第十三章 积分变换法求解定解问题

1、1 在复变函数理论中，我们曾用拉普拉斯变换法求在复变函数理论中，我们曾用拉普拉斯变换法求解常微分方程经过变换，常微分方程变成了代数方解常微分方程经过变换，常微分方程变成了代数方程，解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分程，解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程的解方程的解 积分变换法积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法有效的求解方法2 对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使

2、问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解微分方程的解 积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途分方程等）中亦具有广泛的用途尤其当泛定方程及边界尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时，条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程

3、序进行易于求解利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，行易于求解利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变量法不能得到的而这往往是用分离变量法不能得到的3 特别是特别是对于无界或半无界的定界问题对于无界或半无界的定界问题，用，用积分变换来求解，最合适不过了（注明：无界或积分变换来求解，最合适不过了（注明：无界或半无界的定界问题也可以用行波法求解）半无界的定界问题也可以用行波法求解）用积分变换求解定解问题的步骤为：用积分变换求解定解问题的步骤为：第一第一：根据自变量的：根据自变量的变化范围和定解条件变化范围和定解条件确定选确定选择适当的择适当的积分变换积分变换；对于自变量在对于自

4、变量在 (,) 内变化的定解问题内变化的定解问题（如无界域的坐标变量）常采用（如无界域的坐标变量）常采用傅氏变换傅氏变换，4(0,)第二第二：对方程取积分变换，将一个：对方程取积分变换，将一个含两个自变量含两个自变量的偏的偏 微分方程化为微分方程化为一个含参量一个含参量的常微分方程；的常微分方程；第三第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定 解条件；解条件；第四第四：求解：求解常微分方程的解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；，即为原定解问题的变换；第五第五：对所得解取：对所得解取逆变换逆变换，最后得，最后得原定解问题的解原定解问题的解 自

5、变量在自变量在 内变化的定解问题（如时间变量）内变化的定解问题（如时间变量）常采用常采用拉氏变换拉氏变换 5 用用分离变量法求解有限空间的定解问题分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得时，所得到的到的本征值谱本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的值求和的傅里叶级数傅里叶级数 对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对对连续本征值求积分的傅里叶积分连续本征值求积分的傅里叶积分 因此，对于因此，对于无限空间的定解无限空间

6、的定解问题，傅里叶变换是问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法一种很适用的求解方法6下面的讨论我们假设待求解的函数下面的讨论我们假设待求解的函数u及其一阶导数是有限的及其一阶导数是有限的 . . 13.1.1 13.1.1 弦振动问题弦振动问题例例13.1.1 13.1.1 求解无限长弦的自由振动定解问题求解无限长弦的自由振动定解问题（假定假定：函数：函数u及其及其一阶导数是有限一阶导数是有限的，以后不再特别的，以后不再特别指出这一定解问题在行波法中已经介绍指出这一定解问题在行波法中已经介绍. . 2000,()|( ) |( )ttxxtttua uxuxux 7【解解】 应用傅里叶变换，即

7、用应用傅里叶变换，即用 i xe遍乘定解问题中的各式，遍乘定解问题中的各式，并对并对空间变量空间变量x x积分积分（这里把时间变量看成参数），按照傅（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对傅氏变换对： ii( , )( , )d1( , )( , )d2xxUtu x t exu x tUt e简化表示为简化表示为 ( , )( , )u x tUtF8对其它函数也作傅氏变换，即为对其它函数也作傅氏变换，即为( )( ) ( )( )xxFF于是原定解问题变换为下列于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题常微分方程的定解问题2

8、22200( , )0( , )|( , )(|)tttUaUttUtUt上述常微分方程的通解为上述常微分方程的通解为ii( , )( )( )atatUtAeBe9代入代入初始条件初始条件可以定出可以定出11 1( )( )( )22 i11 1( )( )( )22 iAaBa这样这样iiii111( , )( )( )( )22i21 ( )2i( ) ( )cos()sin()atatatatUteeeaeaatata 10最后，上式乘以最后，上式乘以 12 并作并作逆傅氏变换逆傅氏变换应用应用延迟定延迟定理和积分定理得到理和积分定理得到11( , ) ()()( )d22x atx

9、atu x tx atx ata 这正是前面学过的的达朗贝尔公式这正是前面学过的的达朗贝尔公式. .11 为了说明为了说明傅氏变换法解非齐次方程傅氏变换法解非齐次方程特别简便，特别简便， 我们特举一我们特举一强迫弦振动强迫弦振动问题：问题：求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题200( , ), ()|( ) |( )ttxxtttua uf x txuxux 【解解】根据与例根据与例13.1.1 13.1.1 相同的方法，相同的方法，作傅氏变换作傅氏变换例例13.1.212 ( , )( , ), ( , )( , ), ( )( ), ( )( )u x

10、tUtf x tFtxx FFFF我们容易得到原定解问题可变换为下列我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方常微分方程的问题程的问题222200( , )( , )( , )|( ),( , )|( ),tttUaUtFttUtUt 13上述问题的解为上述问题的解为 01( )( , )( , )sin() d( )cos()sin()tUtFa tata taa利用利用傅氏变换的性质傅氏变换的性质有有01 1 ( , )( , )1( , )( , )dixxFtf x tFf FF故得到故得到0()1i()1( , )( , )dix a ta txeFtf F14i()i()1sin(

11、)2ia ta ta tee代入得到代入得到00()()01( , )( , )d( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a txxx atx atu x tffax atx ata 即得即得()0()1( , )( , )d d211 ()()( )d22tx a tx a tx atx atu x tfaxatx ata 1513.1.2 13.1.2 热传导问题热传导问题例例13.1.3 13.1.3 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题求解无限长细杆的热传导（无热源）问题200, (,0)|( ) txxtua uxtux 【解解】 作傅氏变换作傅氏变换， ( ,

12、)( , )u x tUtF ( )( )x F定解问题变换为定解问题变换为22( , )0( ,0)( )Ua UtU 16常微分方程的初值问题的解是常微分方程的初值问题的解是 22( , )( )a tUte 再进行逆傅里叶变换，再进行逆傅里叶变换，2 22 21iii1( , ) ( , )( )d21 ( )d d2a txa txu x tUteeeee F交换积分次序交换积分次序22i()1( , )( )d d2a txu x tee 17引用积分公式引用积分公式22224d()aeee且令且令 ,i()a tx以便利用积分公式，即以便利用积分公式，即得到得到22()41( ,

13、)( )d2xa tu x teat 18例例13.1.4 13.1.4 求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux 【解解】 利用利用 ( , )( , ), ( , )( , ), ( )( )u xtUtf xtFtxFFF对定解问题作对定解问题作傅氏变换傅氏变换，得到常微分方程的定解问题，得到常微分方程的定解问题 1922( , )( , )( ,0)( ) Ua UtFtU 上述问题的解为上述问题的解为2222()0( , )( )( , )dtatatUteFe 为了求出上式的逆

14、变换，利用下面为了求出上式的逆变换，利用下面傅氏变换的卷积公式傅氏变换的卷积公式，即，即 若若 11 ( )( ), ( )( ),Gg xFf xFF则则 1 ( ) ( )() ( )dFGf xgF20而积分而积分 222i211dexp242atxxea tat即为即为 222121exp42atxea tatF最后得到定解问题的解为最后得到定解问题的解为2222()()t4()4011( , )( , )( )ddd22xxa ta tfu xteeatat 2113.1.3 13.1.3 稳定场问题稳定场问题 我们先给出求半平面内我们先给出求半平面内 (0)y 拉普拉斯方程的第一拉

15、普拉斯方程的第一边值问题的傅氏变换边值问题的傅氏变换 系统解法系统解法例例 13.1.5 13.1.5 定解问题定解问题x0 (,0)( ,0)( ) lim ( , )0 xxyyuuxyu xf xu x y 22 【解解】 对于变量对于变量 x作作傅氏变换傅氏变换，有，有1 ( , )( , ), ( )( )u x yUyf xFFF定解问题变换为常微分方程定解问题变换为常微分方程 222( , ) 0,( ,0)( )lim ( , ) 0UUyyUFUy23因为因为 可取正、负值，所以可取正、负值，所以常微分定解问题的通解常微分定解问题的通解为为 | | |( , )( )( )y

16、yU x yCeDe因为因为 lim( , )0Uy，故得到，故得到( )0, ( )( )CDF常微分方程的解为常微分方程的解为| |( , )( )yUyFe设设 | |( , )yGye24根据傅氏变换定义，根据傅氏变换定义， | |ye的的傅氏逆变换傅氏逆变换为为0| |iii02211ddd 22111 2ii()yxyxyxeeeeyy x y xxy再利用再利用卷积公式卷积公式 1( )( )( ) ()dFGfg xF最后得到最后得到原定解问题的解原定解问题的解为为22( )( , )d()yfu x yxy2513.2 13.2 拉普拉斯变换解数学物理定解问题拉普拉斯变换解数

17、学物理定解问题 由于要作由于要作傅氏变换的函数傅氏变换的函数必须定义在必须定义在 上，故当我们讨论上，故当我们讨论半无界问题半无界问题时，就不能对变时，就不能对变量量x作傅氏变换了作傅氏变换了 ),( 因此本节介绍另一种变换法：因此本节介绍另一种变换法：拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法求解定解问题求解定解问题 2613.2.1 13.2.1 无界区域的问题无界区域的问题例例15.2.1 15.2.1 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题求解无限长细杆的热传导（无热源）问题20( , ), (,0)|( ) txxtua uf x txtux (13.2.1)【解解】 先对时间先对时间t作作拉氏变换拉氏变换 ( , )( , ), ( , )( , )u x tU x pf x tF x pLL ( , )( , )( ,0) tu xtpU x pu xL27由此由此原定解问题中的泛定方程原定解问题中的泛定方程变为变为 22222d11( )( , )0 dUpU