郑采星大学物理教案

1、1热学（气体动理论）热学（气体动理论） 2宏观法与微观法相辅相成。宏观法与微观法相辅相成。热学（热学（Heat） 热学是研究与热现象有关的规律的科学。热学是研究与热现象有关的规律的科学。 热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。 大量分子的无规则运动称为大量分子的无规则运动称为热运动热运动。热学的研究方法热学的研究方法：1.宏观法宏观法. 最基本的实验规律最基本的实验规律逻辑推理逻辑推理(运用数学运用数学) -称为热力学。称为热力学。 优点：可靠、普遍。优点：可靠、普遍。 缺点：未揭示微观本质。缺点：未揭示微观本质。2.微观法微观法. 物质的微观

2、结构物质的微观结构 + 统计方法统计方法 -称为统计力学称为统计力学 其初级理论称为气体分子运动论其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论气体动理论) 优点：揭示了热现象的微观本质。优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、普遍性差。缺点：可靠性、普遍性差。3宏观量与微观量宏观量与微观量 对热力学系统的对热力学系统的两种描述方法两种描述方法：1. 宏观量宏观量 从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。 如如 M、V、E 等等-可以累加，称为广延量。可以累加，称为广延量。 P、T 等等-不可累加，称为强度量。不可累加，称为强度量。2. 微观量微

3、观量 描述系统内微观粒子的物理量。描述系统内微观粒子的物理量。 如分子的质量如分子的质量m、 直径直径 d 、速度、速度 v、动量、动量 p、能量、能量 等。等。微观量与宏观量有一定的内在联系。微观量与宏观量有一定的内在联系。 例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果，均效果， 它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。4第六章第六章 气体动理论气体动理论 (Kinetic theory of gases)6-1 状态状态 过程过程 理想气体理想气体6-2 分子热运动和统计规律分子热运动和统计规律6-3 气体动理论的压

4、强公式气体动理论的压强公式6-4 理想气体的温度公式理想气体的温度公式6-5 能均分定理能均分定理 理想气体内能理想气体内能 6-6 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律6-7 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律6-8 分子平均碰撞次数分子平均碰撞次数 自由程自由程6-9 气体内的迁移现象气体内的迁移现象6-10 实际气体实际气体 范德瓦耳斯方程范德瓦耳斯方程6-11 物态和相变物态和相变作业：作业：1、2、4、5、6、8、9。51 状态状态 过程过程 理想气体理想气体温度温度T反映物体冷热程度的物理量，其高低反反映物体冷热程度的物理量，其高低反映内部分子热运动的剧烈程度。映内部分子热运动的剧烈程度

5、。 热力学温标热力学温标(T:K)与摄氏温标与摄氏温标(t:)： t=T-273.15体积体积 V 气体分子所能到达的空间。气体分子所能到达的空间。1dm3=1L压强压强 P 气体分子垂直作用于器壁单位面积上的气体分子垂直作用于器壁单位面积上的 力，是大量气体分子与器壁碰撞的宏观力，是大量气体分子与器壁碰撞的宏观 表现。表现。 760 mmHg=1.01 105Pa。1.气体状态参量气体状态参量6平衡态：在不受外界影响的条件下，系统平衡态：在不受外界影响的条件下，系统宏观性质宏观性质均匀一致、均匀一致、不随时间变化的状态，气体状态（不随时间变化的状态，气体状态（P,V,T）就是指平衡态）就是指

6、平衡态。 2.平衡态和平衡过程平衡态和平衡过程 平衡态是一个平衡态是一个理想化模型理想化模型，我们主要研究平衡态的热学规律。我们主要研究平衡态的热学规律。说明两个概念：说明两个概念：动态平衡动态平衡 处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间 改变。这称为动态平衡。改变。这称为动态平衡。箱子假想分成两相同体积箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同两侧粒子数相同

7、。粒子数是宏观量粒子数是宏观量气缸中的气体气缸中的气体7涨落涨落 处在平衡态的系统的宏观量，如压强处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随时间改变，不随时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样， 这称为涨落现象，分子数越多，涨落就越小。这称为涨落现象，分子数越多，涨落就越小。上例中两侧粒子数不可能上例中两侧粒子数不可能严格相同，这里的偏差也严格相同，这里的偏差也就是涨落。就是涨落。平衡态平衡态1非平衡态非平衡态平衡态平衡态2状态变化的过程状态变化的过程 系统从平衡态系统从平衡态1到平衡态到平衡态2，经过一个过程，经过一个过程

8、,平衡态平衡态1必首先被必首先被破坏，系统变为非平衡态，从非平衡态到新的平衡态所需的破坏，系统变为非平衡态，从非平衡态到新的平衡态所需的时间为弛豫时间。时间为弛豫时间。8状态到状态是一个状态变化的过程。若此过程足够缓慢，状态到状态是一个状态变化的过程。若此过程足够缓慢，这个过程中每一状态都可近似看作平衡态，则叫平衡过程。这个过程中每一状态都可近似看作平衡态，则叫平衡过程。平衡过程平衡过程在过程中每一时刻，系统都处于平衡态，这是一种在过程中每一时刻，系统都处于平衡态，这是一种理想过程理想过程。u例例1 1：外界对系统做功，过程无限缓慢，无摩擦。：外界对系统做功，过程无限缓慢，无摩擦。 非平衡态到

9、平衡态的过非平衡态到平衡态的过渡时间，即弛豫时间，约渡时间，即弛豫时间，约 10 -3 秒秒 ，如果实际压缩一，如果实际压缩一次所用时间为次所用时间为 1 秒，就可秒，就可以说是平衡过程。以说是平衡过程。92分子热运动和统计规律分子热运动和统计规律分子热运动：分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动大量分子做永不停息的无规则运动. .基本特征：基本特征：(1)无序性无序性某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；各个分某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正是热运动与机子之间的运动也不相同，即无序性；这正是热运动与机械运动的本质区别。械运动的本质区别。(2

10、)统计性统计性但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，但从大量分子的整体的角度看，存在一定的统计规律，即统计性。即统计性。分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本分子热运动具有无序性与统计性，与机械运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动质的区别，故不能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。必须兼顾两种特征，应用统计方法。问题。必须兼顾两种特征，应用统计方法。10定义定义: 某一事件某一事件 i 发生的概率为发生的概率为 Pi Ni - 事件事件 i 发生的发生的 次数次数 N - 各种事件发生的各种事件发生的 总次数总次数统计规律有以下几个特点统计规律有以下几个特

11、点:（1）只对大量偶然的事件才有意义）只对大量偶然的事件才有意义.（2）它是不同于个体规律的整体规律）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变量变到质变).（3）总是伴随着涨落）总是伴随着涨落.表演实验：伽耳顿板表演实验：伽耳顿板例例. 扔硬币扔硬币什么是统计规律性什么是统计规律性 大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。大量偶然事件从整体上反映出来的一种规律性。NNPiNilim11微观模型与统计方法微观模型与统计方法理想气体分子的微观假设（力学假设）理想气体分子的微观假设（力学假设）3 气体动理论的压强公式气体动理论的压强公式1.理想气体微观模型理想气体微观模型(1)气体分子当作质点，不

12、占体积，体现气态的特性。气体分子当作质点，不占体积，体现气态的特性。(2)气体分子的运动遵从牛顿力学的规律；气体分子的运动遵从牛顿力学的规律；(3)分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力，碰撞为弹性分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力，碰撞为弹性碰撞；一般情况下，忽略重力。碰撞；一般情况下，忽略重力。对大量分子组成的气体系统的对大量分子组成的气体系统的统计假设统计假设：（1）分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；）分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着；（2）平衡态时分子按位置的分布是均匀的，）平衡态时分子按位置的分布是均匀的， 即分子数密度到处一样，不受重力影响；即分子数密度到处一样

13、，不受重力影响；VNdVdNndV-体积元（宏观小，微观大）体积元（宏观小，微观大）12（3）平衡态时分子的速度按方向的分布是各向均匀的。）平衡态时分子的速度按方向的分布是各向均匀的。0zyxvvv32222vvvvzyxiiiixixnvnviiiixxnnvv222. 速率分布函数速率分布函数 分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律

14、性。上却存在着确定的规律性。 对具有统计性的系统来讲，总存在着确定的分布函数，对具有统计性的系统来讲，总存在着确定的分布函数，因此，写出分布函数因此，写出分布函数f（x）是研究一个系统的关键之处，具有是研究一个系统的关键之处，具有普遍的意义。普遍的意义。13速率分布函数速率分布函数一定量的气体分子总数为一定量的气体分子总数为NdNv/N 是是 v 的函数，在不同速率附近取相等的区间，此的函数，在不同速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。比率一般不相等。dNv表示速率分布在某区间表示速率分布在某区间 vv+dv内的分子数，内的分子数，dNv/N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率表示分布

15、在此区间内的分子数占总分子数的比率（百分比）。百分比）。 dNv/N还应与区间大小成正比。还应与区间大小成正比。因此有因此有 dvvfNdNv 或或 dvNdNvf物理意义：速率在物理意义：速率在 v v 附近，单附近，单位速率区间的分子数占总分子位速率区间的分子数占总分子数的比率。数的比率。 100dvvfNdNNv归一化条件归一化条件14设在体积为设在体积为V的容器的容器中储有中储有N个质量为个质量为m的分子组成的理想的分子组成的理想气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容器中按位置气体。平衡态下，若忽略重力影响，则分子在容器中按位置的分布是均匀的。分子数密度为的分布是均匀的。分子数密度

16、为 n=N/V.dAdtdIPdI为大量分子在为大量分子在dt时间内施加在器壁时间内施加在器壁dA面上的平均冲量。面上的平均冲量。4. 压强公式的简单推导压强公式的简单推导从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在从微观上看，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量。有单位面积器壁上的平均冲量。有 为讨论方便，将分子按速度分组，第为讨论方便，将分子按速度分组，第i组分子的速度为组分子的速度为vi（严格说在（严格说在vi 附近）分子数为附近）分子数为Ni ,分子数密度为分子数密度为 ni=Ni/V,并有并有 n=n1+n2+ni+.= ni15xdAvixdtv

17、平衡态下，器壁各处压强平衡态下，器壁各处压强相等，取直角坐标系，在相等，取直角坐标系，在垂直于垂直于x轴的器壁上任取一轴的器壁上任取一小面积小面积dA,计算其所受的压计算其所受的压强（如右图）强（如右图）单个分子在对单个分子在对dA的一次碰撞中的一次碰撞中施于施于dA的的冲量为冲量为2mvix. dt时间内，碰到时间内，碰到dA面的第面的第i组分子施于组分子施于dA的冲量为的冲量为 2mni vix2dtdA关键在于：在全部速度为关键在于：在全部速度为vi的的分子中，在分子中，在dt时间内，能与时间内，能与dA相碰的只是那些位于以相碰的只是那些位于以dA为底，以为底，以 vixdt 为高，以为

18、高，以 vi为轴线的圆柱体内的分子。分子数为为轴线的圆柱体内的分子。分子数为 nivixdtdA 。16dt时间内，与时间内，与dA相碰撞的所有分子施与相碰撞的所有分子施与dA的冲量为的冲量为 dAdtvmndIixiixvi2)0(2iixiiixidAdtvmndAdtvmndI22221注意：注意： vix0 0 的分子数等于的分子数等于 vix0 0 的分子数。的分子数。iixivnmdtdAdIP2压强nniixix22vv定义：2xvmnP 则：17平衡态下，分子速度按方向的分布是均匀的，有平衡态下，分子速度按方向的分布是均匀的，有222vvvzyx22222222vvvvvvvv

19、zyxzyx231222vvvvzyx所以所以2v31mnP 或者或者nmnP32)v21(3222v21m分子平均动能显分子平均动能显示了宏观量与微示了宏观量与微观量的关系。是观量的关系。是力学原理与统计力学原理与统计方法相结合得出方法相结合得出的统计规律的统计规律。18温度的微观意义温度的微观意义比较比较 P=nkT 和和 ，有，有nP32温度温度T 标志着物体内标志着物体内部分子无规则运动部分子无规则运动的激烈程度的激烈程度：分子无规则：分子无规则运动激烈程度运动激烈程度的定量表示的定量表示理想气体状态方程的分子形式理想气体状态方程的分子形式由：由： PV= RT 若知分子总数若知分子总

20、数N N，则有，则有 PV=NRT/NA 定义玻尔兹曼常数定义玻尔兹曼常数: : k =R/NA =1.38 10-23J K-1 则则 PV=NkT 或或 P=nkTkT234 理想气体的温度公式温度理想气体的温度公式温度1. 温度的本质和温度的本质和统计意义统计意义19方均根速率方均根速率2vkTm23v221mkT /3v2RTmkT33v2在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。2. 方均根速率方均根速率 (气体分子速率平方的平均值的平方根气体分子速率平方的平均值的平方根)平均平动动能只与温度有关平均平动动能只与温度有关kT23温度是统计概念

21、，只能用于大量分子，温度标志物体温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志物体内部分子无规运动的剧烈程度。内部分子无规运动的剧烈程度。20 1.一定质量的气体一定质量的气体,当温度不变时当温度不变时,压强随体积减小而增大压强随体积减小而增大;当体当体积不变时积不变时, 压强随温度升高而增大，从宏观上说压强随温度升高而增大，从宏观上说,这两种变化都这两种变化都使压强增大使压强增大;从微观上说从微观上说,它们是否有区别它们是否有区别? 2.两种不同种类的理想气体两种不同种类的理想气体,压强相同压强相同,温度相同温度相同,体积不同体积不同, 试试问单位体积内的分子数是否相同问单位体积内的分子数是否相

22、同? 3.两瓶不同种类的气体两瓶不同种类的气体,分子平均平动动能相同分子平均平动动能相同,但气体的分但气体的分子数密度不同子数密度不同,试问他们的压强是否相同试问他们的压强是否相同? 4.两瓶不同种类的气体两瓶不同种类的气体,体积不同体积不同,但温度和压强相同但温度和压强相同,问气体问气体分子的平均平动动能是否相同分子的平均平动动能是否相同?单位体积中的分子的总平动单位体积中的分子的总平动动能是否相同动能是否相同?问题：问题：（答案：前者是由于分子碰撞次数增加导致（答案：前者是由于分子碰撞次数增加导致,后者是由于运动后者是由于运动加剧导致）加剧导致）（答案（答案:相同）相同）（答案（答案:不同

23、）不同） （答案（答案:相同相同,相同）相同）nkTP kT23kT23nkTP 21 将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单将理想气体模型稍作修改，即将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。这样，气体分子除平动外，还有转动和分子体。这样，气体分子除平动外，还有转动和分子内原子之间的振动。作为统计初步，可不考虑分内原子之间的振动。作为统计初步，可不考虑分子内部的振动，而认为分子是刚性的。为用统计子内部的振动，而认为分子是刚性的。为用统计方法计算分子动能，首先介绍自由度的概念方法计算分子动能，首先介绍自由度的概念5 能均分定理能均分定理

24、 理想气体的内能理想气体的内能1. 自由度自由度自由度：在力学中，自由度是指决定一个物体的自由度：在力学中，自由度是指决定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数空间位置所需要的独立坐标数. . t : 平动自由度平动自由度, , r : 转动自由度转动自由度22单原子分子单原子分子(自由自由运动质点运动质点) t = 3刚性双原子分子刚性双原子分子 t =3 r =2（两个被看作质点的原子被一条几何线连接）（两个被看作质点的原子被一条几何线连接）刚性多原子分子刚性多原子分子 t =3 r =31coscoscos222质心：质心：3x，y，zc方位：方位：2 ， 转动：转动：1 xOyz),(z

25、yx)He(232. 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理kTvm23221222231vvvvzyxkTvmvmvmvmzyx21)21(312121212222平方项的平均值平方项的平均值平动自由度平动自由度kT21一个分子的平均平动能为：一个分子的平均平动能为：平衡态下平衡态下可得：可得：分子的每一个平动自由度的平均动能都等于分子的每一个平动自由度的平均动能都等于推广到转动等其它运动形式，得推广到转动等其它运动形式，得能量均分定理能量均分定理。24在温度为在温度为T的平衡态下，气体分子每个自的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于由度的平均动能都相等，都等于 。kT21

26、是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。 是气体分是气体分子无规则碰撞的结果。经典统计物理可给出严格证明。子无规则碰撞的结果。经典统计物理可给出严格证明。非刚性双原子分子非刚性双原子分子除平动能、转动能，除平动能、转动能，还有振动能：还有振动能：每个振动自由度分配平均能量每个振动自由度分配平均能量 2 倍倍振动自由度振动自由度 = 1kT21222121krdtdrE振动221kr势能：kTsrtkTs)2(212125此结论在与室温相差不大的温此结论在与室温相差不大的温度范围内与实验近似相符。度范围内与实验近似相符。i 表示一个分子的总自由度表示一个分

27、子的总自由度 N 表示气体分子的总数表示气体分子的总数 表示气体总摩尔数表示气体总摩尔数分子的平均动能分子的平均动能 理想气体的内能理想气体的内能kTi2RTiNkTiNU223. 理想气体的内能理想气体的内能内能：热力学系统的全部微观粒子具有能量总和，包括大量内能：热力学系统的全部微观粒子具有能量总和，包括大量分子热运动的动能、分子间的势能、分子内原子内及核内的分子热运动的动能、分子间的势能、分子内原子内及核内的能量。这里特指前两种，用能量。这里特指前两种，用 E 表示。对于刚性分子，不计表示。对于刚性分子，不计分子间势能，内能仅包括所有分子的平均动能之和。分子间势能，内能仅包括所有分子的平

28、均动能之和。理想气体的内能只是温度的函理想气体的内能只是温度的函数而且与热力学温度成正比数而且与热力学温度成正比26一）兰媚尔实验一）兰媚尔实验原理原理：速率筛每旋转一周，分子通过：速率筛每旋转一周，分子通过W，到达屏上，但不是所有速率的分子都能到达屏上，但不是所有速率的分子都能通过分子筛的。只有满足关系：通过分子筛的。只有满足关系：vl的分子才的分子才能通过能通过lv即只有速率为：即只有速率为：的分子才能通过的分子才能通过。,改变改变 等可让不同速率的等可让不同速率的分子通过分子通过P分子源分子源（装置置于真空之中）（装置置于真空之中）SWW W W狭缝屏狭缝屏淀积屏淀积屏速率筛速率筛l6

29、麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律1. 分子速率的实验测定分子速率的实验测定27OV相对粒子数相对粒子数粒子速率分布实验曲线粒子速率分布实验曲线粒子速率分布实验曲线如下所示粒子速率分布实验曲线如下所示2. 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律dvvekTmNNkTmv2232224d2232224)(vekTmvfkTmvpv)(vfvO)(vfv麦克斯韦的主要科学麦克斯韦的主要科学贡献在电磁学方面，贡献在电磁学方面，同时在天体物理学、同时在天体物理学、气体分子运动论、热气体分子运动论、热力学、统计物理学等力学、统计物理学等方面，都作出了卓越方面，都作出了卓越的成绩。的成绩。 28 麦克斯韦

30、速率分布律麦克斯韦速率分布律（一定条件下，速率分布函数的具体形式）（一定条件下，速率分布函数的具体形式）dvvekTmNdNkTmvv2223224 2223224vekTmvfkTmv麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间忽略时，分布在任一速率区间 vv+dv 的分子的分子数占总分子数的比率为数占总分子数的比率为29曲线下面宽度为曲线下面宽度为 dv 的小窄条面的小窄条面积等于分布在此速率区间内的积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的比率分子数占总分子数的比率dN/N 。麦克斯韦速率

31、分布曲线麦克斯韦速率分布曲线dvvfNdN)(vPv v+dvf(v)vf(vP)最最 概概 然然 速速 率率与与 f(v)极大极大值对应的速率。值对应的速率。物理意义物理意义：若：若把整个速率范围划分为许多相把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在等的小区间，则分布在vP 所在所在区间的分子数比率最大。区间的分子数比率最大。 当当 v = vp时时 0dvvdfRTmkTvp22 1218ekTmvfp30温度越高，速率温度越高，速率大的分子数越多大的分子数越多RTmkTvp22 1218ekTmvfpT3 T2 T1vp 随随 T 升高而增大，随升高而增大，随 m 增大而减小。增大而

32、减小。 可讨论可讨论 T 和和 m 对速率分布的影响。对速率分布的影响。 10dvvff(vp1) f(vp2) f(vp3)f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2o同一气体不同温度下速率分布比较同一气体不同温度下速率分布比较31 dvvvf0RTmkTv88 dvvfv02mkTv32RTmkTv332 dvvfvgvg0平均速率平均速率 和方均根速率和方均根速率v2v 三种速率均与三种速率均与 , 成反比，但三者有一个成反比，但三者有一个确定的比例关系确定的比例关系;三种速率使用于不同的场合。三种速率使用于不同的场合。mTNNvvN022dNNvvN0dpvv2v3

33、2例例: : 试计算气体分子热运动速率的大小介于试计算气体分子热运动速率的大小介于 vp- vp/100 和和 vp+vp/100 之间的分子数占总分子数的百分数。之间的分子数占总分子数的百分数。pppvvvv1009910050100100pppppvvvvvv 在此利用在此利用vp ，引入引入W=v/ vp ，把麦克斯韦速率分布律改，把麦克斯韦速率分布律改写成如下简单形式：写成如下简单形式：WeWWWfNNW224)(解解: : 按题意按题意现在现在10099pvvW 501pvvW%66. 15011009942100992eNN33速度空间的概念速度空间的概念 表示分子的速度表示分子的

34、速度以其分量以其分量vx、 vy、 vz为轴可构成一直角坐标系，为轴可构成一直角坐标系， 由此坐标系所确定的空间为速度空间。由此坐标系所确定的空间为速度空间。v0vdvvdV24VzVyVxzyxdvdvdvdV 速率空间体积元速率空间体积元速度空间体积元速度空间体积元麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律34在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时，在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时，速度分量速度分量vx在区间在区间vxvx+dvx，vy 在区间在区间vyvy+dvy，vz在在区间区间vzvz+dvz内的分子数占总分子数的比率为内的分子数占总分子数的比率为zyxkTvvvmvvv

35、dvdvdvekTmNdNzyxzyx2232222kTvvvmzyxzyxekTmv ,v ,vf2232222为麦克斯韦速度分布函数。为麦克斯韦速度分布函数。dvxdvydvz为速度空间的一个体积元。为速度空间的一个体积元。356-7 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律麦氏速度分布律为麦氏速度分布律为zyxvvvdvdvdvekTmNdNkTzvyvxvmzyx2222232Kzyxmvvvvm2222212其指数仅包含其指数仅包含分子运动动能分子运动动能 设气体分子处于某一保守力场中，分子势能为设气体分子处于某一保守力场中，分子势能为 ，p用用Pk代替代替k分子力场的影响，按空间位置分子力场的

36、影响，按空间位置的分布却是不均匀的，依赖于的分布却是不均匀的，依赖于分子所在力场的性质。分子所在力场的性质。用用x、y、z、 vx、 vy、 vz 为为轴构成的六维空间中的体积轴构成的六维空间中的体积元元dxdydzdvxdvydvz 代替速度代替速度空间的体积元空间的体积元dvxdvydvz zyxkTdvdvdxdydzdvekTmndNPK230236玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律（玻尔兹曼分子按能量分布定律）（玻尔兹曼分子按能量分布定律）当系统在力场中处于平衡态时，当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间其中坐标介于区间xx+dx、yy+dy、zz+dz内，内，同时速度介于同时速度介

37、于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz内内的分子数为的分子数为zyxkTdvdvdxdydzdvekTmndNPK23020Pn0为在为在 处，单位体积处，单位体积内具有各种速度的分子总数。内具有各种速度的分子总数。37求单位体积分子数求单位体积分子数n 将玻尔兹曼分布率积分将玻尔兹曼分布率积分, ,有有dxdydzendvdvdvekTmdxdydzenNdkTzyxkTkTPKP02302kTPendxdydzNdn0mghPRTghkTmghenenn00重力场中粒子按高度的分布（重力场中粒子按高度的分布（ ）38等温大气压强公式（高度计原理）等温大气压强公式（高度计原理

38、）RTghenn0RTghePP0每升高每升高1010米，大气压强降低米，大气压强降低133133Pa。近似符合实际，可粗略估计高度变化。近似符合实际，可粗略估计高度变化。假设：大气为理想气体假设：大气为理想气体 不同高度处温度相等不同高度处温度相等利用：利用：P = nkT可得可得: :39奥地利物理学家玻耳兹曼是统计力学的奠基者奥地利物理学家玻耳兹曼是统计力学的奠基者 18661866年年2 2月月6 6日，不满日，不满2222岁的玻耳兹曼向维也岁的玻耳兹曼向维也纳科学院宣读了他的博士论文，其题目是纳科学院宣读了他的博士论文，其题目是“力学在热力学第二定律中的地位和作用力学在热力学第二定律

39、中的地位和作用”。 经过两年的思考，经过两年的思考， 18681868年，玻耳兹曼在年，玻耳兹曼在“关于运动质点活关于运动质点活力平衡研究力平衡研究”的文章中，把麦克斯韦的气体分子速度分布的文章中，把麦克斯韦的气体分子速度分布律从单原子气体推广到多原子乃至用质点系看待分子体系律从单原子气体推广到多原子乃至用质点系看待分子体系平衡态的情况，把统计学的思想引入分子运动论。平衡态的情况，把统计学的思想引入分子运动论。正值玻耳兹曼即将完成博士论文之际，麦克斯正值玻耳兹曼即将完成博士论文之际，麦克斯韦相继发表了两篇关于气体动力学方面的论文韦相继发表了两篇关于气体动力学方面的论文，并计算出了分子速度的麦克

40、斯韦分布律。玻，并计算出了分子速度的麦克斯韦分布律。玻耳兹曼随即转向研究麦克斯韦的工作领域。耳兹曼随即转向研究麦克斯韦的工作领域。40然而，在当时实证主义思潮正席卷物理学界，机械自然观的然而，在当时实证主义思潮正席卷物理学界，机械自然观的局限性逐渐暴露的背景下，玻耳兹曼以局限性逐渐暴露的背景下，玻耳兹曼以分子原子假设分子原子假设为基础为基础的观点，被学术界充斥为是不能实证的虚构的的观点，被学术界充斥为是不能实证的虚构的“数学模型数学模型”或假设，受到了强烈批评及指责；或假设，受到了强烈批评及指责； 18951895年，玻耳兹曼从慕尼黑大学聘到母校维也纳大学年，玻耳兹曼从慕尼黑大学聘到母校维也纳

41、大学, ,大多大多数学生仅仅选择玻耳兹曼为第二指导老师，不像玻耳兹曼数学生仅仅选择玻耳兹曼为第二指导老师，不像玻耳兹曼在格拉茨和慕尼黑那样，学生争着拜他为第一导师。无疑在格拉茨和慕尼黑那样，学生争着拜他为第一导师。无疑也刺痛了玻耳兹曼的自尊心。也刺痛了玻耳兹曼的自尊心。玻耳兹曼把所有的时间都投入到对哲学的疯狂研究中去，完玻耳兹曼把所有的时间都投入到对哲学的疯狂研究中去，完成一本系统阐述自己见解的哲学著作成为他的一个最大夙愿成一本系统阐述自己见解的哲学著作成为他的一个最大夙愿。然而，令人遗憾的是，还没有等著作完成，这位孤独者于。然而，令人遗憾的是，还没有等著作完成，这位孤独者于19061906年

42、年9 9月月5 5日以上吊自杀的方式结束了自己的生命，解脱了日以上吊自杀的方式结束了自己的生命，解脱了心中的一切烦恼。玻耳兹曼的死因成为物理学史上极其令人心中的一切烦恼。玻耳兹曼的死因成为物理学史上极其令人痛心的一桩事件，它既为后人研究他的思想提供了想像的余痛心的一桩事件，它既为后人研究他的思想提供了想像的余地，同时也留下了一个永远难以揭开的谜。地，同时也留下了一个永远难以揭开的谜。411. 分子碰撞分子碰撞分子间的无规则碰撞在气体由非平衡态过渡到分子间的无规则碰撞在气体由非平衡态过渡到平衡态的过程中起着关键作用。平衡态的过程中起着关键作用。在研究分子碰撞规律时，可把气体分子看作无吸在研究分子

43、碰撞规律时，可把气体分子看作无吸引力的有效直径为引力的有效直径为d 的刚球。的刚球。8 分子平均碰撞次数分子平均碰撞次数 平均自由程平均自由程 分了碰撞也是分了碰撞也是“无规则无规则”的的, ,相隔多长时间相隔多长时间碰撞一次碰撞一次, ,每次飞翔多远才碰撞每次飞翔多远才碰撞 ，也都有是随机，也都有是随机的、偶然的，因此也只能引出一些的、偶然的，因此也只能引出一些平均值来描写平均值来描写。42气体分子自由程气体分子自由程线度线度 10-8m一个分子连续两次碰撞之一个分子连续两次碰撞之间经历的平均间经历的平均 自由路程叫自由路程叫平均自由程平均自由程 一个分子单位时间里一个分子单位时间里受到平均

44、碰撞次数叫受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率平均碰撞频率 Zzv 单位时间内分子经历单位时间内分子经历的平均距离的平均距离 v ，平，平均碰撞均碰撞 Z 次次2. 平均自由程平均自由程 平均碰撞频率平均碰撞频率43 平均自由程平均自由程 和和平均碰撞频率平均碰撞频率 的计算的计算 Zvu2A分子分子A的运动轨迹为一折线的运动轨迹为一折线以以A的中心运动轨迹（图中的中心运动轨迹（图中虚线）为轴线，以分子有虚线）为轴线，以分子有效直径效直径d为半径，作一曲折为半径，作一曲折圆柱体。凡中心在此圆柱圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与体内的分子都会与A相碰。相碰。跟踪分子跟踪分子A，看其在一段时间，看其

45、在一段时间 t内与内与 多少分子相碰。多少分子相碰。u假设：其他分子静止不动，只有分子假设：其他分子静止不动，只有分子A在它们之在它们之间以平均相对速率间以平均相对速率 运动。运动。44在在 t 内，内，A所走过的路程为所走过的路程为 ， 相应圆柱体的相应圆柱体的体积为体积为 ， 设气体分子数密度为设气体分子数密度为n。则。则中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在中心在此圆柱体内的分子总数，亦即在 t时间时间内与内与A相碰的分子数为相碰的分子数为 。 平均碰撞频率为平均碰撞频率为tu tu tun unttunZ vu2nvdnvZ222圆柱体的截面积为圆柱体的截面积为 ，叫做分子的碰撞截面。，叫做分子的碰撞截面。 = d2A45平均自由程为平均自由程为ndn22121PdkT22nkTP Z在标准状态下，多数气体平均自由程在标准状态下，多数气体平均自由程 10-8m，只有氢气约为只有氢气约为10-7m。一般。一般d10-10m，故，故 d。可求得可求得 109/秒。秒。 每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！每秒钟一个分子竟发生几十亿次碰撞！说明：平均自由说明：平均自由程与分子有效直程与分子有效直径的平方及单位径的平方及单位体积内的分子数体积内的分子数成反比，与平均成反比，与平均速率无关。速率无关。46例题例题1：在某一容器内盛有质量相同的两种理想气体，摩尔质：在某一容器