第七章习题及解答

1、第七章习题及解答7.1求证在无界理想介质内沿任意方向en(en为单位矢量)传播的平面波可写成EEmej(enrt)。解Em为常矢量。在直角坐标中enexcoseycosezcosrexXeyyezz故enr(excoseycosezcos)(exXeyyezZ)xcosycoszcos则而故可见，已知的2eEEm2e2et2Eej(enrt)Emeex2Ex2Et2,eJ(enr2Ej(xcosycosEme2LeyEyezEm(j)2ej(xcosycos孕EmJ(j)2e(xcosycos2ezcos)t2Ezzcos)zcos)t(j)2Et2e(j厂)2E2et)满足波动方程2e0t2

2、故e表示沿e方向传播的平面波。7.2试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。解表征沿+z方向传播的椭圆极化波的电场可表示为E(exExeyjEy)ejze1E2式中取Ei1ex(Ex2Ey)eyj(ExEy)ejzE2iex(Ex2Ey)eyj(ExEy)ejz显然，Ei和E2分别表示沿+z方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。3.7.3在自由空间中，已知电场E(z，t)ey10si门(tz)V/m，试求磁场强度H(z,t)。解以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式3E(z,t)ey10cos(tz)V/m2这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90。与之相伴的磁

3、场为1H(z,t)ezE(z,t)0103ex-120cos7.4均匀平面波的磁场强度H的振幅为3,zey10costz2z?ex265sin(tz)A/m1A/m3，以相位常数30rad/m在空气中沿$方向传播。当t=0和z=0时，若率和波长。解以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式eycos(y3H的取向为ey，试写出E和H的表示式，并求出波的频tz)A/m与之相伴的电场为oH(ez)1201ey3cos(tz)(ez)ex40cos(tz)V/mrad/m得波长2和频率分别为Vp2则磁场和电场分别为0.21m3108Hz1.430.2191.4310rad/s910Hz9910rad/sc

4、os(9109t30z)A/m(1)求和在t3ms时，Hz解(1)在t=3ms时，欲使771070的位置；(2)写出E的瞬时表示式。1108nrad/mrad/m0.105rad/m30Hz=0,则要求3103y30若取n=0,解得y=899992.m。260m，故107考虑到波长,n0,1,2,Ley-39ex40cos(910t30z)V/me7.5一个在空气中沿y方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为6nez410cos(10nty)A/m42999922.52y299992075i因此，t=3ms时，Hz=0的位置为y22.5nim(2)电场的瞬时表示式为E(Hey)oez4

5、106cos(107ty)ey120420.099(1j)4ex1.508103cos(107t0.105y)V/m47.6在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m。设r1，试求理想介质的相对介电常数r以及在该介质中的波速。8解在自由空间，波的相速Vp0c310m/s，故波的频率为Vp0031080.2Hz=1.5109Hz在理想介质中，波长Vp而Vp故r°.09m，故波的相速为f1.51090.091.35108m/s2cVp310881.35104.947.7海水的电导率4S/m，相对介电常数r81。求频率为10kHz>100

6、kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。解先判定海水在各频率下的属性48.81082fr02f810可见，当f10Hz时，满足1，海水可视为良导体。此时f=10kHz时10103410740.1260.396Np/m(120.12615.87mj)101034107f=100kHz时100103410741.26Np/m225m1.26cf=1MHz时(1j)10010341070.314(1j).1064_10743.96Np/mcf=10MHz时(1j)1064107,10106410740.99(1j)12.6Np/m20.5m12.

7、61010641073.14(1j)当f=100MHz以上时,.0(r0)1不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时,1j(2fr0)f=100MHz时37.57Np/m42.1rad/m0.149m42c.门8.9j41.8o14.05ef=1GHz时69.12Np/m203.58rad/m20.03m42.1j0.8936.5ej20.8o121087.8求证：电磁波在导电媒质内传播时场量的衰减约为55dB/入。证明在一定频率范围内将该导电媒质视为良导体，此时故场量的衰减因子为2ezezee20.002即场量的振幅经过z=入的距离后衰减到起始值的0.002。用分贝表示。20lgEm()Em(0

8、)20lge20lge2(2)20lge55dB电介质后，其相位常数变为的传播速度。解自由空间的相位常数r1，求理想电介质的r和波在电介质中7.9在自由空间中，一列平面波的相位常数1.81rad/m。设00.524rad/m，当该平面波进入到理想00，故0.52431081.572108rad/s在理想电介质中，相位常数1.8120r01.81rad/s，故11.93电介质中的波速则为1厂VpJ3_!m/s0.87108m/sr11.937.10在自由空间中，时，波长变为8cm,且已知此时的|E|50V/m,丨H|0.1A/m。求该均匀平面波的频某均匀平面波的波长为12cm;当该平面波进入到某

9、无损耗媒质率以及无损耗媒质的r、r。解自由空间中，波的相速fV20Vpc310m/s，故波的频率为31080在无损耗媒质中，波的相速为12102"HZVp2.510981022108m/s(1)无损耗媒质中的波阻抗为IEI.聖500IH|:r00.1(2)联解式（1）和式（2）,得r1.99,r1.137.11一个频率为f=3GHz,ey方向极化的均匀平面波在r2.5,损耗正切2tan10的距离；（2）的非磁性媒质中沿（ex）方向传播。求：（1）波的振幅衰减一半时，传播媒质的本征阻抗，波的波长和相速（3）设在x=0处的Eey50sin(69109ty)V/m，写出H（x,t）的表示式

10、。(1)91923102.51036兀10232.5该媒质在(2)32.5101810212-0.417102S/mf=3GHz时可视为弱导电媒质，故衰减常数为0.41710222.50.497Np/m0x-ln2对于弱导电媒质,1In21.395m0.497本征阻抗为而相位常数c1j22.50238.44(1j0.005)j0.286°j0.0016238.44eJ238.44eJ109831.6rad/m故波长和相速分别为231.60.063mVp2331.6(3)在x=0处,310理1.89108m/sE(O,t)ey50sin(6910t3)V/m0.497xE(x,t)ey

11、50esin(61H(x)|严E(x)eJIcI1238.44%910t31-6X3)V/m0.497xey50ee0.497xez0.21eeH(x,t)ReH(x)eJtJ31.6xJEJ_2J0.0016eeeJ31.6x气J0.0016eeeA/m0.497x9,ez0.21esin(610t7.12有一线极化的均匀平面波在海水（r其磁场强度在y=0处为10Hex0.1sin（1031.6x0.0016380,r1,4S/mt/3)A/m（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出时的位置；（3）A/m）中沿+y方向传播，H的振幅为0.01A/m写出解（1）可

12、见，在角频率E(y,t)和H(y,t)的表示式。436而90.18101080109410108001010时，海水为一般有损耗媒质，故1010笃。010.182183.9Np/m101080020.10.1821300rad/mc1j0.1842.151.008eJ0.°2841.82eJ°.°28Vp101030080.33310m/s6.67103m300183.9(2)由0.010.1ey即ey1111.92103m0.1得yIn102.303m27.483.910平面上(介质的20，240，20)，求反射波和透射波的电场振幅。H(y,t)ex0.1e83

13、.9ysin(1010t300(3)其复数形式为H(y)ex0.1e故电场的复数表示式为83.9yej300ye吃A/mE(y)cH(y)eyj0.02841.82ej0.1e83.9yej(300yeyj(300y0.028ez4.182e83°e383.9y2V/mE(y,t)ReE(y)ejt83.9y10,ez4.182esin(10t300y-0.028)V/m37.13在自由空间(z<0)内沿+z方向传播的均匀平面波，垂直入射到z=0处的导体平r1。自由空间E波的频率f=1.5MHz，振幅为面上。导体的电导率61.7MS/m，1V/m;在分界面(z=0)处，E由下式

14、给出E(0,t)eysin2ft对于z>0的区域，求日昇乙。61.7106704.4解21.51060109可见，在f=1.5MHz的频率该导体可视为良导体。故.(1.5106)410761.71061.91104Np/m41.9110rad/mj45°e21.51064107j45o61.7106e4(3.1j3.1)10分界面上的透射系数为21c0入射波电场的复数表示式可写为2型10：严2.32106ej45o(3.1j3.1)104377jE1(z)eyej0ze2V/m则z>0区域的透射波电场的复数形式为E2ZjZeyeej2ey2.32106ej45e1.911

15、04zj1.91104ze%V/m与之相伴的磁场为H2(z)-ezE2(z)c14.38104ej45°eZey2.32106191104zjgWz45°)eeH2(z,t)21.91ex0.5110e104zjC1.91104Z-)e2A/mReH2(z)ejt21.91104zex0.5110esin(261.510t1.91410z)A/m7.14一圆极化波垂直入射到一介质板上，入射波电场为EEm(exeyj)e'求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？解设媒质1为空气，其本征阻抗为0；介质板的本征阻抗为2。故分界面上的反射系数和透射系数分别为式中20都

16、是实数，故反射波的电场为EEm(exeyj)ejZ可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-Z方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+Z方向传播的左旋圆极化波。透射波的电场为E2Em(exeyj)ej2Z式中，2'22，0r20是媒质2中的相位常数。可见，透射波是沿+Z方向传播的左旋圆极化波。7.15均匀平面波的电场振幅.0°Em100eV/m，从空气中垂直入射到无损耗的介质1J0120n解:10221060n12140反射系数为2160120121601203透射系数为222602216012

17、03故反射波的电场振幅为100Em|Em33.3V/m3透射波的电场振幅为Em2Em66.6V/m37.16最简单的天线罩是单层介质板。若已知介质板的介电常数2.80，问介质板的厚度应为多少方可使频率为3GHz的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。当频率分别为3.1GHz及2.9GHz时，反射增大多少？入射波入射波透射波反射波反射波题7.16图解天线罩示意图如题7.16图所示。介质板的本征阻抗为2，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为1和3。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波对多层媒质的垂直入射问题。设媒质1中的入射波电场只有x分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可

18、表示为H1-ezE1e<Em1ej1（zd）11而媒质1中的反射波电场为Eeeej1（zd）1Xm1'与之相伴的磁场为1H1（exE1）ey1故媒质1中的总电场和总磁场分别为EiE1E1j1(zd)exEm1eeEeji(zd)xm1DHiH1H1Em1j1(zeye1d)eyEm1j1(zd)e1(1)同样，可写出媒质E22中的总电场和总磁场E2E2j2ZexEm2eexEm1eH2h2h2Em2j2Zeye2Em2eye2j2Z媒质3中只有透射波E3exEm3e3ZH3Em3eye3j3Z（3）Em1，而Em2、Em2、和Em3为待求在式（1）、（2）、（3）中，量。利用两个

19、分界面和上的四个边界条件方程即可确定它们。在分界面处，即z=0处，应有E2xE3x,H2yH3y。由式（2）和（3）得通常已知入射波电场振幅Em2Em2Em311(Em2Em2)E2由式(4)可得出分界面上的反射系数Em2322Em23m33(4)(5)在分界面处，即z=-d处，应有Em1Em1Em2ejE1xE2xEm2ej2dH1yH2y。由式(1)和(2)得Em2(ej2d2ej2d)11一(Em1Em1)一(E12j2dm2ej2dEm2/j2dj2dm2e)(e2e)2将分界面上的总电场与总磁场之比定义为等效波阻抗（或称总场波阻抗）Em1Em1丄（Em11得ej刃,由式（(6)1)得

20、efEm1Em11eEm1m1m1/(7)将式（6）代入式（7）2ej2d将式（5）代入式（8），并应用欧拉公式，得3j2tan2def22j3tan2d再由式（7）得分界面上的反射系数ef2尸(8)(9)Em1ef11(11)Em1ef1显然，若分界面上的等效波阻抗无反射。ef等于媒质1的本征阻抗1，贝U10，即分界面上130，由式(9)得0j2tan2d2j0tan2d欲使上式成立，必须n,n1,2,3L通常天线罩的内、外都是空气,。故频率fo=3GHz时310831090.1m3.1101.2800108.6rad/m0228当频率偏移到f1=3.1GHz时，222m30mm1.6tan

21、2dtan(108.633010)0.117225.3ef377225.3225.3j3770.117j225.30.117370.87ej7.08°368j45.7反射系数为368j45.7377368j45.7377即频率偏移到3.1GHz时，反射将增大6%。22.9GHzef1ef1j(180°82.37°)0.06e同样的方法可计算出频率下偏到讨论（1）上述分析方法可推广到n层媒质的情况，通常是把坐标原点面上较为方便。（2）时，反射将增加约5%。O选在最右侧的分界应用前面导出的等效波阻抗公式（9），可以得出一种很有用的特殊情况（注意:此时13)。4，则有t

22、an2dtan(22)24由式（9）得(3)ef3若取2-13，则ef1此时，分界面上的反射系数为ef110ef1即电磁波从媒质1入射到分界面时，不产生反射。可见，厚度d2.；4的介质板，当其本征阻抗2I13时，有消除反射的作用。7.17题7.17图所示隐身飞机的原理示意图。d33；4的理想介质膜，又在介质膜上涂一层厚度为d2的良导体材料。试确定消除电磁波从良导体表面上反射的条件。解题7.17图中，区域（1）为空气，其波阻抗为在表示机身的理想导体表面覆盖一层厚度区域（2）区域（3）10为良导体,0其波阻抗为j45为理想介质，其波阻抗为323区域（4）x:d1”d2TOz题7.17图利用题7.1

23、6导出的公式（9），4j3tanef33分界面上的等效波阻抗为4j3tan(23)34j4tan(23)343d3j4tan3小3应用相同的方法可导出分界面上的等效波阻抗计算公式可得ef2tanh2d2ef22eftanh2d2式中的2是良导体中波的传播常数，tanh2d2为双曲正切函数。将得ef代入式（1），eftanh2d2由于良导体涂层很薄，满足2d21，故可取tanh0202，则式（2）变为2ef2小2分界面上的反射系数为ef13ef1可见，欲使区域（1）中无反射，必须使ef故由式（3）得2(4)将良导体中的传播常数j4522ed2和波阻抗12.65102377j45e代入式（4）,得

24、2d2d3'4，而良导体涂层的厚度d2265102，不会产生由于电磁波在理想导体表面7.18比为2.7,解均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质平面时，在自由空间形成驻波。设驻波且介质平面上有驻波最小点；求介质的介电常数。自由空间的总电场为EiEiEijexEm1e1ZexEm1ej1exEm1(eej1z)这样，只要取理想介质层的厚度就可消除分界面上的反射波。即雷达发射的电磁波从空气中投射到分界面时，回波，从而实现飞机隐身的目的。此结果可作如下的物理解释：（即分界面上产生全反射，则在离该表面3'4处（即分界面出现电场的波腹点。而该处放置了厚度为d2的良导体涂层，从而使电磁波大大

25、损耗，故反射波就趋于零了。式中Em1Em1是分界面上的反射系数。驻波比的定义为EmaxEminEm1Em1Em1Em12.7据此求得17I0.4593.7因介质平面上是驻波最小点，故应取0.459反射系数2020.371377139.7901264.3107.2602139.792200.459、即4时2(5)7.19如题7.19图所示，z>0区域的媒质介电常数为数为1的介质板。对于一个从左面垂直入射过来的2，在此媒质前置有厚度为d、介电常TEM波，试证明当r1-r2且14r1时，没有反射（为自由空间的波长）|d题7.19图解媒质1中的波阻抗为(1)媒质2中的波阻抗为当r1-r2时，由式

26、（而分界面。1处（即Z212)得1)和(200'0r2(2)(3)处）ef的等效波阻抗为2j1tan211j2tan&ef分界面01处的反射系数为ef0(7)ef0将式(3)和(4)代入式(5),则得0r1即时，分界面oi上无反射。d4的介质层称为匹配层。7.20垂直放置在球坐标原点的某电流元所产生的远区场为100sincos(tr)V/mrcos(tr)A/m0.265.sinr试求穿过r=1000m的半球壳的平均功率。解将电场、磁场写成复数形式100.sinr0.265.sinr平均坡印廷矢量为1Sav-ReE(r)H*(r)2e進sinejr1 100.jReesine2

27、 r1 1000.265.2er2sin2 r故穿过r=1000m的半球壳的平均功率为1Pav?SavdS2?式中dS为球坐标的面积元矢量，对积分有贡献是dSW/m2q13.252erdSrerrsindd12Pav200er13.25.2sin2厂errsinddr13.25(cos13cos313.250ex150sin(2W/m2r313.25sind055.5W7.21在自由空间中，E和15mm长方形面积的总功率。解将已知的电场写成复数形式j(z90)ex150ez)V/m。试求z0平面内的边长为30mmE得与E(z)相伴的磁场丄ezE(z)e0150j(z90)y377e故平均坡印廷

28、矢量为Sav则穿过z=0平面上SRv1ReE(x)H*(z)Reex150ej(z90)ey型ej(z90)2xy37723015mm的长方形面积的总功率为SavezS29.84301031510ez29.84W/m23W13.43103W区域内的解7.22均匀平面波的电场强度为Eex100sin(tz)ey200cos(t(1)运用麦克斯韦方程求出H：(2)若该波在z=0处迁到一理想导体平面，求出E和H;(3)求理想导体上的电流密度。(1)将已知的电场写成复数形式ex100ej(z)V/mz<0E(z)Ej0Hz90)ey200eeyezH(z)E(z)xExyEy写成瞬时值表示式H(

29、z,t)1j1j-(0Eyey旦)z-0ex200(ex200e01ex200ej0ReH(z)ejt1ex200cos(01ex200cos(0)ejzey100()ej(z90)ey100eey100ej(z)z)j(z90)z90),A,，A/mey100cos(tey100sin(tz90)z)A/m(2)均匀平面波垂直入射到理想导体平面上会产生全反射，反射波的电场为j(z90)Ex100eEy200ejz即z0区域内的反射波电场为EexExeyEy与之相伴的反射波磁场为1H(ezEex100ej(z90)ey200ejz1.)(ex200ejzey100ej(z90)至此，即可求出z

30、0区域内的总电场E和总磁场H。j(z90)j(z90)ExExEx100e100ej90,jzjzj90°100ej(ejej)j200sinzejEyEyEy200ejz200ejzj400slnz故EexExeyEyexj200sinj90zeeyj400slnz同样HxHxHx丄200ejz1.200ejz1,400cosz000HyHyHy100ej(z90)100ej(z90)1一0200ej90cosz01HexHxeyHy(ex400coszey200ej90cosz)0(3)理想导体平面上的电流密度为JsnHez(ex400coszey200ej90cosZ)丄003

31、3e,0.53ej90ey1.06A/m7.23在自由空间中，一均匀平面波垂直投射到半无限大无损耗介质平面上。已知在平1面前的自由空间中，合成波的驻波比为3,无损耗介质内透射波的波长是自由空间波长的6。试求介质的相对磁导率r和相对介电常数r。解在自由空间，入射波与反射波合成为驻波，驻波比为式中的1求得120，则得200SEmaxEminEm1Em1111113Em1Em1由此求出反射系数11121设在介质平面上得到驻波最小点，故取2。而反射系数为2121(1)oo得(2)rr36联解式(1)和(2)得r2,r187.24均匀平面波的电场强度为ex10ej6z该波从空气垂直入射到有损耗媒质（r2

32、.5,损耗角正切tan0.5)1的分界面上（z=0），如题7.24图所示。（1）求反射波和透射波的电场和磁场的瞬时表示式;廷矢量。（2）求空气中及有损耗媒质中的时间平均坡印x1:空气入射波反射波2:损耗媒质透射波题7.24图解（1）根据已知条件求得如下参数。在空气中（媒质1）16rad/m8Q11C63101.810rad/s377Q在有损耗媒质中2tan-0.522521.810*2°°10.5212.31Np/m221221(22)21分界面上的反射系数为21896j51763770.278ej156.9218.96j51.76377透射系数为2225ej113.30.

33、752ej8.34218.96j51.76377故反射波的电场和磁场的复数表示式为j6ze10e-(ez0j156.9j6zex2.78ee1j156.9j6z、(ezex2.78ejej)377ey7.37103j156.9j6zee则其瞬时表示式为E(乙t)ReEejtex2.78cos(1.8109t6z156.9)V/mReHejtey7.37103cos(1.8109t6z156.9)A/m而媒质2中的透射波电场和磁场为ej2zE2H2故其瞬时表示式为(z,t)ex10e2Z2.31zj9.77zj8.34ex752eee1e225ej13.3ez2.31zj9.77zj8.34ey

34、0035eee丄ezE222.31zj9.77zj8.34ex7.52eeej13.3eE2(z,t)ReE2ej1231z9ex7.52e.cos(1.810t9.77z8.34)V/mH2(z,t)ReH2ejt231z9ey0.035e.cos(1.810t9.77z4.96)A/m(2)1*1*Sav1SavSavReEH2ReEH22211012.782ezezez0.122W/m237723771*Sav2-ReE2H2212.31zj9.77zj8.342.31zj9.77zj4.96,Reex7.52eeeey0.035eee1 4.62zj13.34.62z2Reez0.26

35、3eejez0.122eW/m27.25一右旋圆极化波垂直入射到位于z=0的理想导体板上，其电场强度的复数表示式为EiE°（exeyj）ejz（3）以余弦为基准，写出总电（1）确定反射波的极化方式；（2）求导体板上的感应电流;场强度的瞬时值表示式。(exErxeyEry)ez=0时应有Er)z00解（1）设反射波的电场强度为Er据理想导体的边界条件，在（Ei故得ErxE0,EryjE0ErE°(e。eyj)eJz可见，反射波是一个沿z方向传播的左旋圆极化波。（2）入射波的磁场为反射波的磁场为Hi1ezE1ezE0(exeyj)ejz00Eo(exjey)ejz0Hr1(ez

36、Er)-(ez)E0(exjzeyj)e00E(exjey)ejz0hHiHrE(exjey)ejz旦(exjey)ejz00故合成波的磁场为则导体板上的感应电流为0（3）合成电场的复数表示式为EEiErE°(exeyj)ejzE°(exeyj)ejzexE°(ejzejz)eyjE°(ejzejz)2E°sinz(exje)故其瞬时表示式为E（z,t）ReEejt2Esinzsinteycost)JsnHez(Hir)z02Eoeyj)7.26如题7.26图所示，有一正弦均匀平面波由空气斜入射到z=0的理想导体平面上,其电场强度的复数表示式为

37、Ej（x,z）ey10ej（6x8z）V/m（1）求波的频率和波长；（2）以余弦函数为基准，写出入射波电场和磁场的瞬时表示式；（3）确定入射角；（4）求反射波电场和磁场的复数表示式；（5）求合成波电场和磁场的复数表示式。enikiex6ez8ki10ex0.6q0.8xJ.Hr理想导体题7.26图Oz解（1）由已知条件知入射波的波矢量为kiex6ez8exkixezkizki:628210故波长为22ki0.628m频率为i上c3108f4.78108Hz0.6282f31C)9rad/s（2）入射波传播方向的单位矢量为120入射波的磁场复数表示式为1Hi(x,z)eniEi01x,z(ex8ez6)ey10ej(6x8z)0(ex8ez6)ej(6x8z)120则得其瞬时表示式Hi(x,乙t)ReHi(x,z)ejt1j(6x8z)j3109tRe2(ex8ez6)ej()ej19(ex8ez6)cos(310t6x8z)A/mj(6x8z)jt,Reey10ee6x8z)V/m而电场的瞬时表示式为Ei(x,z,t)Re