工程力学—力系的平衡条件和平衡方程

1、第三第三 章章力系的平衡条力系的平衡条件和平衡方程件和平衡方程第第3章章 第第3章章 在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。0i F1 平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。用矢量式表示为：例例1 已知压路机碾子重已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的障碍物。求：在中心作用的水平力的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。的大小和碾子对障碍物的压力。选碾子

2、为研究对象选碾子为研究对象取分离体画受力图取分离体画受力图解： 当碾子刚离地面时当碾子刚离地面时NA=0,拉力拉力F最大最大,这时拉力这时拉力F和自和自重及支反力重及支反力NB构成一平衡力系。构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边由平衡的几何条件，力多边形封闭，故形封闭，故由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN23.1kN。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。F=11.5kN , NB=23.1kN所以所以577. 0)(tg22hrhrr又由几何关系又由几何关系：tgPFcosPNB

3、1 平面汇交力系的平衡方程22R()()0 xiyiFFF 0 xiF0yiF平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。0X0Y045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP例2 已知已知 P=2kN 求求SCD , RA解解: : 1. 取取ABAB杆为研究对象杆为研究对象2. 2. 画画ABAB的受力图的受力图3. 3. 列平衡方程列平衡方程由由EB=BC=0.4mEB=BC=0.4m，312.14.0tgABEB解得：解得：kN 24. 4tg45cos45sin00PSCDkN 16. 3co

4、s45cos0CDASR；4. 4. 解方程解方程2 平面力偶系的平衡条件所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零，即10niiM思考：从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？ PORM例例3 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶每个钻头的力偶矩为矩为 ,求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02 . 04321mmm

5、mNBN3002 . 060BNN 300BANN解解: 各力偶的合力偶矩为各力偶的合力偶矩为根据平面力偶系平衡方程有根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，由力偶只能与力偶平衡的性质，力力NA与力与力NB组成一力偶。组成一力偶。例例4 图示结构，已知图示结构，已知M=800N.m，求，求A、C两点的约束反力。两点的约束反力。).(255. 0mNRdRMCCAC 0iM0 MMACNRC313700ROM F22()()()RxyOOiFFFMM F3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程3.1 平衡条件平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即22

6、()() ,()RxyOOiFFFMM F3.4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程3. 2 平衡方程即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。 00()0 xiyiOiFFMF由于所以解：以刚架为研究对象，受力如图。0:0 xAxFFqb0:0yAyFFP()0:AMF0212qbPaMA解之得：AxFqbAyFP221qbPaMA例1例1 求图示刚架的约束反力。APabqAPqFAyFAxMA例2例2 求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。0:cos0

7、xAxFFP0:sin0yAyBFFFP()0:sin()0ABMF aPabmF解之得：cosAxFP sin ()BmPabFasinAymPbFa ABCPabmABCPmFBFAyFAxQWQWQWT22sin302sin22FFFFllFlFFB(1) 二矩式0()0()0 xABFMMFF其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。3.3 平衡方程的其它形式FRBxA(2) 三矩式()0()0()0ABCMMMFFF其中A、B、C三点不

8、能在同一条直线上。注意：以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。 由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过A、B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，则力系必平衡。例3例4 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l2.5 m，重量P1.2 kN，拉杆CB的倾角30，质量不计，载荷Q7.5 kN。求图示位置a2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。例3解：取横梁AB为研究对象。ABEHPQFTFAyFAxa0 xFsin0(2)AyTFPFQ()0AMFcos0(1)AxTFF0yFsin0(3)2TllPFQa 从(

9、3)式解出1()13.2 kNsin2TlFPQal代入(1)式解出cos11.43kNAxTFF代入(2)式解出sin2.1kNAyTFQPF例3CABEHPQFTFAyFAxasin0(2)AyTFPFQcos0(1)AxTFFsin0(3)2TllPFQa ()0BMF如果取B矩心列平衡方程得()0 (4)2AylPQlFla ()0CMFtan0(5)2AxFllPQa 有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,4,5; 1,3,4；2,4,5 ；2,3,5; 3,4,5再取C为矩心列平衡方程得 力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。Oxy 平面平行力系作

10、为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则Fx0自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：0;()0yOFM F平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：()0;()0ABMM FF其中AB连线不能与各力的作用线平行。3.5 平面平行力系的平衡方程F2F1F3Fn例5 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ 当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？0)(FmB(6 2)2(12 2)(2 2)0APQWN 0ANkN 75Q限制条件：限制条件：解：解： 首

11、先考虑满载时，起重机不向右首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的翻倒的Q：空载时，空载时，W=0由0)(FmA0) 22(2) 26(BNPQ限制条件为：限制条件为：0BN解得解得kN 350Q因此保证空、满载均不倒，因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：应满足如下关系：kN 350kN 75Q解得解得: :04) 212(2) 26 (BNWPQ0)(FmA0yiF 0BANNWPQ210 kN870 kNABNN求当求当Q=180kN，满载，满载W=200kN时，时，NA ,NB为多少为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：解得： 由若干个物体通过约束所

12、组成的系统称为物体系统，简称物系。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。 在静力学中求解物体系统的平衡问题时，若未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为静不定问题或超静定问题。而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为静不定次数。 静不定问题在强度力学

13、静不定问题在强度力学（材力材力, ,结力结力, ,弹力）中用位移弹力）中用位移谐调条件来求解谐调条件来求解。静定（未知数三个）静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）静不定（未知数四个）PPPPFPF判断各图的超静定次数判断各图的超静定次数例5例5 求图示三铰刚架的支座反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxBxFFFF0:0yAyByFFFqa()0:3202AByMFaFaqaaF可解得：3124ByFFqaCBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy1142AyFqaF例5再以AC为研究对象，受力如图。()0:0CAxAyMF aF aF解得：1142AxAyFFqa

14、F1124BxFFqa FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF例6例6求图示多跨静定梁的支座反力。解：先以CD为研究对象，受力如图。3()0:3302CDMFqF32DFq再以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxFF0:40yAyBDFFFFFq()0:842460ADBMFFFqF132BFFq1122AyFFqCBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD例7例7 求图示结构固定端的约束反力。解：先以BC为研究对象，受力如图。0:0CMF bMCBMFFb再以AB部分为研究对象，受力如图。0:0 xAxBFFFF0:0yAyFFqa( )0AMF

15、21()02ABMF abqaF a 求得BBFF ,AxAyAMFFFqa MbCBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx摩擦的类别：干摩擦固体对固体的摩擦。流体摩擦流体相邻层之间由于流速的不同而引起的切向力。滑动摩擦由于物体间相对滑动或有相对滑动趋势引起的摩擦。滚动摩擦由于物体间相对滚动或有相对滚动趋势引起的摩擦。 当两个相互接触的物体具有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此间产生的阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，称为滑动摩擦力。摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力和

16、动滑动摩擦力。若仅有滑动趋势而没有滑动时产生的摩擦力称为静滑动摩擦力；若存在相对滑动时产生的摩擦力称为动滑动摩擦力。在粗糙的水平面上放置一重为P的物体，该物体在重力P和法向反力FN的作用下处于静止状态。今在该物体上作用一大小可变化的水平拉力F，当拉力F由零值逐渐增加但不很大时，物体仍保持静止。可见支承面对物体除法向约束反力FN外，还有一个阻碍物体沿水平面向右滑动的切向力，此力即静滑动摩擦力，简称静摩擦力，常以FS表示，方向向左，如图。FNPFNPFSF静摩擦力的大小随水平力F的增大而增大，这是静摩擦力和一般约束反力共同的性质。静摩擦力又与一般约束反力不同，它并不随力F的增大而无限度地增大。当力

17、F的大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态。这时，只要力F再增大一点，物块即开始滑动。当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F再继续增大，但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。这就是静摩擦力的特点；5.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力FNPFSF0:0 xSSFFFFFmax0sFF综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，但介于零与最大值之间，即 由实验证明：最大静滑动摩擦力的大小与两物体间的法向反力的大小成正比，即：maxsNFf F这就是静滑动摩擦定律。式中fs称为静滑

18、动摩擦系数。5.2静摩擦定律（库仑摩擦定律）静摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关，而与接触面积的大小无关。5.3 考虑摩擦的平衡问题考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大致相同，但有如下的几个特点：(1)分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的数目；(2)为确定这些新增加的未知量，还需列出补充方程，即Fs fsFN，补充方程的数目与摩擦力的数目相同；(3)由于物体平衡时摩擦力有一定的范围(即0FsfsFN)，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的值。工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状

19、态，这时静摩擦力等于其最大值，补充方程只取等号。有时为了计算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。 解解:1)物块在自重作用下即将下滑，受力图为：物块在自重作用下即将下滑，受力图为： 建立如图坐标系，列平衡方程有建立如图坐标系，列平衡方程有 xyFN0 xF0sin1pF0yF0cos1pNNfF 解得解得ffarctantan11或 这个角度这个角度 称为静摩擦角称为静摩擦角11例例1 将重为将重为P的物块放在斜面上，斜面倾角的物块放在斜面上，斜面倾角 ，已知静，已知静摩擦系数为摩擦系数为 f ,问问1)斜面的倾角斜面的倾角 增到多少时物块将下滑？增到多少时物块将

20、下滑？2)当当 时若加一水平力时若加一水平力 使物块平衡，求力使物块平衡，求力 的范围。的范围。QQ1 PQ2)物块上加一水平力如图物块上加一水平力如图 以物块为研究对象，当物块处于向下滑动的临界平以物块为研究对象，当物块处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图坐标。衡状态时，受力如图，建立如图坐标。minQP1Nmax1Fxy0sincos:0max1minPFQX0cossin:01minPNQY1max1fNF联立求解得：联立求解得：PffQsincoscossinminPxymaxQmax2F2N 当物块处于向上滑动的临界平衡状态时，受力如图，当物块处于向上滑动的临界平衡状态时

21、，受力如图，建立如图坐标。建立如图坐标。0sincos:0max2maxPFQX0cossin:02maxPNQY2max2fNF联立求解得：联立求解得：PffQsincoscossinmax故力故力 应满足的条件为：应满足的条件为：QPffQPffsincoscossinsincoscossin 0sincos201N1，lFlWMBAF00NWFFAy00NBAxFFF 0sincos201N1，lFlWMBAF00NWFFAy00NBAxFFF11N2sincosWFBWNFFA1Ncot2WFFBA 0sincos20N，lFlWMBAF00NWFFAy00NBAxFFFAAFfFNs

22、N0cossin02FABlMWFl ，00NWFFAy00NBAxFFFAAFfFNss2arccotfs2arccotfWyW xWWyW x坡度很小时，刚性块不滑动WyW x坡度增加到一定数值以后，刚性块滑动WyW x坡度增加到一定数值时，刚性块处于临界状态 对于力系中所有力的作用线都相交于一点的汇交于O点，上述平衡方程中三个力矩方程自然满足，因此，平衡方程为 所有力的作用线相互平行（例如都平行于坐标系中的轴）的力系，称为。对于空间平行力系，6个平衡方程中，有2个力的平衡方程和1个力矩方程自然满足，例如000 xyzMFFF于是, 空间平行力系的平衡方程为：CBAllFPFAFBCBAllFPFAFB0X0Y045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP例2 已知已知 P=2kN 求求SCD , RA解解: : 1. 取取ABAB杆为研究对象杆为研究对象2. 2. 画画ABAB的受力图的受力图3. 3. 列平衡方程列平衡方程由由EB=BC=0.4mEB=BC=0.4m，312.14.0tgABEB解得：解得：kN 24. 4tg45cos45sin00PSCDkN 16. 3cos45cos0C