现代控制理论与控制算法刘敏学习教案

1、会计学1现代控制现代控制(kngzh)理论与控制理论与控制(kngzh)算法刘敏算法刘敏第一页，共61页。n内部描述：状态方程、输出方程n是基于系统内部分析(fnx)的一类数学模型，它需要有2个数学方程来组成n一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数学表达式，称状态方程。n另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换关系的数学表达式，称输出方程。第2页/共61页第二页，共61页。n以状态变量为元所组成的向量,称为状态 向量。如x1(t)、x2(t)xn(t)是系统一组状态变量。则状态向量为n状态空间n以状态变量x1,x2,xn为坐标轴,组成的n维正交空间称为状态空间n状

2、态空间中的每一点都代表(dibio)了状态变量的唯一的，特定的一组值第3页/共61页第三页，共61页。SDOF无控结构(jigu)运动方程0000( );( )gmx cxkxmxx tvx tx写成向量矩阵形式：2 12 1( )01( )0( )/( )1gx tx txx tk mc mx t激 励响 应SDOF结 构gx , k cm第4页/共61页第四页，共61页。SDOF主动(zhdng)控制结构的运动方程( )( )( )( )( )gmx tcx tkx tmx tu t引入状态向量定义,主动控制结构状态方程2 1( )( )( )x tz tx t00( )( )( )( )

3、( )z tAz tBu tDF tz tz写成向量矩阵形式：2 12 1( )01( )00( )/( )11gx tx tuxx tk mc mx t gx , k cm( )u t激 励响 应SDOF结 构+控制器ABS第5页/共61页第五页，共61页。nM、C和分别是结构质量、阻尼和刚度矩阵n是环境干扰(gnro)n是环境干扰(gnro)位置矩阵；n分别是结构初始位移向量和初始速度向量 tFDtKXtXCtXMs 0000 XtXXtXnnRKnRX rnsRD rRtF 00tXtX和第6页/共61页第六页，共61页。n其中，都是独立变量pnsRB2 pRtU tXtX和 tUBtF

4、DtKXtXCtXMss 作动器作动器第7页/共61页第七页，共61页。n其中， tUBtFDtKXtXCtXMss 12 ntXtXtZ 00ZtZtDFtBUtAZtZCMKMIAnn110pnspnBMB210rnsrnDMD210第8页/共61页第八页，共61页。n为输出向量n称为(chn wi)输出矩阵n称为(chn wi)直接传递矩阵 mRtYnmRC20pmrmRBRD00和 tUBtFDtZCtY000 00ZtZtDFtBUtAZtZ第9页/共61页第九页，共61页。nGi(i=0,1,2,3)是恰当维数的反馈增益矩阵(j zhn)n代入受控系统运动微分方程，得n主动控制通过

5、改变干扰和结构动力特性控制结构响应 tFDtUBtZCtYZtZtDFtBUtAZtZ00000 tXGtXGtXGtFGtU 3210 tFGBDXGBKXGBCXGBMsssss0123 第10页/共61页第十页，共61页。( )( )ssMXCXKXDF tBU t00000( )( )( )( );( )( )( )( )( )Z tAZ tBU tDF tZ tZY tC Z tBU tDF t第11页/共61页第十一页，共61页。n(cnzi)的系统，方阵A为实常阵，其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。n对系统作非奇异线性变换，其特征值不变。n设为A的一个特征值，若存在(cnzi

6、)某个非零向量V，使AV=V则称V为A的属于的特征向量.（注下角标i）ZAZBU0IA第12页/共61页第十二页，共61页。对于多输入(shr)多输出线性系统：进行(jnxng)Laplace变换并整理，得输入到输出的传递函数00( )( )( )( )( )( )Z tAZ tBU tY tC Z tDU t1100( )()( )( ) () ( )Z ssIABU sY sC sIAB D U s100( ) () ( )UYijTsC sIAB Dt s对于一线性系统，状态方程系数矩阵形式可能不唯一（通过非奇异线性变换），但是传递函数矩阵是不变的！系统特征值是唯一的！第13页/共61页

7、第十三页，共61页。第14页/共61页第十四页，共61页。一般系统的状态方程可以(ky)表示为0( )( ( ), ( ), );(0)Z tF Z t U t tZZ一般情况下F为时变的非线性函数(hnsh)。若F不显含时间t，则系统是定常的非线性系统，如果F既不显含t又是Z的线性函数(hnsh)，则系统是定常线性系统。在输入(shr)U(t)0情况下，若00( )( )eeZ tZZ tZtt 则Ze为系统的平衡状态，满足平衡方程0(,0, )0;eF Zttt注意：对任意系统平衡点未必存在、也未必唯一。动态系统的稳定性第15页/共61页第十五页，共61页。零输入(shr)情况下，系统的状

8、态方程可以表示为0( )( ( ),0, );(0)Z tF Z ttZZ系统的稳定性根据自由响应是否(sh fu)有界来定义，若系统初始条件在此初始条件下，若0( )Z ttt则系统是Lyapunov稳定(wndng)的（原点稳定(wndng)） ，并且若初始条件与时间无关则系统是一致稳定(wndng)的。000( , )0,( , )0Ztt 动态系统的稳定性第16页/共61页第十六页，共61页。若系统(xtng)原点稳定，且( )0limtZ t则系统在原点是渐进(jinjn)稳定的，只有渐进(jinjn)稳定的结构才是稳定的结构。Lyapunov稳定的结构为临界稳定结构，属于不稳定结构

9、。此外，它们都是系统的局部性质。系统的平衡状态(zhungti)在多大范围内具有稳定性质？如何扩大该范围？系统大范围稳定的必要条件：在求解域内只有一个平衡状态(zhungti)。思考：动态系统的稳定性第17页/共61页第十七页，共61页。零输入情况下，线性系统的状态方程可以(ky)表示为0( )( )(0)Z tAZ tZZ系统(xtng)存在状态转移矩阵0000( )( , )( , )Z tt t Zt tZ 0( , )t t根据(gnj)矩阵范数性质系统Lyaponov稳定的充分必要条件是存在正实数s，满足00( , )( )t ts t若下式成立则系统是渐进稳定的0lim( , )0

10、tt t动态系统的稳定性:线性系统的稳定性第18页/共61页第十八页，共61页。线性系统的稳定性与系统初始状态无关(wgun)，其在整个定义域是渐进稳定的。考虑(kol)线性定常系统的状态转移矩阵00()()10j=1,2, ,n( , )diagjt tA t tt teSeS因此线性定常系统状态转移(zhuny)矩阵的性质决定于系统系数矩阵A的特征值的性质jjji0()0lim0lim( , )0jt tttet t 若全部特征值实部小于0，则线性定常系统稳定的充要条件！动态系统的稳定性：线性系统第19页/共61页第十九页，共61页。Lyapunov直接法或第二法（A.M. Lyapuno

11、v），定义弹簧质量阻尼SDOF系统能量(nngling)，例如22T111( )( )( )( )( )222DVE tEEmx tkx tZ t PZ t若 ，则系统渐进稳定 ( )0E t 若 ，则系统Lyapunov稳定 ( )0E t 若 ，则系统不稳定 ( )0E t 很难找到统一的能量函数描述系统(xtng)的能量关系，定义一个正定的标量函数v(Z)，引出如下稳定性判据：动态(dngti)系统的稳定性第20页/共61页第二十页，共61页。判据1：若存在Lyapunov函数v(Z(t)，使 ，则系统是Lyapunov稳定的；( ( )0v Z t 判据2：若存在Lyapunov函数v

12、(Z(t)，使 ，则系统是渐进稳定的；( ( )0v Z t 判据3：若存在Lyapunov函数v(Z(t)，使 且当 则系统在整个定义域是渐进稳定的；( ( )0v Z t Z 时v(Z)Lyapunov函数(hnsh)不唯一，即使不能找到一个Lyapunov函数(hnsh)，也不能说明系统是不稳定的！动态(dngti)系统的稳定性第21页/共61页第二十一页，共61页。(rnh)初始状态都是能控的，则称系统是完全能控的。n系统的能控性特点n能控性考察的是控制系统状态转移的可能性，因此：n能控性与状态的具体量值无关；n也不管系统状态转移的轨迹。 0000 ZtZZtZtBUtAZtZ第22页

13、/共61页第二十二页，共61页。 0000 ZtZZtZtBUtAZtZnpnnBABAABBN2222第23页/共61页第二十三页，共61页。n数学描述：已知上述系统方程及其在时间区间t0,t1的输出Y(t)，能否唯一(wi y)地确定系统在初始时刻的状态Z(t0)=Z0。n若能，则称该系统在t0是能观的；n若对所有t0和Z0系统能观,则称系统完全能观,简称能观。 tZCtYZtZtAZtZ000 第24页/共61页第二十四页，共61页。n的秩为2n。n2.系统独立振型判别法n略 tZCtYZtZtAZtZ000 nnmnACACACCL221202000第25页/共61页第二十五页，共61

14、页。n线性系统(1)是一个p维输入m维输出的系统；其对偶系统(2)是一个m维输入p维输出的系统。n互为对偶的两个线性系统的输入端和输出端互换；信号传递方向(fngxing)相反；对应的系统矩阵转置。 tZCtYtUBtZAtZtZCtYtUBtZAtZ202222222101111111 .;202201222121212221221npnmmnpnpmmpnnnRCRCRBRBRYRYRURURAARZZ、TTTBCCBAA20102121 第26页/共61页第二十六页，共61页。n系统(1)的能观性等价于系统(2)的能控性。n上述关系称为对偶性原理。n对偶性原理的应用n利用上述对偶性关系，

15、可以把一个线性系统的能控性分析得出(d ch)的结论用于其对偶系统的能观性分析。反之亦可。 tZCtYtUBtZAtZtZCtYtUBtZAtZ202222222101111111 第27页/共61页第二十七页，共61页。 结构模型(mxng) 相对坐标系统 层间坐标系统 第28页/共61页第二十八页，共61页。系数 状态方程系数矩阵取值 闭环特征值 体系固有频率 阻尼比 A 0 0 1 0 0 0 0 1 -6.25 2.25 -0.14 0.06 2.25 -2.25 0.06 -0.06 -1.43e-002+1.11e+000i -1.43e-002-1.11e+000i -8.57e

16、-002+2.69e+000i -8.57e-002-2.69e+000i 1.11e+000 2.69e+000 1.28e-002 3.18e-002 A 0 0 1 0 0 0 0 1 -4 2.25 -0.08 0.06 -4 -4.5 0.08 -0.12 -1.43e-002+1.11e+000i -1.43e-002-1.11e+000i -8.57e-002+2.69e+000i -8.57e-002-2.69e+000i 1.11e+000 2.69e+000 1.28e-002 3.18e-002 n两种坐标下系数(xsh)矩阵 A 第29页/共61页第二十九页，共61页。

17、2222221111111000001001000000mmmmmmEMB1220MB21111mmMn两种坐标下位置(wi zhi)矩阵 B 第30页/共61页第三十页，共61页。HH2和第31页/共61页第三十一页，共61页。n极点配置n利用状态反馈或输出反馈，可以把一个系统的极点移至复平面内的任意位置，这个过程称为系统的极点配置。n系统极点配置与干扰无关(wgun)，讨论如下的线性定常系统22 , 11jjjjjiijj和和, tZCtYtBUtAZtZ0第32页/共61页第三十二页，共61页。 tBUtAZtZ tGZtU tZBGAtZ 01221222122222BAIGIAIBG

18、AIIAIBGAIIAIBGAIBGAInpnnnnnnnnnc02 AIn其中，其中， 不是原开环系统的特征值不是原开环系统的特征值闭环系统特征值方程可写为闭环系统特征值方程可写为012BAIGInp第33页/共61页第三十三页，共61页。012BAIGInp jijijjeGGe 0 或 pnniiRBAI212 列的第和分别是和jIReRpipjnij12 AInpBAIn12rank(1) (1) 如果如果 是不同的特征值，是不同的特征值，那么，在矩阵那么，在矩阵 中，总可以找到中，总可以找到2n个线性独立个线性独立的列的列, ,组成可逆方阵组成可逆方阵nii2 , 2 , 1 nnn

19、njjjR22222211, npnR22 (2)(2)相应地，从相应地，从IpIp中选取中选取2n2n个列向量组成个列向量组成(z chn)(z chn)矩阵矩阵e=ej1,ej2,ej2ne=ej1,ej2,ej2n则，则，反馈增益矩阵反馈增益矩阵为为1eG第34页/共61页第三十四页，共61页。1001,3020BA5, 321( (1 1) )判断系统能控性：由给定系统矩阵判断系统能控性：由给定系统矩阵A、B, ,230102001rankrankABB因此系统完全能控，可任意配置极点。因此系统完全能控，可任意配置极点。( (2 2) )计算计算 3103211BAI第35页/共61页

20、第三十五页，共61页。1eG(4)(4)计算反馈增益矩阵计算反馈增益矩阵方法一：选取方法一：选取 212211ee 、和相应的、8056381020131100111G( (3 3) )对于期望的闭环系统极点对于期望的闭环系统极点 ，分别有，分别有5, 321810201515,6109131311第36页/共61页第三十六页，共61页。1eG(4)(4)计算反馈增益计算反馈增益(zngy)(zngy)矩阵矩阵方法二：选取方法二：选取 122112ee 、和相应的、6031050615191011012G(5)(5)讨论讨论 经验算知，状态反馈增益矩阵经验算知，状态反馈增益矩阵G1、G2都可以

21、使闭环都可以使闭环系统具有期望的极点，上述设计均无错误。系统具有期望的极点，上述设计均无错误。 但但G1、G2不同，相应的不同，相应的控制输入和能量消耗控制输入和能量消耗就不一就不一样。样。应合理考虑状态反馈增益矩阵的应合理考虑状态反馈增益矩阵的最优选择问题最优选择问题。第37页/共61页第三十七页，共61页。 tZCtYtBUtAZtZ0 tZCGtYGtU0 tZCBGAtZ0 01202012220202BAICGIAICBGAIIAICBGAICBGAInpnnnnnnc其中，其中， pmnRBAIC12002 AIn其中，其中， 不是原开环系统的特征值不是原开环系统的特征值则系统则系

22、统(xtng)(xtng)特征值方程可写为特征值方程可写为 0GIp第38页/共61页第三十八页，共61页。则，则，输出反馈增益矩阵输出反馈增益矩阵为为111G 0GIp npmnR2221设设 是闭环系统的是闭环系统的2n个互异的特征值，则从个互异的特征值，则从nii2 , 2 , 1中选取一些线性独立的列中选取一些线性独立的列 组成的组成的矩阵的秩不会超过矩阵的秩不会超过C0的秩。也就是说，的秩。也就是说，(A,B)完全能控，完全能控，且且 ，那么，那么闭环系统闭环系统2n个特征值中，仅有个特征值中，仅有m个可以任意配置个可以任意配置。 niRmij2 , 2 , 1nmmC0rank设从

23、设从 中找出中找出m列构成一个列构成一个(mm)的非奇异的非奇异矩阵矩阵 ；相应地，从；相应地，从Ip中选取中选取m个列向量组成矩阵个列向量组成矩阵 npmR211 mpjmjjmmmjmjjReeeR21122111第39页/共61页第三十九页，共61页。n其二次型性能泛函为 021tTTdttRUtUtQZtZJ tZCtYZtZtBUtAZtZ000 第40页/共61页第四十页，共61页。n约束条件：系统的状态方程 021tTTdttRUtUtQZtZJ tUBtZCtYZtZtBUtAZtZ0000 第41页/共61页第四十一页，共61页。n得 ZPBPBRQZZvTT1 PZZZvT

24、 ZPZPZZZvTT tZPBBRAtZT101QPBPBRPAPATT第42页/共61页第四十二页，共61页。nn的系统矩阵的特征值均具有负实部n不管(bgun)原系统稳定性如何 ZPBPBRQZZvTT1 PZZZvT Zv tZPBBRAtZT1PBBRAT1第43页/共61页第四十三页，共61页。n权矩阵Q、R对控制(kngzh)效果和控制(kngzh)力都有显著影响n一般，Q越大受控结构响应越小，控制(kngzh)效果越好nR越大，控制(kngzh)输入越小，控制(kngzh)效果越差n综合考虑控制(kngzh)目标和控制(kngzh)输入，选取合适的权矩阵 tXCtXKtXtXC

25、KtGZtUGGGG tFDtXKBKtXCBCtXMsGsGs 021tTTdttRUtUtQZtZJ第44页/共61页第四十四页，共61页。 tUBtZCtYZtZtBUtAZtZ0000 rmpmnmRDRBRC0020,第45页/共61页第四十五页，共61页。 nnICtZCtYZtZtBUtAZtZ220000 pmnmRBRCttUBtZCtYZtZttBUtAZtZ020200001, 第46页/共61页第四十六页，共61页。估计系统全状态，再计算最优控制输入U(t) 。 00 ZtZtDFtBUtAZtZ第47页/共61页第四十七页，共61页。n形式n状态方程的模态控制n运动方

26、程的模态控制n更方便，物理意义更明确第48页/共61页第四十八页，共61页。交，则得广义模态坐标运动方程n式中， 0000 XtXXtXtUBtKXtXCtXMs tqtX TNtqtqtqtq21T KKdiagKCCdiagCMMdiagMTiTiTi* tLUtUBtUsT*广义广义(gungy)(gungy)矩阵矩阵 tUtqKtqCtqM* 解耦方程解耦方程第49页/共61页第四十九页，共61页。nn的前nc列构成的n nc维矩阵n是nc p维矩阵n计算广义最优控制力 tqtXcc Tnctqtqtqtqc21 tULtUBtUcscc* tUtqKtqCtqMcccc* 和、分别是

27、和、*KCMKCMccccsTccBL tqtqGUcc* TcnccctUtUtUtUc*2*1*第50页/共61页第五十页，共61页。n其中(qzhng)，的上nc行组成的nc n维矩阵 tXtX和 tqtqGUcc*11 是c tUc* tXGtXGLtULtUccccccc1211*1 pnLLLpnLLLpnLLcTccTccTccTcccc 111第51页/共61页第五十一页，共61页。是稳定的n滑移模态控制包括滑移面的确定和控制器的设计两部分解耦方程解耦方程(fngchng)(fngchng) tUc*第52页/共61页第五十二页，共61页。nn层间刚度为n结构阻尼矩阵按Rayl

28、eigh阻尼确定n前两阶振型阻尼比为n结构的外干扰为El Centro(NS,1940)地震波，峰值200Gal3 , 2 , 1kg1043imi3 , 2 , 1N/m1028ikiKMCcc%521作动器作动器第53页/共61页第五十三页，共61页。(kg) 104000400040000005321mmmMs/m)(N 108220. 05286. 005286. 03506. 15286. 005286. 03506. 10026. 07334. 06KMKMCcc(N/m) 10220242024008333322221kkkkkkkkkK第54页/共61页第五十四页，共61页。n

29、3.主动控制设计（各种算法）100110011,321sTBuuuU受控结构系统的运动受控结构系统的运动(yndng)(yndng)方程为方程为 tUBtxMtKXtXCtXMsg 1TxxxxxxZ321321相应的状态方程为相应的状态方程为 txDtBUtAZtZg 其中，其中，6611330CMKMIA36130sBMB1611310MMD第55页/共61页第五十五页，共61页。由目标函数，选取权矩阵由目标函数，选取权矩阵Q、R分别为分别为63108 ,100 , 00IRMKQ通过此通过此Q设计的主动控制力将使结构控制系统的能量最小。设计的主动控制力将使结构控制系统的能量最小。 021

30、tTTdttRUtUtQZtZJ(1)(1)控制参数控制参数Q、R tGZtURQBAG63,lqr(2)(2)控制力状态反馈增益矩阵控制力状态反馈增益矩阵G G最优控制力最优控制力第56页/共61页第五十六页，共61页。则结构控制系统的反应可由则结构控制系统的反应可由lsimlsim函数函数(hnsh)(hnsh)求解，即求解，即 txDtZBGAtZg 计算得到结构层间最大位移反应、最大加速度反应和计算得到结构层间最大位移反应、最大加速度反应和最大控制力。最大控制力。(3)(3)结构控制系统反应分析结构控制系统反应分析将将U(t)=-GZ(t)代入受控系统状态方程得代入受控系统状态方程得txDCDBG