力学作业解答

1、第3章动量定理及其守恒定律习题解答第三章基本知识小结L牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。2dvdr大里式：F=ma=m-=m7dtdt2Fx=max,Fy=may,Fz=maz（直角坐标）2=m弧坐标）P分量式：dvF=ma=m-jp,Fn=man2 .动量定理适用于惯性系、质点、质点系。导数形式：F=曲dt微分形式：Fdt=dp积分形式：I（=Fdt）=；：p（注意分量式的运用）3 .动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即若ZF外=0,则p=，lB矢量。（注意分量式的运用）4 .在非惯性系中，考虑

2、相应的惯性力，也可应用以上规律解题。一一一.I-在直线加速参考系中：f=-ma0*2*在转动参考系中：fc=mr,fk=2mv'5.质心和质心运动定理mrc='mirimvc='mivimac八miai、F=macc（注意分量式的运用）第3章动量定理及其守恒定律习题解答3.4.1 质量为2kg的质点的运动学方程为F=(6t21)?十(3t2+3t+1)?(单位：米，秒)，求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。解：=a=d2r7dt2=12?+6?,F=m£=24?+12?为一与时间无关的恒矢量，质点受恒力而运动。F=(242+122)1/2=12J5N,力与

3、x轴之间夹角为：二=arctgFy/Fx=arctg0.5=2634'3.4.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：r=acosoti?+bsin。t?,a,b,co为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。证明：:ad2r/dt2-2(acos-t?bsin-t?)-2r2-F=ma=m。r，作用于质点的合力总指向原点。m1m23.4.4题图3.4.4桌面上叠放着两块木板，质量各为m1,m2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为科2,m1和m2间的摩擦系数为科1,问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。解：以地为参考系，隔离mrm2,其受力与运动情况如图所示

4、，a1Nif1mg其中，N'=N1,f1'=f1=3112=2N2,选图本坐标系o-xy,对m1,m2分别应用牛顿二定律，有LNlrt1alN1-m1g=0F-11N1-'2N2=m2a2N2-N1-m2g=0解方程组，得a=1ga2=F-1m1g-2m1g-2m2g/m2要把木板从下面抽出来，必须满足a2>a1,即F-Em1g-Xm1g-勺2m2gm2J1gF、灶12m1m2g第3章动量定理及其守恒定律习题解答3.4.6 在图示的装置中两物体的质量各为mi,m2,物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为W，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量

5、及轴承摩擦，绳不可伸长。解：以地为参考系，隔离mi,m2,受力及运动情况如图不，其中：fi=Ni=mig,f2=N2=(Ni+m2g)=科(mi+m2)g.在水平方向对两个质点应用牛二定律：TRm1g=m1aF_Nm1g_N(m1+m2)gT=m2a(2+可求得：a=F-2-m1g_Rgmm2将a代入中，可求得：TJ，-2"m1g)m1m23.4.7 在图示的装置中，物体A,B,C的质量各为mi,m&m3,且两两不相等.若物体A,B与桌面间的摩擦系数为科，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。解：以地为参考系，隔离A,B,C,受力及运动情

6、况如图示，其中：fi=Ni=mig,f2=N2=m2g,T'=2T,由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以(ai+a2)/2=a3.对A,B,C分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：T_Nm1g=m1a1T-Nm2g=m2a2m3g-2T=m3(a1+a2)/2，联立，可求得：N1N22m2m3(1),a1二一g1Kmim2)m34mlm22m1m3(1+R)Ia2=|g_(m1+m2)m3+4mlm2f1'*Tm1ga1*a3m3gT'-f2m2gH-a2a3二(m1m2)m3(1)(m1m2)m34mlm2第3章动量定理及其守恒定律习题解答*3.4.9跳伞运动

7、员初张伞时的速度为v。，阻力大小与速度平方成正比:伞总质量为R1求v=v(t)的函数。提示：积分时可利用式11+41v)2(1_v)52解，mg-avdvm,dtdv2mg-avdtmdvdt127T=二mg1-av/me)m设心急=槁=常量,上式写成事=gdt,dvdv以gdt2(1+Pv)2(1Pv)d(1-v)d(1-v)2P(1+Pv)2P(1-Pv)gdt,积分ln()=2Pgt十C,代入,ln(1-v1-v=2-gtln(：v。1-7。1,v(e2加(e2-gt3.5.14 北京设有供实验用的高速列车环形铁路，回转半径为9km,将要建设的京沪列车时速250km/h,若在环路上作此项

8、列车实验且欲使铁轨不受侧压力，外轨应比内轨高多少？设轨距1.435m.解：以地为参考系，把车厢视为质点，受力及运动情况如图示：车厢速度v=250km/h=69.4m/s,力口速度a=v2/R；设轨矩为1,外轨比内轨高h,有c0sM=Jl2h2/l,sin"=h/l选图示坐标o-xy,对车箱应用牛顿第二定律：Ncosa=Ndl2h2/l=mg，Nsina=Nh/l=mv2/R/得：Jl2-h2/h=gR/v2,两边平方并整理，可求得h：h=v2l/.,v4g2R2=69.421.435/69.449.8290002=0.0782m=7.8cm第3章动量定理及其守恒定律习题解答3.5.1

9、5 汽车质量为1.2X10kN,在半径为100m的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15°,沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为s=0.5t3+20t(m),自t=5s开始匀速运动，问公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧？解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示：v=ds/dt=1.5t2+20,v|t=5=1.5X52+20=57.5m/s,an=v2/R=57.52/100=33设摩擦力f方向指向外侧，取图示坐标o-xy,应用牛顿第二定律：Ncos，二fsin：=mgNcosct=mg-fsinaNsin二一fcos二二manN

10、sina=man+fcosam(gtg：-an)T二cose:sin二tg二/得：tg：=(manfcos：)/(mgfsin：)mgtg：-fsin.：tg：=manfcos。：,"gtg«-an=9.8tg15'33=30.43<0,二f<0,说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，指向内侧。3.5.16 圆柱A重500N,半径RA=0.30m,圆柱B重1000N,半彳仝RB=0.50m,都放置在宽度L=1.20m的槽内，各接触点都是光滑的，求A、B间的压力及A、B柱与槽壁和槽底间的压力。CB=L-Ra-Rb=0.4解：隔离A、B,其受力情况如图所示，

11、选图示坐标，运用质点平衡方程，有Nabsin二NB=0(1)Na一Nabsin=0(3)4B<AAB通过对ABC的分析,Nb'-m3g-Nabcos:=0(2)Nabcos:-/g=0(4)可知，sin”=0.4/0.8=0.5a=30o,cosa=j3/2,分别代入(1)、(2)、(3)、(4)中，即可求得：NB=288.5N,Nb'=1500N,Na=288.5N,Nab=577N.第3章动量定理及其守恒定律习题解答3.5.2升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为mi,m2且miwma若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a（方向向

12、下）运动时，两物体的加速度各是多少？绳内的张力是多少？解：以升降机为参考系，隔离mi,m2,受力及运动情况如图示，T为绳中张力，fi=mia,f2=m2a,ai'=a2'=a'为mm2相对升降机的加速度.以向下为正方向，由牛顿二定律，有:mig-T-mia=mia解得:m2g-T-m2a=m2a'设mm2的加速度分别为a_(mm2)a+(m2m1)g4m1+m2T=2m1m2(g-a)/(m1+m2)aa2,根据相对运动的加速度公式,ai=aj七a2=a2'4a写成标量式：a1=-a'+a,a2=a'+a,将a'代入，求得:2m2

13、a-(m2-m1)gai=mi+m22mia(m2m1)ga2:；mim2)第3章动量定理及其守恒定律习题解答3.6.1就下面两种受力情况：F=2ti?+2j?(N,s),yF=2ti?+(1t)(N,s)分别求出t=0,1/4,1/2,3/4,1时的力并用图表示；再求t=0至t=1时间内的冲量,也用图表不。解：F=2ti?+2?代入t值得：F(0)=2j?FG)=#2jF(1)=i?2?F(3)=芥2j,F(1)=2i?2?111I=Fdt=2i?tdt2?dt=i?2?000I=V12+22=5Ns，与x轴夹角a=arctgly/Ix=arctg2=63.5F=2t?+(1t)?,代入t值

14、得：F(0)=?F(14)=2?+：?,f-(2)=?+2?F(3)=歼1?F(1)=2i?1111I=Fdt=2i?tdt?dt-?tdt=?2j0000I=收+0.52=V5/2Ns，与x轴夹角a=arctgly/Ix=arctg0.5=26.53.6.2质量为m的质点在o-xy平面上运动，其位置矢量为：r=acost?bsint?,求质点的动量。解：质点速度：v=dr/dt-asint?bcost?质点动量：p=mv=-masint?mbcost?/222.222pxpy二m.asintbcos't方向：与x轴夹角为0,tg0=py/px=-ctgwtb/a第3章动量定理及其守恒

15、定律习题解答3.6.5质量为M的滑块与水平台面间的静摩擦系数为科0,质量为m的滑块与M均处于静止，绳不可伸长，绳与滑轮质量可不计，不计滑轮轴摩擦。问将m托起多高，松手后可利用绳对M冲力的平均力拖动M?设当m下落h后经过极短的时间At后与绳的.直用分相对静止。解：以地为参考系，选图示坐标，M劭先以m为研究对象，它被托起h,再落牛回原来位置时，速度大小为v=J2ghx七I在At极短时间内与绳相互作用，速度又变为零，设作用在m上的平均冲力为F,相对冲力，重力作用可忽略，则由质点动量定理有:F&=0-（-mv）=mv=m,12gh,F=m2gh/&再以M为研究对象，由于绳、轮质量不计，

16、轴处摩擦不计，绳不可伸长，所以M受到的冲力大小也是F,M受到的最大静摩擦力为fmax=oMg,因此，能利用绳对M的平均冲力托动M的条件是：F>fmax,即m%'砺/为之&Mg，h之No2M2gt)2g/2m23.7.1质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s,问缆绳作用与驳船的平均力有多大？(分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解)mim2解：(1)用质点系动量定理解：以岸为参考系，把车、船当作质点系，该系在水平方向只受缆绳的拉力F的作用，应用质点系动量定理，有FAt=miv.F=miv/At=1500X5/5=1500N(2)用质心运

17、动定理解：F=(m1+m2)ac,据质心定义式，有：(m1+m2)ac=m1a1+m2a2,a1为车对岸的加速度，a1=(v-0)/At=v/At,a2为船对地的加速度，据题意a2=0,，ac=a1m1/(m1+m2),代入a1,ac=m1v/(m1+m2)At,.F=miv/At=1500N(3)用牛顿定律解：a2=0a1"分别分析车、船两个质点的Fff-Im2mi受力与运动情况：其中f为静摩擦力，a1=v/At,对两个质点分别应用牛顿二定律：f=m1al=m1V/t-1500NF-f=0F=f-1500N第3章动量定理及其守恒定律习题解答3.7.570kg重的人和210kg重的小

18、船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了3.2m停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。解：以地为参考系，选图示坐标o-x,设人的质量为mi=70kg,人相对地的速度为vi,相对船的速度为vi,它们的万向显然与x轴同向；设船的质量为m2=210kg,船相对地的速度为V2,qmi(方向显然与X轴相反)；据相对运动的速度变换公式，人对地的速度V1=v1'+v2.x-*4s由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有：工这m2mw1+m2v2=0,即m1(v/+v2)+m2v2=0,可求得v2=-v1'm”(m1+m2),将上式两边同时乘上相互作用时间At,v2At=S2为船相对地的位移，v/At=S1'=3.2m,S2=-S1'm”(m1+m2)=-3.2X70/(70+210)=-0.8m3.7.7载