电气与电子测量技术——测量误差及数据处理ppt课件

1、1第第2章章 测量误差及其分析测量误差及其分析2本章主要内容本章主要内容1 1 测量误差的基本知识测量误差的基本知识2 2 有效数字有效数字3 3 系统误差的消弱和消除系统误差的消弱和消除 4 4 随机误差的处理随机误差的处理5 5 粗大误差的剔除粗大误差的剔除 6 6 测量结果的处理和表示方法测量结果的处理和表示方法7 7 测量误差的合成测量误差的合成3测量误差的基本知识测量误差的基本知识4基本名词基本名词真值真值True Value） ： 被测量本身客观存在的实际值。被测量本身客观存在的实际值。真值是客观存在，但是不能测量的。真值是客观存在，但是不能测量的。计量和测量中，经常使用计量和测量

2、中，经常使用“理论真值理论真值”、“约约定真值和定真值和“相对真值的概念。相对真值的概念。理论真值：理论真值：理论上存在、计算推导出来理论上存在、计算推导出来约定真值：约定真值：按照国际公认的单位定义，利用科学技术发展的最高水平按照国际公认的单位定义，利用科学技术发展的最高水平所复现的单位基准。一般以法律形式规定的。所复现的单位基准。一般以法律形式规定的。相对真值相对真值被测量量被测量量实际值）实际值） ：在满足规定准确度时用来代替真值使用的值在满足规定准确度时用来代替真值使用的值5测量误差：测量结果与被测量真值之差。测量误差：测量结果与被测量真值之差。测量误差及其表示方法测量误差及其表示方法

3、留意：留意： 在实际测试中真值无法准确获得，因此常用相对真值被测量量在实际测试中真值无法准确获得，因此常用相对真值被测量量实际值代替真值来确定测量误差。实际值代替真值来确定测量误差。误差公理：误差公理： 一切测量都有误差，误差自始至终存在于所有一切测量都有误差，误差自始至终存在于所有科学试验的过程中。科学试验的过程中。 利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为被测量量实际值利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为被测量量实际值 在测量次数足够多时，仪表示值的平均值作为被测量的实际值在测量次数足够多时，仪表示值的平均值作为被测量的实际值 。6误差的来源误差的来源n仪器、仪表误差仪器、仪表误差

4、 n 仪器仪表本身及其附件引起的误差称为仪器仪表误差。仪器仪表本身及其附件引起的误差称为仪器仪表误差。n环境影响误差环境影响误差 n 由于各种环境因素与仪器仪表所要求的使用条件不一致由于各种环境因素与仪器仪表所要求的使用条件不一致而造成的误差称为影响误差。而造成的误差称为影响误差。n理论和方法误差理论和方法误差 n 由于测量方法和仪器仪表所依据的理论、公式本身不完由于测量方法和仪器仪表所依据的理论、公式本身不完善或者是近似的所引起的误差称为理论或方法误差。善或者是近似的所引起的误差称为理论或方法误差。n人身误差人身误差 n 由于测量者的分辨力、视觉疲劳、习惯或缺乏责任心等由于测量者的分辨力、视

5、觉疲劳、习惯或缺乏责任心等因素引起的误差称为人身误差。人身误差是由于人为因素因素引起的误差称为人身误差。人身误差是由于人为因素造成的，欲减小人身误差必须加强责任心。造成的，欲减小人身误差必须加强责任心。 7误差误差 绝对误差相对误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点援用误差允许误差测量误差分类测量误差分类仪表误差8 绝对误差的负值称之为修正值，也叫补值，一般用绝对误差的负值称之为修正值，也叫补值，一般用c表示，即表示，即c=-x=A-x 。仪器的修正值一般是计量部门检定给出。示值加上修正值可。仪器的修正值一般是计量部门检定给出。示值加上修正值可获得真值，即实际值。获得真值，即实际值。绝对

6、误差绝对误差绝对误差绝对误差Absolute Error定义：测量结果的测量值与定义：测量结果的测量值与被测量的真值之间的差值。被测量的真值之间的差值。绝对误差绝对误差测量值测量值被测量的真值，常用约定真值被测量的真值，常用约定真值或相对真值代替或相对真值代替 xxA 9相对误差相对误差Relative ErrorRelative Error定义：绝对误差与被测量定义：绝对误差与被测量真实值的比值。真实值的比值。相对误差相对误差01 0 0 %xA 100%xxx或写成真值相对误差真值相对误差绝对误差绝对误差约定真值或约定真值或相对真值相对真值测量值测量值 在实际测量中，相对误差主要用来评价测

7、量结果的在实际测量中，相对误差主要用来评价测量结果的准确度，相对误差越小精确度愈高。准确度，相对误差越小精确度愈高。示值相对误差示值相对误差10【例【例 】11 仪器仪表误差的表示方法仪器仪表误差的表示方法 误差是仪器仪表的重要质量指标。按有关规定，可以用基本误差和附加误差来表征仪器仪表的性能。 1.基本误差 它是仪器仪表在标准条件下使用时所具有的误差。 用最大引用误差准确度等级或容许误差表示。2.附加误差 当仪表在使用中偏离了标准工作条件，除了基本误差外，还会产生附加误差。 12引用误差引用误差引用误差引用误差Fiducial Error of a Measuring Instrument定

8、定义义 ：绝对误差与测量仪表的满量程的百分比。绝对误差与测量仪表的满量程的百分比。100%nmxrx该标称范围或量程上限该标称范围或量程上限 引用误差引用误差 仪表示值的绝对误差仪表示值的绝对误差 引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，即标称范围上限或量程得到的，故该误差又称定值，即标称范围上限或量程得到的，故该误差又称为引用相对误差、满度误差。为引用相对误差、满度误差。 留意：引用误差仍然与示值有关。留意：引用误差仍然与示值有关。13最大引用误差最大引用误差最大引用误差：最大引用误差： 在规定的工作条件下，当被测量平稳地增加和减

9、少在规定的工作条件下，当被测量平稳地增加和减少时，在仪表全量程所取得的诸示值的引用误差绝对值时，在仪表全量程所取得的诸示值的引用误差绝对值的最大者。的最大者。max100%mnmxrx该标称范围或量程上限该标称范围或量程上限 引用误差引用误差 仪器标称范围或量程仪器标称范围或量程内的最大绝对误差内的最大绝对误差 最大引用误差是仪表基本误差的主要型式，故称之为仪表的基本误差。最大引用误差是仪表基本误差的主要型式，故称之为仪表的基本误差。14仪表的准确度等级仪表的准确度等级我国测量仪表的准确度等级我国测量仪表的准确度等级Accuracy Class就是按照最大引用误差就是按照最大引用误差进行分级的

10、。通常用最大引用误差去掉正负号和百分号后的数字来表示进行分级的。通常用最大引用误差去掉正负号和百分号后的数字来表示准确度等级，精准确度等级用符号准确度等级，精准确度等级用符号G表示。表示。 国家标准国家标准GB 77676规定，测量指示规定，测量指示仪表的准确度等级仪表的准确度等级G分为：分为： 0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0 七个等级。七个等级。对应的最大引用误差分别为：对应的最大引用误差分别为： 0.1、0.2%、0.5%、1.0%、1.5%、2.5%、5.0% 检测仪器的准确度等级由生产厂商根据其最大引用误差的大小并以检测仪器的准确度等级由生产厂商根据其最大引用误

11、差的大小并以“选选大不选小的原则就近套用上述准确度等级得到。大不选小的原则就近套用上述准确度等级得到。15 一个电压表，其满量程为一个电压表，其满量程为100V，在校验该变送器，在校验该变送器时测得的最大绝对误差出现在时测得的最大绝对误差出现在50V处且为处且为0.12V ，请确，请确定该仪表的准确度等级定该仪表的准确度等级?【例【例 】16 当一个仪表的准确度等级当一个仪表的准确度等级选定后，用此表选定后，用此表测量某一被测量时，可能产生的最大绝对误差为：测量某一被测量时，可能产生的最大绝对误差为： %mmxxa %mmxxxrxx 最大相对误差为：最大相对误差为：绝对误差的最大值与绝对误差

12、的最大值与该仪表的标称范围该仪表的标称范围或量程上限或量程上限AmAm成成正比。正比。选定仪表后，被测量的值越接近于标选定仪表后，被测量的值越接近于标称范围或量程上限，测量的相对称范围或量程上限，测量的相对误差越小，测量越准确。误差越小，测量越准确。一次测量最大误差的估计一次测量最大误差的估计17【例【例 】18【例【例 】某某1.01.0级电压表，满度值标称范围上限为级电压表，满度值标称范围上限为300300，求测量值分别为求测量值分别为300300，200200和和100100时的绝对误差和相对误时的绝对误差和相对误差。差。1231.0300 ,300 ,200 ,100mUV UV UV

13、 UV，根据题意得根据题意得 最大绝对误差为最大绝对误差为 123%300 1.0%3mUUUUV 他们的相对误差分别为：他们的相对误差分别为： 1113100%100%1%300UUrU 2223100%100%1.5%200UUrU 3333100%100%3%100UUrU 可见，在同一标称范可见，在同一标称范围内，测量值越小，围内，测量值越小，其相对误差越大。其相对误差越大。 【解】【解】19仪表的准确度等级仪表的准确度等级 注意注意2：由于对于同一等级的检测仪器，其绝对误差随：由于对于同一等级的检测仪器，其绝对误差随满量程值的增大而增大，为提高测量的准确度，需要被满量程值的增大而增大

14、，为提高测量的准确度，需要被测量与仪表的量程相适应，被测量一般应在满量程的测量与仪表的量程相适应，被测量一般应在满量程的2/3以上。以上。 注意注意1：测量仪表产生的测量误差不但与仪表精度等级：测量仪表产生的测量误差不但与仪表精度等级有关，而且还与量程有关。有关，而且还与量程有关。20容许误差的表示方法容许误差的表示方法容许误差通常用绝对误差来表示容许误差通常用绝对误差来表示 ： ( %)maxx ( %axn 个字）( %maxxn 个字）例如，某例如，某3位数字电压表，当位数字电压表，当n为为5，在，在1V量限时，量限时，“n个字表示的电压误个字表示的电压误差是差是5mV，而在，而在10V

15、量限时量限时,“n个字表示的电压误差是个字表示的电压误差是50mV。n个字表示仪表末位数字代表测量值的个字表示仪表末位数字代表测量值的n倍倍分辨力的分辨力的n倍）倍）容许误差定义：测量仪器在使用条件下可能产生的最大误容许误差定义：测量仪器在使用条件下可能产生的最大误差。差。 21 某四位半数字电压表，量程为某四位半数字电压表，量程为2V2V，工作误差为，工作误差为= = 0.025% 0.025%UX UX 1 1个个字，用该表测量时，读数分别为字，用该表测量时，读数分别为0.0012V0.0012V和和1.9888V1.9888V，试求两种情况下的，试求两种情况下的绝对误差和相对误差。绝对误

16、差和相对误差。解：四位半表解：四位半表 分辨率为分辨率为0.0001V0.0001V1.999941(0.025%0.00120.00011)1.003010V 【例】【例】41111.0030 10100%100%8.36%0.0012xA42(0.025% 1.98880.0001 1)5.9720 10 V 42225.9720 10100%100%0.030%1.9888xA22测量误差的分类 1 1 系统误差系统误差(Systematic Error) (Systematic Error) 2 2 随机误差随机误差( random error )( random error )3 3

17、 粗大误差粗大误差(Gloss Error) (Gloss Error) 根据测量误差的性质，测量误差可分为根据测量误差的性质，测量误差可分为3类：类：23系统误差系统误差在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测量误差的绝在同一测量条件下，多次重复测量同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差，简称系差。化的误差，称为系统误差，简称系差。定义：定义：来源：来源： 在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真

18、值之差，简称系差。平均值与被测量的真值之差，简称系差。 定量定义：定量定义：()0nxA 基本误差基本误差:测量设备不准确或准确度等级不高。测量设备不准确或准确度等级不高。 附加误差附加误差:超过正常工作范围带来的误差。超过正常工作范围带来的误差。 理论和方法误差理论和方法误差:测量方法、理论不完善所带来的误差。测量方法、理论不完善所带来的误差。 人员误差：试验人员疏忽大意、测量素质不高产生的人员误差。人员误差：试验人员疏忽大意、测量素质不高产生的人员误差。24系统误差特征系统误差特征n系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测量就越

19、准确。值的程度。系差越小，测量就越准确。n大小、方向恒定不变或按一定规律变化大小、方向恒定不变或按一定规律变化n可再现，可以预测可再现，可以预测n用理论分析、实验验证查找原因用理论分析、实验验证查找原因 可修正可修正25测量值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测测量值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。量结果的平均值之差。定义定义定量定义：定量定义：在相同测量条件下在相同测量条件下, ,多次测量同一量值时等精度测量），绝多次测量同一量值时等精度测量），绝对值大小和符号以不可预定方式变化的误差，又称为偶然误对值大小和符号以不可预定方式变化的误差，又称为偶然误差，简

20、称随差。差，简称随差。 来源：来源：测量装置本身因素；信号处理电路的随机噪声等测量装置本身因素；信号处理电路的随机噪声等实验环境的偶然性微小变化：温度波动、噪声干扰、电实验环境的偶然性微小变化：温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动，热起伏、磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动，热起伏、空气扰动、大地微震等空气扰动、大地微震等人为因素：人员测量人员感官等人为因素：人员测量人员感官等（对测量值影响微小但却互不相关的大量因素）（对测量值影响微小但却互不相关的大量因素）随机误差随机误差iixx()n 26在测量中，随机误差是不可避免的。在测量中，随机误差是不可避免的。单次测量

21、的随差没有规律，随机误差的大单次测量的随差没有规律，随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可小、方向均随机不定，不可预见，不可修正修正; ;多次测量，测量值和随机误差的总体服从多次测量，测量值和随机误差的总体服从概率统计规律概率统计规律; ;可用概率统计的方法处理测量数据，对随可用概率统计的方法处理测量数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。的影响。随机误差特征随机误差特征27随机误差和系统误差特性随机误差和系统误差特性n系统误差越小，则测量值与实际值符合的程度越高。系统误差

22、越小，则测量值与实际值符合的程度越高。n随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在某一随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在某一常数平均值附近。常数平均值附近。n测量准确度高意味着系统误差和随机误差都小。测量准确度高意味着系统误差和随机误差都小。射击误差射击误差示意图示意图 28粗大误差粗大误差指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏指明显超出统计规律预期值的误差。又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。忽误差、过失误差或简称粗差。 定义：定义：来源：来源：某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。 测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误如未按测量方法不当

23、或错误，测量操作疏忽和失误如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等）规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等） 测量条件的突然变化如电源电压突然增高或降低、测量条件的突然变化如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。雷电干扰、机械冲击和振动等）。留意：由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定留意：由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据称为坏值或异的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据称为坏值或异常值予以剔除。常值予以剔除。有效数字有效数字有效数字基本概念 定义定义1 1：考虑了误差以后有意义的数字称为有效数字。

24、：考虑了误差以后有意义的数字称为有效数字。 定义定义2 2：由数字组成的一个数，除最末一位数字是不确切或：由数字组成的一个数，除最末一位数字是不确切或可疑值外，其它数字均为确切值，则该数的所有数字称为有效可疑值外，其它数字均为确切值，则该数的所有数字称为有效数字数字测量结果保留有效位数的原则：测量结果保留有效位数的原则： 最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。 数字舍入规则 计算和测量过程中，根据有效数字原则，需要对多位的近似数进行计算和测量过程中，根据有效数字原则，需要对多位的近似数进行取舍，应按照下述原则进行舍入处理：取舍，应按

25、照下述原则进行舍入处理：大于大于5 5进一：若舍去部分的数值大于保留部分末位的半个单位，则末位数加进一：若舍去部分的数值大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1 1。小于小于5 5舍去：若舍去部分的数值小于保留部分末位的半个单位，则末位数减舍去：若舍去部分的数值小于保留部分末位的半个单位，则末位数减1 1。等于等于5 5应用偶数法则：若舍去部分的数值等于保留部分末位的半个单位，当应用偶数法则：若舍去部分的数值等于保留部分末位的半个单位，当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1 1。 数据记录、运算的准确性要和测数据记录、运算的准确性要和测

26、量的准确性相适应！量的准确性相适应！ cm674. 1 xcm04. 0 xcm04. 067. 1 x误差一般只取一位有效数字特殊情况下误差一般只取一位有效数字特殊情况下最多取两位有效数字），测量结果的末位最多取两位有效数字），测量结果的末位数应与误差的末位数对齐数应与误差的末位数对齐 有效数字有效数字: :所有准确数字和一位欠准确数字所有准确数字和一位欠准确数字 cm?04. 0674. 1 x数学： 2500. 025. 0 物理测量： cm00.25m25.0 有效数字位数越多，测量精度越高有效数字位数越多，测量精度越高34系统误差的削弱和消除系统误差的削弱和消除35系统误差的特征和分

27、类系统误差的特征和分类 c a 0 t 多种系统误差的特征多种系统误差的特征 其中：其中：a-不变系差不变系差 b-线性变化系差线性变化系差 c-周期性系差周期性系差 d-复杂规律变化复杂规律变化系差系差 d b 在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。362引入修正值和定期校正引入修正值和定期校正3利用特殊的测量方法消除利用特殊的测量方法消除1消除系统误差产生的原因消除系统误差产生的原因系统误差的削弱或消除的一般方法系统误差的削弱

28、或消除的一般方法最理想最基本最理想最基本的方法的方法37(1)(1)从产生系统误差的来源上消除从产生系统误差的来源上消除n基本误差：选择准确度等级高的仪器设备；所用量具仪器是基本误差：选择准确度等级高的仪器设备；所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，并有有效周期的检定否处于正常工作状态，是否经过检定，并有有效周期的检定证书；证书；n附加误差：使仪器设备工作在其规定的工作条件下，如温度、附加误差：使仪器设备工作在其规定的工作条件下，如温度、振动、尘污、气流等；使用前正确调零、预热以消除仪器设振动、尘污、气流等；使用前正确调零、预热以消除仪器设备的附加误差；备的附加误差；n方法误差和理论

29、误差：所采用的测量方法和计算方法是否正方法误差和理论误差：所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差；选择合理的测量方法，设计正确的测量确，有无理论误差；选择合理的测量方法，设计正确的测量步骤；步骤；n人员误差：提高测量人员的测量素质，改善测量条件人员误差：提高测量人员的测量素质，改善测量条件( (选用选用智能化、数字化仪器仪表等智能化、数字化仪器仪表等) )。注意避免测量人员带入主观。注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等38方法：预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，取与方法：预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，

30、取与误差大小相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应误差大小相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。的修正值，即可得到不包含该系统误差的测量结果。修正值误差修正值误差= =（测量值真值）（测量值真值）实际值实际值A A）测量值）测量值AxAx）修正值）修正值C C）（2用修正和定期校正方法减少系统误差用修正和定期校正方法减少系统误差修正值修正值C 一般由计量部门检定时给出一般由计量部门检定时给出 39修正值的获取方法修正值的获取方法1从有关资料中查取仪表的检定证书）。从有关资料中查取仪表的检定证书）。2通过理论推导求取。通过理论推导求取

31、。abEIRAabAxxxababRRRIIIIRR xabAEIRRAIxabRCIR【例】电流表测电流【例】电流表测电流不计电流表内阻：不计电流表内阻：计及电流表内阻：计及电流表内阻：那么：那么：修正值：修正值：ERab+IARA被测等效电路被测等效电路40定期校正定期校正通过试验定期校正通过试验定期校正 通过实验获得修正表格、修正曲线、修正公式通过实验获得修正表格、修正曲线、修正公式 - 按规律校正按规律校正对不断缓慢变化的系统误差：对不断缓慢变化的系统误差：对有规律的系统误差：对有规律的系统误差： 现测现修现测现修 （如零点误差、增益误差等）（如零点误差、增益误差等）（如温度、湿度、频

32、率修正等）（如温度、湿度、频率修正等） 注意注意1 1： 由于修正值本身也包含有一定的误差，因此用这种由于修正值本身也包含有一定的误差，因此用这种方法不可能将全部系统误差修正掉，总要残留少量的系统误差。方法不可能将全部系统误差修正掉，总要残留少量的系统误差。 注意注意2 2：由于这些残留的系统误差相对随机误差而言已不明：由于这些残留的系统误差相对随机误差而言已不明显了，往往可以把它们统归成随机误差来处理。显了，往往可以把它们统归成随机误差来处理。 消除系统误差的几种主要测量方法：消除系统误差的几种主要测量方法：替代法替代法交换法交换法差值法差值法 对称测量法对称测量法 正负误差补偿法正负误差补

33、偿法迭代自校法迭代自校法（3采用特殊的测量方法p通过交换被测量和标准量的位置，从前后两次换位测量结果的处理中，通过交换被测量和标准量的位置，从前后两次换位测量结果的处理中，削弱或消除系统误差。削弱或消除系统误差。第一次平衡第一次平衡 第二次平衡第二次平衡 上两式相乘、开方得：上两式相乘、开方得：12121()2xWWWWW11 2xW lW l 22 1xW lW l ( (a a) ) 天天平平称称重重xWW1l1l2xWW2l1l2交换法随机误差的处理随机误差的处理 45测量误差的数学表达测量误差的数学表达n 根据误差理论，任何一次测量中，一般都含有系统误差根据误差理论，任何一次测量中，一

34、般都含有系统误差和和随机误差随机误差，即，即 x=+=x-A0 x=+=x-A0n在一般工程测量中，系统误差远大于随机误差，即在一般工程测量中，系统误差远大于随机误差，即，相，相对来讲随机误差可以忽略不计，此时只需处理和估计系统误差对来讲随机误差可以忽略不计，此时只需处理和估计系统误差即可。即可。n在精密测量中，系统误差已经消除或小得可以忽略不计时，即在精密测量中，系统误差已经消除或小得可以忽略不计时，即00。只需处理随机误差。只需处理随机误差。n 无系差等精度测量：不考虑系统误差，各种测量因素都相同无系差等精度测量：不考虑系统误差，各种测量因素都相同的测量。的测量。46随机误差统计特性随机误

35、差统计特性 随机误差就个体而言并无规律可循，但其总体却服从统随机误差就个体而言并无规律可循，但其总体却服从统计规律，总的来说随机误差具有下列特性：计规律，总的来说随机误差具有下列特性：有限性有限性(2)居中性居中性(3)对称性对称性(4) 抵偿性抵偿性1lim0nini()xfx47随机变量的数字特征随机变量的数字特征1( )()1nE xninix 测量次数测量次数1( )()10nEnini 00( )( )()( )EE xE AE xA随机变量数学期望随机变量数学期望: :01( )()1nE xAninix 测量数据的测量数据的数学期望数学期望被测量的真被测量的真值值无数多次测无数多

36、次测量的平均值量的平均值随机误差补偿特性随机误差补偿特性: :0 xA由由得得被测量量值被测量量值数学期望数学期望: 体现随机变量的分布中心，反映其平均特性。体现随机变量的分布中心，反映其平均特性。48随机变量的数字特征随机变量的数字特征 方差是用来描述随机变量与其数学期望的方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。分散程度。 设随机变量设随机变量A A的数学期望为的数学期望为E(A)E(A)，则，则A A的方的方差定义为：差定义为： 2221111()()()nniiiD xxxE xnn 物理意义：数据信号偏离期望值的程度，也是信号能量的一种表示。 49随机变量的数字特征随机变量的数字

37、特征 标准偏差定义为：标准偏差定义为：211( )niiD xnn 标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。并且与随机变量具有相同量纲。n 标准偏差越小，则说明数据越集中，精密度越高；标准标准偏差越小，则说明数据越集中，精密度越高；标准偏差越大，则说明数据越分散，精密度越低。偏差越大，则说明数据越分散，精密度越低。50 式中式中 和和22随机误差随机误差的标准差的标准差和方差和方差 22/ 2()1()()2e 随机误差的正态分布随机误差的正态分布实践和理论证明，大量的随机误差服从正态分布规律，实践和理论证明，

38、大量的随机误差服从正态分布规律，其概率密度函数为：其概率密度函数为：12351 特点：在某一区域内，随机误差出现的概率处处相等，而在特点：在某一区域内，随机误差出现的概率处处相等，而在 该区域外随机误差出现的概率为零。该区域外随机误差出现的概率为零。 均匀分布的概率密度函数均匀分布的概率密度函数()()为：为： 式中式中 a a随机误差随机误差的极限值。的极限值。)|(|0)(21)(aaaa仪器度盘刻度差引起的误差；仪器度盘刻度差引起的误差；仪器最小分辨率限制引起的误仪器最小分辨率限制引起的误差差数字仪表的量化数字仪表的量化( (1)1)误差误差数字计算中的舍入误差数字计算中的舍入误差对于一

39、些只知道误差出现的大对于一些只知道误差出现的大致范围，而不知其分布规律的致范围，而不知其分布规律的误差，在处理时经常按均匀分误差，在处理时经常按均匀分布的误差对待。布的误差对待。 随机误差的均匀分布随机误差的均匀分布52 特点：主要用来处理小样本特点：主要用来处理小样本( (即测量数据比较少即测量数据比较少) )的测量数据。的测量数据。 t t分布的概率密度函数分布的概率密度函数(t)(t)为为 ： 222()2( ,)(1)()2nktt kkkk和标准正态分布的图形类似；和标准正态分布的图形类似；特点是分布与标准差的估计值特点是分布与标准差的估计值无关，但与自由度无关，但与自由度(n-1)

40、(n-1)有关；有关；当当n n较大时，较大时，t t分布和正态分布分布和正态分布的差异就很小了，当的差异就很小了，当nn时，时，两者就完全相同了。两者就完全相同了。随机误差的随机误差的 t分布学生分布）分布学生分布）1kn（自由度）（自由度）( )xMxMtnx10( )e dxtxtt53 有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值 求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？际测量中只能进行有限次测量，怎么办？（1 1有限次测量的数学期望的估计值？有限次测量的数学期望

41、的估计值？（2 2有限次测量的标准偏差的估计值？有限次测量的标准偏差的估计值？54 对某量进行一系列无系差等精度测量时，由于存在随机误对某量进行一系列无系差等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，该测量列的最佳估计值差，因此其获得的测量值不完全相同，该测量列的最佳估计值是测量列的算术平均值，并作为最后的测量结果。是测量列的算术平均值，并作为最后的测量结果。 1211nniixxxxxnn算术平均值原理算术平均值原理设设x1，x2,xn为为n次测量所得的值，则算术平均值为次测量所得的值，则算术平均值为:55有限次测量数据的标准偏差的估计值有限次测量数据的标准偏差的估计值（贝

42、塞尔公式）（贝塞尔公式）22111niin标准偏差的估计值实验标准偏差）：标准偏差的估计值实验标准偏差）：2111niin贝塞尔公式贝塞尔公式留意：由于留意：由于 ，所以，所以n n个剩余误差不是独立的，个剩余误差不是独立的，而只有而只有n-1n-1个独立变量。个独立变量。10nii 一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式2-2-1313求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为剩余误差残余误差）：值进行计算。此时的随机误差称为剩余误差残余误差）：iixx方差的估计值：

43、方差的估计值：56算术平均值的标准偏差的估计值算术平均值的标准偏差的估计值算术平均值的方差算术平均值的方差算术平均值的标准差：算术平均值的标准差：22 ( ) ( )xxn( )( )xxn测量列的方差估计测量列的方差估计测量列的标准差估测量列的标准差估计计平均值的方差估计平均值的方差估计 在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，算术平均值也是随机变量，因此必须研究算术结果，算术平均值也是随机变量，因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准。平均值不可靠的评定标准。结论结论2 2：算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小：算术平均值的

44、标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。倍。增加测量次数增加测量次数n n，可减少标准偏差，提高测量准确度。，可减少标准偏差，提高测量准确度。结论结论1 1：用平均值估计被测量比测量列任何一个数据估计可信。：用平均值估计被测量比测量列任何一个数据估计可信。n57nn10n10时测量准确度增长缓慢：增加测量次数花费较大，时测量准确度增长缓慢：增加测量次数花费较大，效果较小；此外，由于增加测量次数难以保证测量条效果较小；此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差。件的恒定，从而引入新的误差。n实际测量中，测量次数一般取实际测量中，测量次数一般取10201020次。若要进一步

45、提次。若要进一步提高测量准确度，需从选择更高准确度的测量仪器、更高测量准确度，需从选择更高准确度的测量仪器、更合理的测量方法、更好的控制测量条件等方面入手。合理的测量方法、更好的控制测量条件等方面入手。测量精度与测量次数的关系测量精度与测量次数的关系【例】【例】 用温度计重复测量某个不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得1111个测量值的个测量值的序列见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差估计值。序列见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差估计值。解：计算平均值解：计算平均值 )( 1 .530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxon

46、ii iixx211 ()1.767()1noiixCn ()1.767 ()0.53()11oxxCn计算各测量值残差：计算各测量值残差：标准偏差估计：标准偏差估计： 平均值标准偏差估计：平均值标准偏差估计：x59置信度的概念置信度的概念表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数。表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数。 置信区间置信区间 E(x)-k(x),E(x)+k(x) E(x)-k(x),E(x)+k(x) k k置信系数置信系数 置信概率置信概率 在置信区间内包含真值的概率在置信区间内包含真值的概率P P。 置信概率置信概率 可信度可信度置信度的物理意义：置信度的物理意义：1 1 测

47、量数据处于数学期望真值附近一个置信区间内的概率。测量数据处于数学期望真值附近一个置信区间内的概率。2 2 测量数据附近的某一置信区间内出现数学期望真值的概率。测量数据附近的某一置信区间内出现数学期望真值的概率。 测量结果的置信度测量结果的置信度置信区间下的置信概率可由置信区间对概率密度函数定积分求得：置信区间下的置信概率可由置信区间对概率密度函数定积分求得：置信限：置信限： k k置信系数或置信因子）置信系数或置信因子）( )( )( ),( )( )E xkE xkP E xkE xkx dx置信概率是图中置信概率是图中阴影部分面积阴影部分面积k61测量结果的置信度测量结果的置信度n分布和标

48、准差一定，置信区间越宽，置信概率就越大。分布和标准差一定，置信区间越宽，置信概率就越大。n置信区间一定，标准差越小，置信概率越大。置信区间一定，标准差越小，置信概率越大。n置信概率一定时，标准差越小，置信区间越窄。置信概率一定时，标准差越小，置信区间越窄。62置信度问题置信度问题（1 1给定置信区间求置信概率。给定置信区间求置信概率。（2 2给定置信概率求计算置信区间给定置信概率求计算置信区间( )( )kikP xE xkPkd 测量值的分布和置信因子确定后，则置信概率为：测量值的分布和置信因子确定后，则置信概率为：63正态分布的置信概率正态分布的置信概率2211 ( )( )exp2( )

49、( ) 2xE xxxx正态分布：正态分布：置信概率置信概率P：令：令：( )( )xE xZx202exp22kPkZdZn当当k=3时时2302(3)exp0.997322ZPdZ64正态分布的置信概率正态分布的置信概率置信因子置信因子k和置信概率和置信概率P数值关系表格见表数值关系表格见表2165正态分布的置信概率正态分布的置信概率置信因子置信因子k置信概率置信概率P10.682720.954530.9973留意：误差的绝对值大于留意：误差的绝对值大于3 的概率只有的概率只有0.0027，可以认为不可，可以认为不可能发生的小概率随机事件。因此常把标准差的能发生的小概率随机事件。因此常把标

50、准差的3倍作为正态分倍作为正态分布下测量数据的极限误差。布下测量数据的极限误差。66对某电阻作无系差等精度独立测量，已知测量对某电阻作无系差等精度独立测量，已知测量数据数据R R服从正态分布，且标准差是服从正态分布，且标准差是0.2 0.2 ，试，试求被测电阻落在求被测电阻落在Ri-0.5, Ri+0.5Ri-0.5, Ri+0.5的概率。的概率。【例【例1】67对某电阻作无系差等精度独立测量，测量值服对某电阻作无系差等精度独立测量，测量值服从正态分布，已知被测量真值从正态分布，已知被测量真值U0U079.83V,79.83V,且且标准差标准差(U)=0.02V (U)=0.02V ，试按，试

51、按9999的可能性估计的可能性估计测量值出现的范围。测量值出现的范围。【例【例2】68t t分布的置信概率分布的置信概率( ),( )( , )ttkttkP xkx xkxt k dtt分布：分布：代入置信概率定义公式：代入置信概率定义公式：2(1)/21()2( )(1)( )2kkttkkku给定置信概率和测量次数给定置信概率和测量次数n n，查表得置信系数，查表得置信系数ktkt。u 6995%99%95%99%123456789101214161812.714.303.182.782.572.452.362.312.242.122.1063.669.925.8

52、44.604.033.713.503.352.982.922.882022242628304050607080901002.092.072.062.062.052.042.022.012.001.991.991.991.981.962.852.822.802.782.762.752.702.682.662.652.642.632.632.58t分布的置信系数分布的置信系数 PK PK【例】对某电容作【例】对某电容作8 8次无系差等精度独立测量，测量值如下次无系差等精度独立测量，测量值如下单位单位ufuf），试求被测电容估计值和），试求被测电容估计值和P P0.990.9

53、9时被测电容的时被测电容的置信区间。置信区间。CiCi75.01,75.04,75.07,75.03,75.09,75.06,75.02,75.0875.01,75.04,75.07,75.03,75.09,75.06,75.02,75.08）解：根据平均值原理，被测电容的估计值：解：根据平均值原理，被测电容的估计值：1175.05niiCCuFn测量列方差估计值：测量列方差估计值：22222212222211 ( )( 0.04)( 0.01)0.02( 0.02170.040.010.030.03 )0.00851niiCnuF 测量列标准差估计值：测量列标准差估计值：2( )( )0.0

54、29CCuF平均值标准差估计值：平均值标准差估计值：( )( )0.01CCuFn当当P P0.99, 0.99, 自由度自由度n-1=7n-1=7时，由表时，由表2-22-2查得查得ktkt3.5,3.5,于是可得被测电容置信区于是可得被测电容置信区间为：间为：( ),( )75.053.50 0.01,75.053.50 0.0175.01,75.09ttCkC CkCuF所以被测电容真值所以被测电容真值C0C0以以0.990.99的概率处于的概率处于75.0175.01至至75.0975.09之间。之间。72粗大误差的剔除粗大误差的剔除73粗大误差的剔除粗大误差的剔除p粗大误差产生原因粗

55、大误差产生原因: :p 测量人员的主观原因：测量人员的主观原因：p操作失误或错误记录；操作失误或错误记录；p 客观外界条件的原因：客观外界条件的原因：p 测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。然失效等。p粗大误差出现的概率很小，处理方法是列出可疑数据，分粗大误差出现的概率很小，处理方法是列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除。析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值剔除。74粗大误差的统计学判别准则统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置

56、信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。并予以剔除。在正态分布等精度测量中，随机误差大于在正态分布等精度测量中，随机误差大于33的概率仅为的概率仅为0.00270.0027，属小概率事件。，属小概率事件。3()kA拉依达莱特检验法拉依达莱特检验法 ：设测量数据中，测量值：设测量数据中，测量值Ak的随机的随机误差为误差为k，当：，当：测量值为粗大误差的异常值，应予以剔除。测量值为粗大误差的异常值，应予以剔除。75粗大误差的统计学判别准则在实际应用中使用剩余误差和标准差的估计值：在实际应用中使用剩余误差和标准差的估计值：3()kx

57、留意：当测量次数你留意：当测量次数你n10时，该准则失效。时，该准则失效。【证明】【证明】221niii2211111nniiiiinn由于由于所以所以1()inx即即当当n10时，时，3()ix76粗大误差的统计学判别准则格拉布斯格拉布斯(grubbs)(grubbs)检验法：当测量数据检验法：当测量数据xkxk的剩余误差的剩余误差kk满足：满足： (,)kg n 式中，式中，g gn,n,值由重复测量次数值由重复测量次数n n及显著度及显著度确定，确定，由数理统计的方法推导。由数理统计的方法推导。 则测量值为粗大误差的异常值，应予以剔除。则测量值为粗大误差的异常值，应予以剔除。77应注意的

58、问题应注意的问题n所有的检验法都是人为主观拟定的，至今无统一的规定。当偏离正态分布和测量次数少时检验不一定可靠。n若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，重新计算，再行判别。若有两个相同数据超出范围时，应逐个剔除。n在一组测量数据中，可疑数据应很少。反之，说明系统工作不正常。78 用准确度较高的测量仪器对某电阻进行用准确度较高的测量仪器对某电阻进行1616次等精度测量，测量结果：次等精度测量，测量结果：34.86, 35.21, 34.97, 35.14, 35.35, 35.21, 35.16, 35.22, 35.30, 34.86, 35.21, 34.97, 35.14,

59、 35.35, 35.21, 35.16, 35.22, 35.30, 35.71, 35.94, 35.63, 36.65, 35.70, 35.24, 35.3635.71, 35.94, 35.63, 36.65, 35.70, 35.24, 35.36，问测量结果是否存，问测量结果是否存在粗大误差。在粗大误差。解：解：a. a. 无系统误差；无系统误差； b. b. c. c. d. d.第第1313次，次，36.65-35.30=1.35 36.65-35.30=1.35 该值应剔除。该值应剔除。 i35.30 , viRxx20 .4 4 31ivn3 ( )R【例】【例】79测量

60、结果的表示和处理测量结果的表示和处理80测量结果的表示测量结果的表示在剔除粗大误差后，只剩下系统误在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差差和随机误差 （各次测得值的绝对误差等于系（各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和。）统误差和随机误差的代数和。）|Yy81测量结果的表示测量结果的表示如含有已定系统误差如含有已定系统误差y,y,测量结果可表示为：测量结果可表示为：ymYy ymymyYy 若若yy0 0，即不含有可修正系统误差，即不含有可修正系统误差y,y,测量结果可表示为：测量结果可表示为：mYy mmyYy 留意：留意：mm包括未定的系统误差和随机误差。包括未定的系统误差