第7章第4节垂直关系

1、20092013年高考真题备选题库第7章立体几何第4节垂直关系考点垂直关系1. (2012广东，13分)如图所示，在四棱锥PABCD中，AB丄平面PAD,AB/CD,PD=AD,E是PB的中点，F是DC1上的点且DF=2AB,PHFAD中AD边上的高.(1) 证明：PH丄平面ABCD;若PH=1,AD=2,FC=1,求三棱锥EBCF的体积;(3)证明：EF丄平面PAB.解：(1)证明：因为AB丄平面PAD,所以平面PAD丄平面ABCD;因为PH为APAD中AD边上的高，所以PH丄AD，又平面PAD门平面ABCD=AD,PH?平面PAD，所以PH丄平面ABCD.11(2) 因为E为PB的中点，所

2、以E点到平面ABCD的距离为？PH=",Szscf=1XCFXAD=1X1X,2=卡.11V2V2所以三棱锥EBCF的体积V=3X22=石.(3) 证明：如右图，取AB的中点M,连接MF、EM,取PA的中点N，连接NE、DN.1因为AB/CD,DF=2AB，所以NE綊AM綊DF，所以四边形DNEF为平行四边形，所以EF綊DN.因为PD=AD，所以DN丄PA，又因为AB丄平面PAD，所以DN丄AB,PAAAB=A,所以DN丄平面PAB,所以EF丄平面PAB.fJi2. (2012福建，12分)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,M为棱DD1上的一点.(

3、1) 求三棱锥AMCC1的体积；(2) 当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M丄平面MAC.解：由长方体ABCDAiBiCiDi知,AD丄平面CDDiCi,点A到平面CDDiCi的距离等于AD=1,11又SMCCi=2CCiXCD=2X2X1=1,11VAMCCi=3ADS4MCCi=3.(2)证明：将侧面CDDiCi绕DDi逆时针转90展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，当Ai,M,C'共线时，AiM+MC取得最小值.由AD=CD=1,AAi=2,得M为DDi中点.连接CiM，在CiMC中，MCi=2,MC=.2,CCi=2,222CC1=MC1+MC，得/CMCi=90

4、6;即CM丄MCi.又由长方体ABCDAiBiCiDi知，BiCi丄平面CDD1C1,BiCi丄CM.又BiCiQCiM=Ci,CM丄平面BiCiM，得CM丄BiM;同理可证，BiM丄AM,又AMnMC=M,.BiM丄平面MAC.3.(2011新课标全国,12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，/DAB=60°AB=2AD,PD丄底面ABCD.(1)证明：PA丄BD;(2)设PD=AD=1,求棱锥DPBC的高.解：(1)证明：因为/DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=.3AD.222从而BD+AD=AB，故BD丄AD.又PD丄底面ABCD，可

5、得BD丄PD.所以BD丄平面PAD.故PA丄BD.如图，作DE丄PB，垂足为E.已知PD丄底面ABCD，故PD丄BC.由知BD丄AD，又BC/AD，所以BC丄BD.故BC丄平面PBD,BC丄DE.贝UDE丄平面PBC.由PD=AD=1知BD=3,PB=2.DEPB=PDBD，得DE=即棱锥DPBC的高为E4.（2010广东，14分）如图，AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC丄平面BED,FB=5a.证明：EB丄FD;求点B到平面FED的距离.解：证明：点E为AC的中点，且AB=BC,AC为直径,EB丄AC.VFC丄平面BED，且BE?平面BED.FC丄EB.VFCAAC=C,EB丄平面BDF,FD?平面BDF,EB丄FD.(2)-.-FC丄平面BED，且BD?平面BED,FC丄BD.又-BC=DC,FD=FB=i