苏教版高中数学选修（1-2）-2.2《直接证明》参考课件2

1、2.2.1 2.2.1 直接证明直接证明引例引例1:1:已知已知: :四边形是四边形是ABCDABCD平行四边形平行四边形. .求证求证:AB=CD,BC=DA:AB=CD,BC=DA2 21 13 34 4证明证明: :连结连结AC, AC, 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 ABCD,BCCDABCD,BCCD故故1=2, 3=41=2, 3=4又又AC=CA ABCCDAAC=CA ABCCDAAB=CD,BC=DAAB=CD,BC=DAA AB BC CD D直接从原命题的条件逐步推得命题成直接从原命题的条件逐步推得命题成立立, ,这种证法通常称为这种证法通常称为直

2、接证明直接证明. .直接证明的直接证明的一般形式一般形式: :A AB BC C 本题结论本题结论已知定义已知定义本题条件本题条件已知公理已知公理已知定理已知定理引例引例2 2：回顾基本不等式：回顾基本不等式： (a0,b0)(a0,b0)的证明的证明. .a a + + b ba ab b2 2证明证明: :因为因为: : 所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2证明证明: :要证要证只需证只需证: :只需证只需证: :只需证只需证: :因为因为: : 成立成立

3、所以所以 成立成立 a a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba ab b2 2利用已知条件和某些数学定义、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等定理等, ,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证, ,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立, ,这种证明方这种证明方法叫做法叫做综合法综合法用用P P表示表示已知条件、已有的定义、公理、已知条件、已有的定义、公理、定理定理等等, ,Q Q表示所要表示所要证明的结论证明的结论. .则综合法用框图表示为

4、则综合法用框图表示为: :1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q综合法推证过程综合法推证过程: :已知条件已知条件结论结论由因导果由因导果 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做等）为止，这种证明的方法叫做分析法分析法 特点：特点：由果索因由果索因.

5、.已知条件已知条件结论结论分析法推证过程分析法推证过程: :用框图表示分析法的思考过程、特点用框图表示分析法的思考过程、特点. .1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论直接证明（数学理论）上述两种证法有什么异同？都是直接证明都是直接证明证法证法1 1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止为止 综合法综合法相同不同不同 证法证法2 2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，

6、直到使结论成立的条件和已知条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止条件吻合为止 分析法分析法直接证明（例题）.1DFCEBFAEBDOACOOCDAB，求证：，交于点，如图，已知例直接证明证证 （综合法综合法） 因为因为BDOACO因为因为所以所以又因为又因为所以所以BOAODOCO（已知）BFAE FOEO （对顶角相等）FODEOC所以所以FODEOC所以所以FDEC 直接证明证证 （分析法分析法）要证明）要证明CE=DF，只需证明，只需证明为此只需证明为此只需证明FODEOCFOEOFODEOCDOCO为了证明为了证明 只需只需 为了证明为了证明 只需证明只需证明 也只需也

7、只需 DOCO BDOACOFOEO ）（因为已知BFAEBOAO（已知）BDOACO因为因为 是对顶角，所以它们相等，从而是对顶角，所以它们相等，从而 FODEOC与FODEOC成立，因此命题成立成立，因此命题成立. 分析法分析法 解题方向比较明确，解题方向比较明确， 利于寻找解题思路；利于寻找解题思路； 综合法综合法 条理清晰，易于表述。条理清晰，易于表述。通常以通常以分析法分析法寻求寻求思路，再用思路，再用综合法综合法有条理地有条理地表述解题过程表述解题过程例例2:2:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4

8、abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.证明证明: :直接证明（练习）. 221, 0, 0. 1abbaba求证：若直接证明（练习）.11, 1, 1.2abbaba求证：若证证要证要证11abba只需证明只需证明112abba只需证明只需证明只需证明只需证明22)1 (abba0) 1)(1(22ba11ba1122ba01, 0122ba0) 1)(1(22ba因此所以原命题成立.直接证明, ,a b c3.3.ABCABC三边长三边长的倒数成等差数列，求证：的倒数成等差数列，求证：. 90B证明：证明：acb212)(12cabbcab 1acbac222acbcaB2222cos因为因为a,b,ca,b,c为为ABCABC三边三边 所以所以 a + c b a + c b 01cab所以所以 cosB0 cosB0 90B因此因此直接证明（回顾小结）分