第2章第8节函数与方程(1)

1、20092013年高考真题备选题库第2章函数、导数及其应用1. (2013安徽，5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点Xi,X2若f(xi)=xiX2,则关于x的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数为()A.3B.4C.5D.6解析：本题主要考查函数与导数以及函数与方程的基础知识，意在考查考生的数形结合思想、推理论证能力以及创新意识.因为函数f(x)=x3+ax2+bx2+c有两个极值点X1,x2,可知关于导函数的方程f(x)=3x+2ax+b=0有两个不等的实根X1,X2.则方程3(f(x)2+2af(x)+b=0有两个不等的实根，即f(x)=X1或f(

2、x)=X2,原方程根的个数就是这两个方程f(x)=X1和f(X)=X2的不等实根的个数之和.由上述可知函数f(x)在区间(8,X1),(X2,+8)上是单调递增的，在区间(X1,X2)上是单调递减的，又f(X1)=X1X2，如图所示，由数形结合可知，f(X)=X1时，有两个不同实根，f(X)=X2时有一个实根，所以不同实根的个数为3.答案：A2. (2013湖南，5分)函数f(x)=Inx的图像与函数g(x)=x24x+4的图像的交点个数为()A.0B.1C.2D.3解析：本题主要考查对数函数、二次函数的图像与方程根的个数，意在考查考生对初等22函数的了解及数形结合能力.结合对数函数f(x)=

3、lnx与二次函数g(x)=x4x+4=(x2)可得函数图像有两个交点.答案：C3. (2013天津，5分)函数f(x)=2|log0.5X|1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解析：本题考查函数零点，意在考查考生的数形结合能力.函数f(x)=2X|log0.5X|1的1零点个数即为函数y=|log0.5X与y=歹图象的交点个数.在同一直角坐标系中作出函数y=C.5D.8|logo.5x|与y=2x的图象，易知有2个交点.答案：B4. (2013湖南，5分)函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x24x+5的图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.0解析：本小题主要考查二次函数和对

4、数函数的图象及性质，考查对数值的取值范围的探2究及数形结合思想.由已知g(x)=(x2)+1,所以其顶点为(2,1)，又f(2)=2ln2(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)=2lnx图象的下方，故函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x4x+5的图象有2个交点.答案：B5. (2013重庆，5分)若ab0,f(b)0,故函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.答案：A6. (2012北京，5分)函数f(x)=xx的零点个数为()A.0B.1C.2D.3解析：因为y=号在x0，+)上单调递增，y=在xR上单调递减，所以f(x)11x111x=x2(2)在x0，

5、+a)上单调递增，又f(0)=10，所以f(x)=x2(2)在定义域内有唯一零点.答案：B7. (2012湖南，5分)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2n的偶函数，f(x)是f(x)的导函数.当x0,n时，0f(x)0.则函数y=f(x)sinx在2n2n上的零点个数为()解析：依题意，当x0,n时，0f(x)1,由f(x)是偶函数得，当x-n0时，0f(x)1,即xnn时，0f(x)1，由f(x)的周期为2n知，0f(x)1恒成立.当xn2n时，一Ksinx0，由0f(x)0得，f(x)0得，f(x)0,f(x)是增函数，而y=sinx是减函数，由图象知，y=f(x)与y=sinx有

6、一个交点，即函数y=f(x)sinx有1个零点.故函数y=f(x)sinx在0,2上有2个零点.由周期性得，函数y=f(x)sinx在2n0)上有2个零点，即函数y=f(x)sinx在2n2n上有4个零点.答案：B8. (2012湖北，5分)函数f(x)=xcos2x在区间0,2上的零点的个数为()A.2B.3C.4D.5解析：f(x)=xcos2x=0?x=0或cos2x=0,又cos2x=0在0,2n上有扌，寥$共4个根，故原函数有5个零点.答案：D9. (2011福建，5分)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A.(1,1)B.(2,2)C.(s

7、,2)U(2,+s)D.(s,1)U(1,+)解析：由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式0,即m240,解得mv2或m2.答案：Cra, abw1,10. (2011天津，5分)对实数a和b,定义运算“？”：a?b=c设函数b, ab1.f(x)=(x22)?(x1),xR若函数y=f(x)c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A.(-1,1U(2,+s)B. (2,-1U(1,2C. (g,2)U(1,2D.-2,-12解析：令(x-2)-(x-1)w1,得KXW2,x21WxW2,-f(x)=Ty=f(x)c与x轴恰有两个公共点，画函数的图像得x1(xv1或x2

8、知实数c的取值范围是(一2,1U(1,2.答案：B11. (2011陕西，5分)方程|x|=cosx在(g,+g)内()A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D有无穷多个根解析：求解方程xi=cosx在(-g,+g)内根的个数问题，可转化为求解函数？(x)=|x|和g(x)=cosx在(-8,+)内的交点个数问题.由(x)=|x|和g(x)=cosx的图像易知有两交点，即原方程有且仅有两个根.答案：Cx2+2x3,xW012. (2010福建，5分)函数f(x)=c，的零点个数为()、一2+lnx,x0A.3B.2C.1D.0XW0解析：法一：令f(x)=0得2x+2x3=0x0或，：

9、x=3lnx=2或x=e2,应选B.法二：画出函数f(x)的图象可得，图象与x轴有两个交点，则函数f(x)有2个零点.答案：B13. (2010天津，5分)函数f(x)=ex+x2的零点所在的一个区间是()A.(2,1)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析：由于f(0)=-1v0,f(1)=e10，根据函数的零点存在性定理，知函数f(x)的零点在区间(0,1)内.答案：C14. (2011辽宁，5分)已知函数f(x)=ex2x+a有零点，则a的取值范围是.解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程ex2x+a=0有解问题，即方程a=2xex有解.令函数g(x)=2xex,则g，(x)=

10、2ex,令g(x)=0,得x=In2,所以g(x)在(In2)上是增函数，在(In2,+s)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln2)=2ln22因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a(，2ln22.答案：(a,2ln22(21-，x2,15. (2011北京，5分)已知函数f(x)=Sx若关于x的方程f(x)=k有两、(x1),xv2.个不同的实根，则实数k的取值范围是.解析：作出函数f(x)的图像，如图，由图像可知，当0vkv1时，函数f(x)与y=k的图像有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1).答案：(0,1)16. (2009广东，14分)已知二次函数

11、y=g(x)的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=1处取得极小值m1(mz0).设f(x)=,x(1) 若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为.2,求m的值；(2) k(kR)如何取值时，函数y=f(x)kx存在零点，并求出零点.解：写=g，(x)=2ax+b的图象与直线y=2x平行，a=1.又-/y=g(x)在x=1处取得极小值m1,b21,g(1)=a(1)+b(1)+c=m1,所以b=2,c=m.从而f(x)=m+x+2.入入(1)已知m0，设曲线y=f(x)上点P的坐标为P(x,y),则点P到点Q(0,2)的距离为|PQ|=x02+y22=+2m2x2+2m=2.：2|m|+2m,时等号成立.2当且仅当2x2=呂？x=x的最小值为.2,2：2|m|+2m=2?2|m|+