人教A版选修2-2导数与函数的单调性、极值、最值问题课时作业

1、天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋一、选择题1. (2019 武邑中学第二次调研)函数f(x)=x22ln x的单调减区间是()A. (0 , 1B. 1 , +8)C. (s, 1U(0, 1 D. 1, 0)U(0, 1一，2 2x2-2解析：f (x) =2x-= -(x>0), x x.一 2x2-2. 一令 f (x)<0,即<0,解得 0<xW1.x答案：A2 .函数y=f(x)的导函数y=f' (x)的图象如图所示，则函数 y=f (x)的图象可能是()金戈铁骑解析：利用导数与函数的单调性进行验证.f' (x)>0的解集对应 y

2、 = f(x)的增区间，f' (x)<0的解集对应y = f(x)的减区间，验证只有 D选项符合.答案：D3 . (2019 广东六校联考)已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)x一二，则函数在X = -1处的切线万程是()A. 2x-y-1=0B. x- 2y + 2 = 0C. 2x-y+1=0D. x+ 2y-2 = 0x 解析：因为f (x)为奇函数，且当x>0时，f (x)=-一-.X 2 >X 所以当 X<0 时，f(x)=-f(-x)=-(X<0).X 22贝Uf' (x)=2,则切线斜率 k=f ( 1) = 2.(x 十

3、 2)又切点坐标为( 1, 1), 所以所求切线方程为y+1 = 2(x+1),即2xy+1=0. 答案：C1 24. (2019 深圳调研)已知f(x) = aln x + 2x2(a>。)，若对任意两f (x1)f (乂2)个不相等的正实数xs x2,都有< ： v <>2恒成立,则a的取x1 一 x2值范围为()A. (0 , 1B. (1 , +8)C. (0 , 1)D. 1 , +8) 一.f (x1)一 f (乂2) 解析：对任意两个不相等的正实数 xsx2,都有一>2x1 x2a怛成立，则当x>0时，f ' (x) A2怛成立，f&#

4、39; (x)=-+ xn 2在(0, 十 x°°)上恒成立，则 an (2 x x2) maX= 1.答案：D5. (2019 华南师大附中检测)已知函数f (x) =gx3+mx+nx+ 2, 3 2 其导函数f' (x)为偶函数，f(1) 则函数g(x)=f' (x)ex在区 3间0 , 2上的最小值为()A. 3eB. -2eC. eD. 2e解析：由题意可得f' (x)=x2 + 2m奸n,因为f(x)为偶函数，所以m= 0,1 3一故 f(x) =-x +nx+ 2,3因为 f (1) =1 + n+2= 2,所以 n=- 3. 331

5、。c所以 f (x) =x 3x + 2,贝U f(x)=x 3.3故 g( x) =ex(x2 3),贝U g' (x) = ex(x23+ 2x) =ex(x- 1)( x+3),所以g(x)在0, 1)上单调递减，在区间(1 , 2上单调递增.故 g(x)有唯一极小值 g(1) = 2e,则 g(x) min=-2e.答案：B二、填空题6. (2019 全国卷I )曲线y = 3(x2+x)ex在点(0, 0)处的切线方程为.解析：因为 y = 3(x2+x)ex,所以 y' =3(x2+3x+1)ex.令*= 0,得切线的斜率为k = y' |x= 0=3.又切

6、点坐标为(0 , 0),所以切线方程为y = 3x.答案：y=3xxe 1, x>0,7 .已知奇函数f(x)= x则函数h(x)的最大值为h (x) , x<0,解析:x, 一e当 x>0 时,f (x) = 1, xex (x 1)2x天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋所以当x6(0, 1)时，f ' (x)<0,函数f(x)单调递减;当x>1时，(x)>0,函数f(x)单调递增.所以x=1时，f(x)取到极小值e1,即f(x)的最小值为e1.又f(x)为奇函数，且x<0时，f(x) = h(x),所以h(x)的最大值为一(e 1)

7、= 1e.答案：1 e0<x< 2,8 .在平面直角坐标系内任取一个点P(x, y)满足0vyv2则点P 1, _ , 一一 一一落在曲线y=-与直线x=2, y=2围成的阴影区域(如图所示)内的概 x率为金戈铁骑y=2,1x=解析：由 1解得 2yx'y=2,所以阴影部分的面积为一1/ 1 2 dx=(2x ln2X2x) 1 = (2 x2-In2112)- 2乂2In 2 =3 2ln 2.因此所求概率为32ln 2 _3-2ln 22X2 =4答案:3 2ln 24三、解答题9. (2018 天津卷节选)设函数 f(x) =(xti) (x 12)( x 13),

8、其中tl, t2, t36R,且ti, t2, t3是公差为d的等差数列.(1)若t2=0, d=1,求曲线丫 = "*)在点(0, f(0)处的切线方程；(2)若d=3,求f(x)的极值.解：(1)由题设,f(x) =x(x- 1) - (x+ 1)=x3x,故 f' (x) = 3x2 1,因此 f (0) =0, f ' (0) = 1.曲线y = f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为yf(0) =f' (0)( x -0),即 x+y=0.故所求切线方程为x + y=0.(2)由已知得 f(x) =(x-t2 + 3)( x-t2)( x-t2-

9、3) = (x-t2)3- 9(x-t2) =x3-3t 2x2 + (3t2-9)x-t2 + 9t 2.故f' (x) = 3x2 6tzx+3t29.令 f' (x) = 0,解得 x= 12-3 或 x= 12+勺 3.当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表：x(一 00 , t 273)t2-3(t2-S，t2+V3)12 + 木(t2 + /, + 0°)f,(x)十0一0十f(x)/极大值极小值/所以函数 f(x)的极大值为 f(t2-V3) =( -v'3)3-9X( -V3)= 673;函数 f(x)的极小值为 f (1

10、2 + 3) = ( 3)3- 9X3 = - 6 3.10. (2019 全国卷H )已知函数 f(x)=(x1)ln x-x- 1.证明：(1) f(x)存在唯一的极值点；11. f (x) = 0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.证明：(1"(刈的定义域为(0, +8).f' (x)=x1- + ln x-1 = ln x-. xx1，、一因为y=ln x在(0, +s)上单调递增，y=1在(0, +s)上单调 x递减，所以f' (x)在(0, +8)上单调递增.1 ln 41又 f' (1) = 1<0, f ' (2) =ln 2

11、-2=-2 >0,故存在唯一 *。6 (1 , 2),使得 f ' (x0) =0.又当x<x。时，f' (x)<0, f(x)单调递减,当x>x。时，f' (x)>0, f(x)单调递增, 因此，f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知 f (x0)vf(1) = 2,又 f(e2) =e2 3>0.所以 f(x) = 0在(x0,+ oo)内存在唯一*根x= a .，/口 1由 a >x0>1 得一<1<x0.a又 f = -1 lna a1'-1=J=0, a aax°)的唯一根. 1

12、 I，故一是f(x)=0在(0 a综上，f(x) =0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.B级能力提升11.右函数y=f(x)存在n1(n6 N)个极值点，则称y = f(x)为 n折函数，例如f (x) = x2为2折函数.已知函数f(x) =(x+ 1)ex-x(x + 2)2,则 £«)为( )A. 2折函数B. 3折函数C. 4折函数D. 5折函数解析：f' (x)=(x+2)ex (x+2)(3 x + 2) =(x + 2)(e x 3x2).令 f' (x) = 0,得 x= 2 或 ex= 3x+ 2.易知x = 2是f (x)的一个极值点

13、.又ex = 3x + 2,结合函数图象，丫=$"与丫=3* + 2有两个交点，又 e 2?3(2)+2= 4.所以函数y = f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数.答案：C12. (2019 长郡中学调研)已知函数f(x) =xaln x-1.若函数f(x)的极小值为0,求a的值；(2) ?1>0且201,求证：f(et)>at2.(1)解：因为 f(x)=x aln x1, x6(0, 十°°),所以 f' (x)=U, x当aw 0时，f' (x)>0,函数f(x)在定义域上递增，不满足条件；当a>0时，函数f(

14、x)在(0, a)上递减，在(a, +-)上递增，故f(x)在x = a取得极小值0,所以 f(a) = a aln a1=0,令 p(a)=aaln a1, p' (a)= ln a,所以p(a)在(0, 1)单调递增，在(1 , +s)单调递减，故 p( a) <p(1) = 0,所以 f( a) =0 的解为 a= 1,故 a= 1. 证明：法1：由fe»泉2? et at 1>柒2? e一 1岩2 + at ,因为aw1,所以只需证当t>0时，et1>2t2+t恒成立.令 g(t)=e'一1t2t 1, g' (t)=et t 1, 由(1)可知 xIn x- 1 >0,令 *=得 b t 1A0, 所以 g(t)在(0, +s)上递增，故 g(t)>g(0)=0, 因此f (eAat2成立.法 2： ")>” et-at