说出 最少需要写几次得到？【考点】奇偶分析法之简单操作找规律【难度】4星【题型】解答【解析】略【答案】黑板上的数起初为一奇一偶，按照规则增写出的第三个数一定是一个奇数，第四个数如果选择仍由一奇一偶写出来的，那么仍然是奇数；另一种可以选择两个奇数开 始，那么“奇X奇+奇+奇 =奇”，所以不论如何增写，新增的数一定是奇数，所以 不可能出现2008。【例39 黑板上一共写了 10040个数字，包才2006个1 , 2007个2, 2008个3, 2009个4, 2010个5.每次操作都擦去其中 4个不同的数字并写上一个第5种数字（例

49、如擦去1、2、3、4各1个，写上1个5;或者去2、3、4、5各一个，写上一个1;）. 如果经过有限次操作后，黑板上恰好剩下了两个数字，那么这两个数字的乘积 是.【考点】奇偶分析法之简单操作找规律【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，复试， 7题【解析】每次操作，每个数字个数的奇偶性都会变化.1、3、5原来都是偶数个，它们的个数奇偶性永远彳持一致；2、4原来都是奇数个，它们的个数奇偶性也永远保持一致，而且和1、3、5的个数奇偶性不同.最后剩下2个数字，只能是2和4,乘积 为8【答案】8 【例40】一个质数连乘4次再加上3是质数，求这个数连乘 5次再加上3是多少？【考点】奇偶分析法之简

50、单操作找规律【难度】4星【题型】解答【解析】由题意，一个质数连乘 4次与3的和大于3,是奇数，那么，利用“奇 奇 偶”， 可以知道这个质数连乘 4次的积是偶数，从而推得这个数是2.所以，这个数连乘5次与3的和是2 2 2 2 2 3 35 .【答案】35【例41 桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得 5个杯子的开口全都向下？【考点】奇偶分析法之简单操作找规律【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】不能，杯子要翻过来得翻奇数次，5个杯子都要翻过来，要把所有杯子都翻过来则总共需要翻动奇数次杯子， 而每次同时翻动4个，那总次数是偶数，奇数不可能等

51、于偶数，因此不能把 5个杯子的开口全都向下.【巩固】桌面上4枚硬币向上的一面都是“数字”，另一面都是“国徽”，如果每次翻转 3 枚硬币，至少 次可使向上的一面都是“国徽”。【考点】奇偶分析法之简单操作找规律【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第6题，4分【解析】 根据奇偶知道，每枚硬币要想变成国徽朝上必须反转奇数次，那么4枚硬币就需要反转4个奇数的和为偶数，经过偶数次3枚反转必能成功，尝试需要 4次【答案】4次【巩固】桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？【考点】奇偶分析法之简单操作找规律【难度】3星【题型

52、】解答【解析】略【答案】杯子要翻过来得翻奇数次，6个杯子都要翻过来，则总共需要翻动（6X奇数 ）偶数次杯子；按规定每次同时翻动 4只杯子，因为4是偶数，所以翻动有限次后，翻 动次数的总和也是偶数.因此有可能经过有限次翻动，使得全部杯子的开口全都向 下.【巩固】桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的5只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？【考点】奇偶分析法之简单操作找规律【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】杯子要翻过来得翻奇数次，6个杯子都要翻过来，则总共需要翻动（6X奇数 ）偶数次杯子；按规定每次同时翻动5只杯子，因为5是奇数，由奇数 偶数=偶数可知，要想翻动

53、总次数也是偶数， 需要将5只杯子翻动偶数次. 因此有可能经过有限 次翻动，使得全部杯子的开口全都向下.【巩固】在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯.如果每次拨动 4个不同房间 的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？【考点】奇偶分析法之简单操作找规律【难度】3星【题型】解答【解析】略【答案】按要求每次拨动 4个不同房间的开关，而 4是偶数，所以，这样的一次操作，拨动 房间开关次数是偶数.那么经过有限次拨动后，拨动各房间开关次数总和是偶数. 可 是，要使7个房间的灯由开变为关， 需要拨动各个房间开关奇数次；第8个房间的开关仍为关，需要这个房间拨动开关偶数次.这样，需要拨动开关的总次数是奇数个奇数与一个偶数的和，是奇数.所以按照要求不能把全部房间的灯关上.【例42】有一个袋子里装着许多玻璃球.这些玻璃球或者是黑色的，或者是白色的.假设 有人从袋中取球，每次取两只球.如果取出的两只球是同色的，那么，