工程数理建模第九章

1、第九章第九章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法理学院理学院 2013年年4月月工程数学模型及数值方法工程数学模型及数值方法优质课程优质课程 许多气井都不同程度地含有液体许多气井都不同程度地含有液体.对于存在对于存在底水或边底水或边水水的气藏，在开采过程中液气比将逐渐增高，会明显地的气藏，在开采过程中液气比将逐渐增高，会明显地影响气井的产能，甚至将气井淹死影响气井的产能，甚至将气井淹死.因此，正确地预测气因此，正确地预测气井在井在较高含液程度下的举升能力较高含液程度下的举升能力，对于气井动态分析和，对于气井动态分析和排水采气（如气举）设计具有重要的实际意义排水采气（如气举）设计具有重要的实际

2、意义. 尽管流体力学的基本方程也适用于油气水多相流动，尽管流体力学的基本方程也适用于油气水多相流动，不过在解决采油或采气工程技术问题时，一般不过在解决采油或采气工程技术问题时，一般把油水两把油水两种液体视为液相种液体视为液相，着重考虑，着重考虑气液两相间的作用气液两相间的作用.描述两相描述两相管流的数学模型比单相管流管流的数学模型比单相管流复杂复杂得多得多.引言两相管流数值模型两相管流数值模型 由于流体的非均质性，在气液两相管流中，气液各相由于流体的非均质性，在气液两相管流中，气液各相的分布状况可能是多种多样的，存在着各种不同的流动的分布状况可能是多种多样的，存在着各种不同的流动形态，而气液界

3、面又很复杂和多变形态，而气液界面又很复杂和多变.因此，寻求实用的、因此，寻求实用的、严格的数学解是很困难的严格的数学解是很困难的.对于采气工程中的气液两相管对于采气工程中的气液两相管流，其流，其核心问题是探讨沿程压力损失及影响因素核心问题是探讨沿程压力损失及影响因素. 60-70年代，一般的处理方法是从物理概念和基本方程出发，年代，一般的处理方法是从物理概念和基本方程出发，采用采用实验和因次分析法实验和因次分析法得到描述某一特定两相管流过程得到描述某一特定两相管流过程的一些无因次参数，然后根据实验数据得出的一些无因次参数，然后根据实验数据得出经验关系式经验关系式.引言两相管流数值模型两相管流数

4、值模型 MukherjeeMukherjee和和BrillBrill（19851985）在前人研究工作的基础上，）在前人研究工作的基础上，改进实验条件，提出了更为实用的倾斜管（包括水平管改进实验条件，提出了更为实用的倾斜管（包括水平管）两相流的流型判别准则和应用方便的持液率及摩阻系）两相流的流型判别准则和应用方便的持液率及摩阻系数经验公式数经验公式.MB.MB模型的压降梯度方程为模型的压降梯度方程为引言221sin/mmmmmmsggfvDdpdzv vp 式中，式中， 为油管内径为油管内径.对于油套环空流动，对于油套环空流动， 为水力当量为水力当量直径（套管内径和油管外径之差）直径（套管内径

5、和油管外径之差）. 为两相摩阻系数，为两相摩阻系数， 为气液混合物平均密度，为气液混合物平均密度， 为持液率为持液率. 气相表观速度气相表观速度.DDmf1 ()mllglHH lHsgv两相管流数值模型两相管流数值模型引言数学上的一般表达式为数学上的一般表达式为若已知起始点若已知起始点 （井口或井底）处的流压（井口或井底）处的流压 ，联合，联合上述方程，就构成了一个常微分方程的初值问题上述方程，就构成了一个常微分方程的初值问题. .其一般其一般形式为形式为0z0p00( ,)()dpF z pdzp zp 00( , )()dyf x ydxy xy 两相管流数值模型两相管流数值模型Nume

6、rical Method for Ordinary Differential Equations常用的一些常用的一些解析解法解析解法：常数常数变易变易法、法、LapalaceLapalace变换等变换等分离变量分离变量法、变量法、变量代换代换、一阶一阶常微分方程初值问题：常微分方程初值问题：00( , );()dyf x y axbdxy xy ( ) 常微分方程数值解法 在科学研究及工程技术领域中，常常会遇到大量的如在科学研究及工程技术领域中，常常会遇到大量的如上述的常微分方程的求解问题上述的常微分方程的求解问题.除了一些简单的方程外，除了一些简单的方程外，要用传统的数学分析方法找出复杂的变

7、系数或非线性问要用传统的数学分析方法找出复杂的变系数或非线性问题的解析表达式是困难的，有时甚至是不可能的题的解析表达式是困难的，有时甚至是不可能的.同时许同时许多实际问题也只需要获得解在若干个点上的近似值即可多实际问题也只需要获得解在若干个点上的近似值即可.因此，研究和掌握常常微分方程数值解法，即求出解在因此，研究和掌握常常微分方程数值解法，即求出解在一系列离散点上的解的近似值的方法，是很有必要的一系列离散点上的解的近似值的方法，是很有必要的.本章主要介绍本章主要介绍一阶一阶常微分方程初值问题的常微分方程初值问题的数值解法数值解法。常微分方程数值解法对于初值问题对于初值问题 ，如果，如果 在下

8、列区域内连续：在下列区域内连续：( , )f x y( ) （解的（解的存在唯一存在唯一性）性）;|Gaxby 且关于且关于 满足满足LipschitzLipschitz条件，即存在常数条件，即存在常数 ，使，使y0L 1212|( ,)( ,)|;,f x yf x yL yyx yG则初值问题则初值问题 存在唯一解，且解是存在唯一解，且解是连续可微连续可微的。的。( ) 所谓所谓数值解数值解是指：在解的是指：在解的存在区间存在区间上取一系列点上取一系列点012.nxxxx逐个求出逐个求出 的近似值的近似值1 2 3(, , ,.)iy i ()iy x0;ixxih 等距等距节点节点：:h

9、步长步长常微分方程数值解法定理定理1定义定义1初值问题初值问题 的解析解及其数值解的的解析解及其数值解的几何几何意义：意义：( ) oxy初值问题初值问题 的解表示过点的解表示过点 的一条的一条曲线曲线( ) 00(,)xynx (,)nnxy ),(00yx( )yy x 0 x),(00yx 2x),(22yx 1x),(11yx 初值问题初值问题 的数值解表示一组的数值解表示一组离散点列离散点列( ) (,)iixy可用可用拟合拟合方法求该组数据方法求该组数据 的的近似曲线近似曲线(,)iixy积分积分曲线曲线常微分方程数值解法EulerEuler方法的方法的导出导出212()()()(

10、)!nnnnh yy xy xhy x 将将 在点在点 处进行处进行Taylor展开展开1()ny x nx略去略去 项：项：2h然后用然后用 代替代替 ，即得，即得ny()ny x1()()(, ()nnnny xy xhf xy x 10 1 21(,), , ,nnnnyyhf xynN 称上述公式为称上述公式为向前向前Euler 公式。公式。Euler法2112()()()()!nnnnh yy xy xhy x 若将若将 在点在点 处进行处进行Taylor展开展开()ny x1nx 略去略去 项：项：2h然后用然后用 代替代替 ，即得，即得ny()ny x111()()(, ()nn

11、nny xy xhf xy x 1110 1 21, ,(,),nnnnyyhfynxN称上述公式为称上述公式为向后向后Euler 公式。公式。向后向后Euler 公式为公式为隐式隐式格式，需要利用格式，需要利用迭代法迭代法求解求解Euler法解向前向前EulerEuler公式：公式：1(,)nnnnyyhf xy （取步长为取步长为 ）101( )dyxydxy 例例1 分别利用向前和向后分别利用向前和向后EulerEuler方法求解初值问题的方法求解初值问题的数值解数值解0 1 .h 10 10 90 1.nnnyxy 向后向后EulerEuler公式：公式：111(,)nnnnyyhf

12、xy1110 10 11 1( . ).nnnyxyEuler法Euler法解向前向前EulerEuler公式：公式：1(,)nnnnyyhf xy （取步长为取步长为 ）201( )dyxydxyy 例例2 分别利用向前和向后分别利用向前和向后EulerEuler方法求解初值问题的方法求解初值问题的数值解数值解0 1 .h 12()nnnnnxyyh yy 向后向后EulerEuler公式：公式：111(,)nnnnyyhf xy11112()nnnnnxyyh yy Euler法取步长取步长 ，这时，这时 ，计算到，计算到 ，误差，误差 采用欧拉法计算采用欧拉法计算 0 1 .h 00 1

13、 .nxxnhn 10n ()nnny xy 0.11.10001.09540.00460.61.50901.48320.02580.21.19181.18320.00860.71.58031.54920.03110.31.27741.26490.01250.81.64981.61250.03730.41.35821.34160.01660.91.71781.67330.04450.51.43511.141420.02091.01.78481.73210.0527nxny()ny x|n nxny()ny x|n Euler法隐式格式通常采用迭代法计算，迭代过程的实质就是将隐式格式通常采用迭代

14、法计算，迭代过程的实质就是将隐式格式逐步显式化。隐式格式逐步显式化。两种格式计算差异两种格式计算差异： EulerEuler法和后退法和后退EulerEuler法有本质的区别。前者是关于法有本质的区别。前者是关于 的一个直接计算公式，这种格式称为的一个直接计算公式，这种格式称为显式显式的；后者一般的；后者一般是关于是关于 的一个非线性方程，这种格式称为的一个非线性方程，这种格式称为隐式隐式的。的。1ny 1ny Euler法称为称为梯形法梯形法。易见梯形法也是隐式法，需要采用迭代计。易见梯形法也是隐式法，需要采用迭代计算。算。梯形法将将EulerEuler法和后退法和后退EulerEuler法

15、加权平均得到：法加权平均得到：111(,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy 采用显式的采用显式的EulerEuler法提供迭代初值，梯形法的迭代公式为法提供迭代初值，梯形法的迭代公式为01111120 1 2( )()( )(,)(,)(,)(, , ,)nnnnkknnnnnnyyhf xyhyyf xyf xyk 预测：预测：改进Euler法将利用梯形法迭代一次的格式称为将利用梯形法迭代一次的格式称为改进改进EulerEuler法，也称为预测法，也称为预测校正法校正法：校正：校正：1(,)nnnnyyhf xy 1112(,)(,)nnnnnnhyyf xyf xy 或者表示成：

16、或者表示成：11(,)(,)1()2pnnncnnpnpcyyhf xyyyhf xyyyy 解向前向前EulerEuler公式：公式： （取步长为取步长为 ）101( )dyxydxy 例例3：分别利用分别利用四种方法四种方法求解初值问题的求解初值问题的数值解数值解0 1 .h 10 10 90 1.nnnyxy 向后向后EulerEuler公式：公式：1110 10 11 1( . ).nnnyxy梯形法：梯形法：10 0950 9050 1.nnnyxy 改进改进EulerEuler法：法：110 10 950 1051 05( .).nnnyxy Euler法取步长取步长 ，这时，这时

17、 ，计算到，计算到 ，误差，误差 . . 计算结果及误差分别为计算结果及误差分别为: : 0 1 .h 0 1 .nxn 5n ()nnny xy EulerEuler法法后退后退EulerEuler法法梯形法梯形法改进的改进的EulerEuler法法准确值准确值0.10.11 10000000000001 10090910090911 10047620047621 10050000050001 10048370048370.20.21 10100000100001 10264460264461 10185940185941 10190250190251 10187310187310.30.3

18、1 10290000290001 10513150513151 10406330406331 10412180412181 10408180408180.40.41 10561000561001 10830130830131 10700960700961 10708020708021 10703200703200.50.51 10904900904901 11209211209211 11062781062781 11070761070761 1106531106531nxEuler法nx0.10.10.0048370.0048370.0042540.0042540.0000750.00007

19、50.0001630.0001630.20.20.0087310.0087310.0077150.0077150.0001370.0001370.0002940.0002940.30.30.0118180.0118180.0104970.0104970.0001850.0001850.0004000.0004000.40.40.0142200.0142200.0126930.0126930.0002240.0002240.0004820.0004820.50.50.0160410.0160410.0143900.0143900.0002530.0002530.0005450.000545|n

20、|n |n |n Euler法1.1.梯形法和改进梯形法和改进Euler Euler 法的误差较小，法的误差较小，EulerEuler法和和后退法和和后退EulerEuler法误差较大。法误差较大。注：注：2.2.梯形法计算中为什么没有采用迭代法计算？梯形法计算中为什么没有采用迭代法计算？3.3.从理论上如何刻画某种方法的误差？从理论上如何刻画某种方法的误差？Euler法11(, )nnnnnyyhxyyh 1(, )nnnnyyhxyh 隐式隐式单步法单步法通常称通常称 为为增量增量函数函数( , , )x y h 显式显式单步法单步法定义定义2 若计算若计算 时只用到前一点的值时只用到前一

21、点的值 ，这类算法称为单，这类算法称为单步法步法. .若计算若计算 时需要用到时需要用到 前面前面 点的值点的值 ，这类算法称，这类算法称为为 步法步法. .1ny ny1ny 1ny kk单步法的一般形式：单步法的一般形式：单步方法的有关概念设设 是是准确准确的，用某种方法计算的，用某种方法计算 时产生的截时产生的截ny称称 为某方法在点为某方法在点 的的整体截断整体截断误差误差()nnney xy nx1ny 断误差，称为该方法的断误差，称为该方法的局部截断局部截断误差，即误差，即111()nnnTy xy1()(, )nnnny xyhxyh 1()()(, (), )nnnny xy

22、xhxy xh 注：注： 是准确的，即是准确的，即ny()nnyy x 单步方法的有关概念定义定义3其中其中 为自然数，则称该方法是为自然数，则称该方法是 阶的或具有阶的或具有 阶精度。阶精度。 定义定义4 如果给定方法的如果给定方法的局部截断局部截断误差为误差为如果一个如果一个 阶单步方法的阶单步方法的局部截断局部截断误差为误差为11()pnTO h pppp121(, ()()ppnnnTg xy xhO h 则称则称 为该方法的局部截断误差的为该方法的局部截断误差的主项主项。1(, ()pnng xy xh 如向前如向前EulerEuler方法的方法的局部截断局部截断误差误差11()()

23、(, ()nnnnnTy xy xhf xy x22()()()!nnnhhy xyxhy x2323()()!nnhhyxyx2()O h 一阶一阶方法方法单步方法的有关概念如向后如向后EulerEuler方法的方法的局部截断局部截断误差误差1111()()(, ()nnnnnTy xy xhf xy x232()()!nhyxO h 2()O h 一阶一阶方法方法 上述局部截断误差的定义对上述局部截断误差的定义对隐式单步法隐式单步法也适用。也适用。如梯形如梯形法的法的局部截断局部截断误差误差1111()()(, ()(, ()2nnnnnnnhTy xy xf xy xf xy x 341

24、2()()nhyxO h 3()O h 二阶二阶方法方法单步方法的有关概念定义定义5 对于单步法，它在对于单步法，它在 处的解为处的解为 ，若对任意，若对任意固定的固定的 ，均有，均有 ，称，称单步法收敛单步法收敛。0nxxnhnynx0lim()nnhyy x 定理定理2 设单步法具有设单步法具有 阶精度，增量函数阶精度，增量函数 关于关于 满足满足Lipschitz条件，即存在常数条件，即存在常数 ，使得对任意，使得对任意 成立成立.又假设初值是准确的，即又假设初值是准确的，即 .则则单步单步法收敛且法收敛且 1()p ( , , )x y h yL 12,y y1212|( , )( ,

25、 )|x y hx y hLyy 00()yy x ()()pnny xyO h上述定义和定理是针对显式单步法，隐式可类似定义，上述定义和定理是针对显式单步法，隐式可类似定义，有类似结果。有类似结果。单步方法的有关概念Runge-KuttaRunge-Kutta方法的方法的基本思想基本思想显式显式单步法的一般形式：单步法的一般形式：1(, )nnnnyyhxyf h R-K方法是利用一些点的线性组合构造方法是利用一些点的线性组合构造增量函数增量函数，使得相应方法的使得相应方法的局部局部截断误差的截断误差的阶数阶数尽可能尽可能高高。二阶二阶Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法12

26、221( , , , )( , )(,( , )x y f hc f x yc f xa h yb hf x y 确定参数确定参数 ，使得，使得12221,c c a b与与 在点在点 的的Taylor展开式有尽可能多的展开式有尽可能多的相同项相同项。 ( )( , , )y xhx y f h ()y xh x龙格-库塔（Runge-Kutta）方法12221( )( , , )( )( , )(,( , )y xh c f x yc f xa h yy xhx y fb hfhx y 122221( )( , ) ( , )( , )( , )( , )()xyy xh c f x ycf

27、 x ya hfx yb hf x y fx yO h 232( )( )()(hy xhy xyxxOhyh 22( ) ( , )( , )( , ) ( , )( )xyhy xh f x yf x yf x y f x yOh 比较两式的比较两式的相同项相同项得得2 2112c b 121cc 2212c a 方程组有无穷多解方程组有无穷多解龙格-库塔（Runge-Kutta）方法若取其一组解若取其一组解122211112,ccab 21(,)nnKf xh yhK 1122()nnhyyKK 1()nnKf x y 则得到则得到改进改进的的EulerEuler公式（公式（二阶二阶方法

28、）方法）若取其另一组解若取其另一组解1222110,1,2ccab则得到则得到二阶二阶的中点公式。的中点公式。二阶龙格-库塔方法定义定义5 设设 是一个正整数，代表使用函数值是一个正整数，代表使用函数值 的个数，的个数，和和fr是一些特定的权因子（均为是一些特定的权因子（均为2 31 21,(, , ;, ,iija bir ji 1 2(, , )ic ir 实数），则称下列方法（公式）实数），则称下列方法（公式）111()nnrryyh c Kc K 为初值问题为初值问题 的的r r级级显式显式RungeKuttaRungeKutta公式公式. .其中其中11(,)rrnrnriiiKf

29、xa h yhb K 1(),nnKf x y 22211(,),nnKf xa h yhb K 显示龙格-库塔方法类似前面的处理方法，可以得到类似前面的处理方法，可以得到四级四级方法：方法：r =45()O h局部截断局部截断误差误差最常用的一种最常用的一种四阶四阶方法：经典显式方法：经典显式Runge-Kutta公式公式11234226()nnhyykkkk 1(,)nnkf xy 2122(,)nnhhkf xyk 3222(,)nnhhkf xyk 43(,)nnkf xh yhk 四阶Runge-Kutta方法解101( )dyxydxy 0 1 , x 例例4 用经典的四阶用经典的

30、四阶Runge-Kutta方法求解下列初值问题方法求解下列初值问题 。0 1 .h 经典的四阶经典的四阶Runge-KuttaRunge-Kutta公式：公式：11234226()nnhyykkkk 11;nnkxy 21122nnhhkxyk 431.nnkxhyhk32122;nnhhkxyk 四阶Runge-Kutta方法四阶Runge-Kutta方法四阶Runge-Kutta方法解向前向前EulerEuler法步长取法步长取100( )dyydxy 例例5：分别利用分别利用三种方法三种方法求解初值问题的求解初值问题的数值解数值解0 025.h 改进改进EulerEuler法步长取法步长

31、取0 05.h 经典经典4 4阶阶RKRK法步长取法步长取0 1 .h 计算结果为：计算结果为： 常微分方程数值解法EulerEuler方法方法改进的改进的EulerEuler法法经典的经典的R RK K方法方法准确值准确值 000000.10.0963120.0951230.095162500.095162580.20.1833480.1811930.181269100.181269250.30.2620010.2590850.259181580.259181780.40.3330790.3295630.329679710.329679950.50.3973120.3933370.39346

32、9060.39346934nx常微分方程数值解法注：注：1. 三种方法的步长取法有何特点？三种方法的步长取法有何特点？2. 比较三种方法在节点处的误差？比较三种方法在节点处的误差？3. 如在节点如在节点0.5处，三种方法的误差分别为处，三种方法的误差分别为3473.8 101.3 102.8 10常微分方程数值解法k步步线性多步法线性多步法 线性多步法 所谓的线性所谓的线性多步法多步法，指的是某一步解的公式不仅与前一，指的是某一步解的公式不仅与前一步的值有关，而且与前面若干步解的值有关的方法。步的值有关，而且与前面若干步解的值有关的方法。 利用前面多步的信息，则可以期望得到较高的精度。利用前面

33、多步的信息，则可以期望得到较高的精度。 构造多步法的主要途径是基于构造多步法的主要途径是基于数值积分的方法和基于数值积分的方法和基于TaylorTaylor展开法展开法. .前者是将常微分方程两端积分后利用插值求前者是将常微分方程两端积分后利用插值求积公式得到，后者是利用局部截断误差定义和积公式得到，后者是利用局部截断误差定义和TaylorTaylor展开展开得到得到。Linear Mutistep Methodk步线性多步法的步线性多步法的一般形式一般形式100kkn kin iin iiiyyhf 其中其中 为为 的的近似近似， ， 为常数，为常数， 不全为零不全为零. .由于由于上式上式

34、给出了给出了 之间之间的线性关系，的线性关系，故称为故称为线性线性k k步法步法. .n iy ()n iy x (,)n in in iff xy ,ii 00, ,n in iyf ,称为称为显式显式k步法步法， 称为称为隐式隐式k步法。步法。0k 0k 可根据可根据局部截断误差以及阶确定。局部截断误差以及阶确定。,ii 线性多步法 将将 在在 处进行处进行Taylor展开展开n kT 100()()()kkn kn kin iin iiiTy xy xhy x 在在 处处局部截断误差局部截断误差n kx nx()()n iny xy xih 23()()()()()()23!nnnnih

35、ihy xihy xyxyx 线性多步法()()n iny xy xih 2()()()()2nnnihy xihyxyx 代入局部截断误差的表达式代入局部截断误差的表达式2012()()()n knnnTc y xc hy xc h yx ()()pppnc h yx 其中其中 线性多步法00111 ()kc 11212(1)kckk 11121(2)(1)!rrkkr 01()k121121()!rrrrkckkr 则有则有 选择选择 满足满足,ii 0110,0ppcccc 1121()()()pppn kpnTchyxO h 从而该多步法是从而该多步法是p阶方法阶方法 线性多步法基于基

36、于数值积分数值积分方法方法积分可得积分可得将原初值问题中的方程在区间将原初值问题中的方程在区间 上积分上积分4,nnxx 44()()( , ( )nnxnnxy xy xf x y x dx 被积函数用在三个节点被积函数用在三个节点 上的上的Lagrange插值代替插值代替123,nnnxxx 21011( )njijninjj ixxl xxx 线性多步法421122334( )2 (, ()(, ()2 (, ()3nnxnnnnnnxL x dxhf xy xf xy xf xy x 称为米尔尼（称为米尔尼（Milne）方法：）方法：显式四步四阶方法显式四步四阶方法被积函数用在三个节点

37、被积函数用在三个节点 上的上的Lagrange插值插值代替代替123,nnnxxx 用用 表示表示 的近似值，记的近似值，记 ，从而得到，从而得到jy()jy x(,)jjjff xy 41234223()nnnnnhyyfff 线性多步法基于基于数值积分数值积分方法方法称为称为Simpson方法：方法：隐式两步四阶方法隐式两步四阶方法将原初值问题中的方程在区间将原初值问题中的方程在区间 上积分上积分2,nnxx 22()()( , ( )nnxnnxy xy xf x y x dx 被积函数用在三个节点被积函数用在三个节点 上的上的Lagrange插值代替，计算后可得插值代替，计算后可得12

38、,nnnxxx 212()3nnnnnhyyfff 线性多步法基于基于Taylor展开展开方法方法考虑形如考虑形如的的K步法，称为阿当姆斯（步法，称为阿当姆斯（Adams）方法）方法10kn kn kin iiyyhf 0k 为显式方法，为显式方法， 为隐式方法为隐式方法0k 线性多步法K=3时，时，Adams显式三步三阶显式三步三阶方法方法3221(23165)12nnnnnhyyfff K=3时，时，Adams隐式三步四阶隐式三步四阶方法方法32321919524()nnnnnnhyyffff 43321555937924()nnnnnnhyyffff K=4时，时，Adams显式四步四阶

39、显式四步四阶方法方法 线性多步法利用前面所述的利用前面所述的Taylor展开方法可得：展开方法可得：基于基于Taylor展开方法构造线性多步法比较灵活，可以构造任意展开方法构造线性多步法比较灵活，可以构造任意多步法公式。多步法公式。例例5 构造初值问题构造初值问题试确定参数试确定参数 使方法的使方法的局部截断误差局部截断误差的阶的阶尽可能尽可能高高，并求局部截断误差。，并求局部截断误差。,ii 的显式二步公式的显式二步公式00( , )()yf x yy xy 1011011()nnnnnyyyhff 线性多步法解 由局部截断误差定义并利用由局部截断误差定义并利用TaylorTaylor公式得

40、到公式得到101()()()nnnnTy xhy xy xh 01()()nnhy xy xh0110111() ()()()nny xhy x 23111111111()()()22662nh yxh 4451111124246( )()()()()nnyxh yxO h 线性多步法令令0110 10110 1111022 111110662得到得到04 15 04 12 局部截断误差为局部截断误差为4(4)511()()6nnTh yxO h 线性多步法从而所求二步法为从而所求二步法为111452 (2)nnnnnyyyhff 显式多步法计算简单，但是其显式多步法计算简单，但是其精度及计算

41、的稳定精度及计算的稳定性性没有隐式方法好没有隐式方法好. .隐式多步法一般需采用迭代隐式多步法一般需采用迭代计算计算，计算量大，计算量大. .在实际应用中，隐式法一般不在实际应用中，隐式法一般不单独使用，而是用于改善用显式方法计算得到的单独使用，而是用于改善用显式方法计算得到的近似值近似值. .由显式方法给出预测，再用隐式方法校由显式方法给出预测，再用隐式方法校正该预测值，这样的得到的算法称为正该预测值，这样的得到的算法称为预测预测校正校正方法方法. . Adams预测-校正法 从一般情况下，预测公式与校正公式都取同阶的从一般情况下，预测公式与校正公式都取同阶的显式方法和隐式方法相显式方法和隐式方法相匹配匹配。0433322555924( )(,)(,)nnnnnnhyyf xyf xy 043443391924( )(,)(,)nnnnnnhyyf xyf xy 11379(,)(,)nnnnf xyf xy 22115 (,)(,)nnnnf xyf xy 显式显式 隐式隐式初始迭代值由初始迭代值由4 4阶阶R-KR-K方法计算方法计算 Adams预测-校正法201( )dyxydxyy 0 1 , x 例例5 用用Adams预报预报- -校正公式校正公式求解下